■河南省許昌高級中學(xué) 孫英環(huán)

拋物線是圓錐曲線的一種,了解拋物線的定義、幾何圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),讓同學(xué)們主動(dòng)尋找已有方法去研究所面對的新對象,并在再次利用解析幾何一般方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深化對一般方法的理解,以提升同學(xué)們的直觀想象與數(shù)學(xué)建模能力。拋物線的最值問題歷來是高考的熱點(diǎn)之一, 常以填空題或解答題出現(xiàn)。下面就最值問題中常見題型及方法進(jìn)行總結(jié),引導(dǎo)同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)總結(jié)反思。

一、巧用拋物線的定義求最值

例1設(shè)點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

(1)求點(diǎn)P到A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值;

(2)已知點(diǎn)B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值,并求取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析:(1)如圖1,易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離。于是,問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離之和最小。顯然,連接AF交拋物線于點(diǎn)P,此時(shí)距離之和最小,最小值為

圖1

(2)如圖2,過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P,則|PQ|=|PF|。此 時(shí)|PB|+|PF|取得最小值,最小值為3+1=4。

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)B(3,2),所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,2)。代入拋物線方程y2=4x,得22=4x0,解得x0=1。此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)。

反思點(diǎn)評:(1)利用拋物線的定義把拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化成它到焦點(diǎn)的距離,快速求解;(2)利用拋物線的定義把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成它到準(zhǔn)線的距離,同時(shí)看清命題意圖。

例2已知直線l1:4x-3y+11=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_____。

解析:如圖3所示,過點(diǎn)P分別作PM⊥l1,PN⊥l2,垂足分別為M,N。

圖3

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),由拋物線的定義可得|PN|=|PF|。

故|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,當(dāng)M,P,F三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PF|取得最小值,其最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離,即

反思點(diǎn)評:利用拋物線的定義把拋物線上的點(diǎn)到兩條直線的距離之和轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離,化陌生為熟悉。

二、巧用轉(zhuǎn)化求最值

例3求拋物線y2=x上的點(diǎn)到直線x-2y+4=0的距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析:(方法一)

設(shè)(t2,t)為拋物線上一點(diǎn),則d=

(方法二)

設(shè)與直線x-2y+4=0 平行且與拋物線相切的直線為x-2y+b=0。

故切線方程為x-2y+1=0,切點(diǎn)為(1,1)。

切點(diǎn)到直線x-2y+4=0的距離最小,最小值為

反思點(diǎn)評:方法一把拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題,大大降低了難度;方法二平移直線,讓直線和拋物線相切,求切點(diǎn)坐標(biāo),把拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題,從而求解。

例4已知M是拋物線y2=2x上一點(diǎn),N是圓x2+(y-2)2=1關(guān)于直線x-y=0對稱的曲線C上任意一點(diǎn),則|MN|的最小值為____。

解析:圓x2+(y-2)2=1 的圓心為(0,2),半徑為1。

易知圓心(0,2)關(guān)于直線x-y=0對稱的點(diǎn)為C(2,0)。

所以曲線C的方程為(x-2)2+y2=1。

設(shè)M(x,y)(x＞0),則|MC|2=(x-2)2+y2。

又y2=2x,所以|MC|2=(x-2)2+y2=x2-2x+4=(x-1)2+3。

當(dāng)x=1時(shí),|MC|2min=3,|MC|min= 3。

所以|MN|min= 3-1。

反思點(diǎn)評:結(jié)合對稱問題把拋物線上的點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離減去半徑,把復(fù)雜的問題簡單化。

例5已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(0,-1)斜率為k(k＞0)的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)Q到x軸的距離為3,若M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E(3,0),則||MF|-|ME||的最大值為____。

解析:設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k＞0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

所以x1+x2=8k,

則yQ=kxQ-1=4k2-1。

因?yàn)锳B的中點(diǎn)Q到x軸的距離為3,所以4k2-1=3,k＞0。

解得k=1,則直線l的方程為y=x-1。

易知點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為F'(3,-1)。

所以||MF|-|ME||=||MF'|-|ME||≤|EF'|=1,當(dāng)M在射線F'E與直線l的交點(diǎn)時(shí),取等號(hào)。

反思點(diǎn)評:利用對稱的關(guān)系,求出焦點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)F'(3,-1),||MF|-|ME||的最大值就轉(zhuǎn)化成EF'的長。

三、巧解復(fù)雜的最值問題

例6在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線G的準(zhǔn)線方程為y=-2。

(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l1和l2,l1與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),l2與拋物線交于C,D兩點(diǎn),M,N分別是線段PQ,CD的中點(diǎn),求△FMN面積的最小值。

解析:(1)設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py,其中p＞0,由題意得,解得p=4,則焦點(diǎn)F(0,2)。

故拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y。

(2)F(0,2),由題意知直線l1,l2的斜率都存在且不為0。

如圖4,設(shè)直線l1的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線l2的方程為y

圖4

例7已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,過F分別作直線l1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),作直線l2與拋物線C交于D,E兩點(diǎn),若直線l1與l2的斜率的平方和為1,則|AB|+|DE|的最小值為____。

解析:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1。設(shè)直線l1與l2的斜率分別為k1,k2,k1k2≠0,且k21+k22=1。

所以|AB|+|DE|的最小值為24。

高考命題圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì),從不同角度、不同層次進(jìn)行考查,試題變化的是情境,不變的是數(shù)學(xué)本質(zhì)。分析其中的“變”,查找變化因素,分析變化原因,可以不斷提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。分析其中的“不變”,抓住事物本質(zhì),總結(jié)反思,提升同學(xué)們的思維能力。