■趙榮濤

巧妙構(gòu)造滿足抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的具體函數(shù),是解決抽象函數(shù)問題的一種巧技妙法。借助抽象函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)特征,選取與之相吻合的“模特”函數(shù)(基本上以高中階段所學(xué)的基本初等函數(shù)為主,如一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),以及三角函數(shù)等),結(jié)合系數(shù)的配湊處理,實(shí)現(xiàn)抽象函數(shù)問題的圓滿解決。

一、一次函數(shù)模型

例1 定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0 時(shí),有f(x)<0成立,則不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為( )。

分析:由f(x+y)=f(x)+f(y),類比并聯(lián)想到一次函數(shù)模型,考慮“模特”函數(shù)為正比例函數(shù),利用條件確定正比例函數(shù)中k的取值,代入對應(yīng)的不等式進(jìn)行求解。

解:由f(x+y)=f(x)+f(y),構(gòu)建特殊函數(shù)模型f(x)=kx,k≠0。

由條件知當(dāng)x>0 時(shí),f(x)<0,取k=-1,則f(x)=-x,所以不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0 可化為-(5-x2)-(3xx2)<0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1<故不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為。應(yīng)選B。

一次函數(shù)模型f(x)=kx+b(k≠0),滿足f(x+y)=f(x)+f(y)。解題時(shí),抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值的取值情況,確定系數(shù)k的值,為問題的進(jìn)一步求解奠定基礎(chǔ)。

二、指數(shù)函數(shù)模型

例2 已知定義域?yàn)镽 的函數(shù)f(x)滿足:①對任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)恒成立;②若x≠y,則f(x)≠f(y)。以下選項(xiàng)表述不正確的是( )。

A.f(x)在R 上是嚴(yán)格增函數(shù)

B.若f(3)=10,則f(6)=100

C.若f(6)=100,則f(-3)=

D.函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的最小值為2

分析:由f(x+y)=f(x)f(y),類比并聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)模型,考慮“模特”函數(shù)為指數(shù)函數(shù),結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行分析與判斷。

解:由f(x+y)=f(x)f(y),構(gòu)建特殊函數(shù)模型f(x)=ax,a>0且a≠1。

當(dāng)0

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=ax,a>0 且a≠1,滿 足f(x+y)=f(x)f(y)。解題時(shí),先利用函數(shù)的單調(diào)性、模型函數(shù)的取值,確定函數(shù)的值,再結(jié)合基本不等式進(jìn)行分析與處理。

三、對數(shù)函數(shù)模型

例3 (多選題)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足如下條件:①f(xy)=xf(y)+yf(x);②當(dāng)x>1 時(shí),f(x)>0。下列結(jié)論中正確的是( )。

A.f(1)=0

B.f(xy)=f(x)f(y)

C.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增

分析:由f(xy)=f(x)+f(y),類比并聯(lián)想到對數(shù)函數(shù)模型,考慮“模特”函數(shù)為對數(shù)函數(shù),再結(jié)合題意進(jìn)行分析與處理。

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=logax,a>0 且a≠1,滿 足f(xy)=f(x)+f(y)。需要注意的是,在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),經(jīng)常要對相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變形轉(zhuǎn)化為熟悉的關(guān)系式,這樣方便聯(lián)系與類比對應(yīng)的特殊函數(shù)模型。

四、三角函數(shù)模型

例4 (多選題)函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),f(0)=1,且f(x-1)+f(x+1)=f(x)。下列結(jié)論中正確的是( )。

分析:利用抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想三角函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)的基本性質(zhì),考慮“模特”函數(shù)為余弦函數(shù),再利用具體函數(shù)來解決客觀問題。

解題時(shí),借助函數(shù)的奇偶性選取三角函數(shù),利用三角函數(shù)的周期關(guān)系得到相應(yīng)的系數(shù)。