孫廷英，張義民，李鐵軍

（1.沈陽化工大學(xué)裝備可靠性研究所，遼寧 沈陽 110142；2.沈陽化工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽 110142）

1 引言

機(jī)床熱誤差對加工精度影響很大［1］。對熱誤差的研究表明，熱致誤差已經(jīng)達(dá)到了總誤差的70%［2］?？梢钥闯?，精確預(yù)測熱誤差對提高機(jī)床精度具有重要意義。

為了提高熱誤差的精度及魯棒性，建立精確的熱誤差模型成為研究數(shù)控機(jī)床熱誤差的關(guān)鍵。

至今為止，研究者們在熱誤差建模方面有很多成果。文獻(xiàn)［3］提出了LS-SVM的動態(tài)自適應(yīng)方法對數(shù)控機(jī)床熱誤差建模。文獻(xiàn)［4］提出了多元線性回歸方法的主軸熱誤差模型。文獻(xiàn)［5］利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對熱誤差建模進(jìn)行了研究，有效地減少了溫度測量點(diǎn)的數(shù)量。文獻(xiàn)［6］使用時(shí)間序列算法提出了熱誤差建模方法。文獻(xiàn)［7］用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANNs）建立了主軸溫度與熱誤差之間的關(guān)系，并證明該模型有助于進(jìn)行推廣。文獻(xiàn)［8］使用灰色算法和最小二乘支持向量機(jī)算法的組合建模方法對熱誤差進(jìn)行預(yù)測。

上述建模方法在熱誤差預(yù)測方面取得了一定的成就，但實(shí)際應(yīng)用中這些方法的熱誤差建模精度仍不理想，表現(xiàn)為泛化能力不足。因此，這里提出使用逆向辨識算法優(yōu)化權(quán)值的混合RBFNNARIMA熱誤差建模方法，并與單一的模型進(jìn)行試驗(yàn)對比。

結(jié)果表明，本模型既汲取了單獨(dú)模型的優(yōu)點(diǎn)，又提高了原有模型的精度和魯棒性。

2 模型

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一層為輸入層，輸入變量從此層進(jìn)入；第二層稱為隱藏層，每個(gè)神經(jīng)元通過徑向基函數(shù)對輸入變量進(jìn)行運(yùn)算；第三層是輸出層，輸出輸入變量的預(yù)測值，是神經(jīng)元輸出的數(shù)據(jù)與對應(yīng)的輸出節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值計(jì)算而得［9］。RBFNN的原理結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理圖Fig.1 Neural Network Schematic Diagram

將高斯函數(shù)作為RBFNN的徑向基函數(shù)，表示隱藏神經(jīng)元對輸入變量的響應(yīng)。激活函數(shù)的一般表達(dá)式為：

式中：U=（u1，u2，…，ur）T—輸入變量；r—輸入變量的維數(shù)；σq、εq—第q個(gè)隱藏神經(jīng)元的中心和寬度，q=1，2，…，Q；Q—隱藏節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。輸出變量的表達(dá)式為：

式中：Fp—第p個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的預(yù)測輸出值，p=1，2，…，P；P—輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)；vpq—第p個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)與q個(gè)隱藏神經(jīng)元之間的權(quán)值。

2.2 ARIMA時(shí)間序列模型

時(shí)間序列分析準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動態(tài)依賴關(guān)系，建立充足的基于有限樣本的觀測系統(tǒng)，并應(yīng)用于預(yù)測和監(jiān)控系統(tǒng)未來行為的數(shù)學(xué)模型［10］。一般表達(dá)式為：

式中：Ft—t時(shí)刻的時(shí)間序列；λ1，λ2，…，λo—自回歸系數(shù)；o—自回歸階數(shù)；w—移動平均的階數(shù)；δ1，δ2，…，δw，—移動平均參數(shù)；?t—模型的殘差。

該模型具有三個(gè)操作步驟：模式識別、參數(shù)估計(jì)、診斷檢查。首先使用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）來識別熱誤差序列模式，再確定參數(shù)o、w的階數(shù)，最后通過Box-Jenkins方法診斷檢查，驗(yàn)證模型是否符合當(dāng)前數(shù)據(jù)序列。

在模式識別之前數(shù)據(jù)序列通常是非平穩(wěn)的，因此需要對其進(jìn)行差分，使其達(dá)到平穩(wěn)，即使用ADF測試算法（ADF）證明它們是否平穩(wěn)。

時(shí)間序列模型的本質(zhì)是利用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來的數(shù)據(jù)。這里使用的歷史數(shù)據(jù)序列數(shù)量固定，設(shè)置為G，初始?xì)v史數(shù)據(jù)序列G為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測值。

歷史數(shù)據(jù)序列G隨著時(shí)間前移需要更新，新數(shù)據(jù)的來源為時(shí)間序列模型的下一步預(yù)測值。歷史數(shù)據(jù)序列G的更新示意圖，如圖2所示。

圖2 歷史數(shù)據(jù)序列更新示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Historical Data Series Update

2.3 逆向辨識算法熱誤差模型

這里為了綜合利用RBFNN和ARIMA兩個(gè)模型各自的優(yōu)點(diǎn)，提高熱誤差預(yù)測精度，將兩個(gè)模型利用最優(yōu)權(quán)值的方式結(jié)合在一起，形成新的混合模型。模型的表達(dá)式設(shè)置為：

式中：FRBF（t）、FARIMA（t）—RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和時(shí)間序列模型在t時(shí)刻的熱誤差預(yù)測值；F（t）—混合模型在t時(shí)刻的熱誤差預(yù)測值；a、b—RBFNN模型和ARIMA模型的變權(quán)值，在t時(shí)刻的表達(dá)式為：

并且約束條件為0 ≤a≤1，0≤b≤1。

這里利用逆向辨識算法獲取RBFNN與ARIMA兩個(gè)單一模型隨著時(shí)間的變化比值，再利用函數(shù)的擬合方法獲取兩個(gè)模型熱誤差預(yù)測值的最優(yōu)變權(quán)值，從而獲得最終預(yù)測值，整個(gè)熱誤差建模過程，如圖3所示。逆向辨識算法的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為：

圖3 熱誤差建模流程圖Fig.3 Thermal Error Modeling Flow Chart

式中：y（t）時(shí)刻t的熱誤差殘差值；X（t）—t時(shí)刻的熱誤差的實(shí)驗(yàn)值。

3 實(shí)驗(yàn)裝置

3.1 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證RBFNN-ARIMA 模型的有效性，研究滾珠絲杠的熱推導(dǎo)定位誤差，這里針對滾珠絲杠系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。該裝置由微型計(jì)算機(jī)、熱電偶、激光干涉儀、數(shù)控機(jī)床組成。實(shí)驗(yàn)中滾珠絲杠系統(tǒng)的規(guī)格設(shè)置為：絲桿長度為300mm，螺桿直徑為32mm，導(dǎo)程為10mm，整個(gè)螺桿行程為220mm，軸承的內(nèi)徑、外徑和寬度分別為30mm、62mm和16mm，實(shí)驗(yàn)裝置，如圖4所示。圖中1、2、3號分別是軸承1座、軸承2座和絲母處的溫度測點(diǎn)，通過熱電偶以0.5s的間隔采集溫度數(shù)據(jù)。4號為熱誤差測量點(diǎn)，由激光干涉儀記錄了88mm處的系統(tǒng)定位誤差值。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Experimental Apparatus

3.2 數(shù)據(jù)采集

實(shí)驗(yàn)測量過程中，啟動車床時(shí)記錄系統(tǒng)初始狀態(tài)，然后車床主軸以500r/min的轉(zhuǎn)速和給定2000N的預(yù)載荷進(jìn)行預(yù)熱。整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程經(jīng)歷了預(yù)熱階段（0～50）min、冷卻初始階段（50～70）min、深度冷卻階段（70～100）min三個(gè)階段，為期100min的實(shí)驗(yàn)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)測量過程中的數(shù)據(jù)，最終都記錄進(jìn)微型計(jì)算機(jī)中。本項(xiàng)研究中，又以相同的操作條件分別測試了主軸轉(zhuǎn)速為1000r/min 和1500r/min的實(shí)驗(yàn)，記錄相關(guān)數(shù)據(jù)并進(jìn)行處理。不同轉(zhuǎn)速下采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖5所示。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下的溫度及熱誤差曲線Fig.5 Temperature and Thermal Error Curves at Different Speeds

4 結(jié)果與討論

根據(jù)這里提出的基于逆向辨識算法的混合模型，對比分析了熱誤差建模預(yù)測值與實(shí)測熱誤差值。

這里利用500r/min和1500r/min的車床主軸轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，以1000r/min的主軸轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)作為預(yù)測集，驗(yàn)證新的混合模型的有效性。進(jìn)而將這里所提模型與單一的RBFNN 和ARIMA模型分別進(jìn)行對比分析，三個(gè)模型的殘差對比結(jié)果，如表1所示。從表1中可以看出，通過優(yōu)化權(quán)值后得到的混合模型的預(yù)測精度明顯高于單一的RBFNN模型和ARIMA模型，進(jìn)一步驗(yàn)證了這里模型的精確性。

表1 模型殘差結(jié)果對比Tab.1 Comparison of Model Residual Results

5 結(jié)論

這里提出了基于逆向辨識權(quán)值比例的RBFNN與ARIMA的混合模型，利用逆向辨識算法，確定混合模型的最優(yōu)權(quán)值，建立熱誤差預(yù)測模型。進(jìn)而這里對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的熱誤差進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和對比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該模型具有較高的預(yù)測精度。同時(shí)，該模型優(yōu)于單一的RBFNN和ARIMA模型，并且擴(kuò)大了傳統(tǒng)模型的泛化能力。