李瑞沂 等

王瑞? 馮和棠? 曹沛根? 黃猛

摘? 要：基于動態(tài)SEIR模型的小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)預(yù)測研究可為目前社會各界的生活安排、工作規(guī)劃等提供重要的參考依據(jù)。傳統(tǒng)的SEIR模型中感染率是恒定的，但在新冠病毒傳播情況下，接觸率隨時間而變化，進而預(yù)測結(jié)果受到影響。同時現(xiàn)有的大規(guī)模疫情數(shù)據(jù)受外界因素影響較大，傳統(tǒng)的SEIR模型無法完全適用于復(fù)雜情況下的疫情預(yù)測，故提出一種基于動態(tài)的SEIR模型的預(yù)測方法。將接觸率通過邏輯函數(shù)計算得出，對小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)進行預(yù)測，該模型的構(gòu)建與研究具有一定的應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：動態(tài)SEIR模型；傳染病模型；趨勢分析

中圖分類號：TP391? 文獻標(biāo)識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）23-0146-05

Prediction of Small-scale Epidemic Situation Based on Dynamic SEIR Model

LI Ruiyi， WANG Rui， FENG Hetang， CAO Peigen， HUANG Meng

（School of Information Engineering， Institute of Disaster Prevention Technology， Langfang? 065201， China）

Abstract： The prediction research of small-scale epidemic situation data based on dynamic SEIR model can provide an important reference for the living arrangements and work planning of all sectors of society. In the traditional SEIR model， the infection rate is constant， but in the case of COVID-19 transmission， the exposure rate changes with time， and then the prediction results are affected. At the same time， the existing large-scale epidemic situation data are greatly affected by external factors， and the traditional SEIR model cannot be fully applied to the epidemic situation prediction in complex situations. Therefore， a prediction method based on dynamic SEIR model is proposed. The exposure rate is calculated by logical function to predict small-scale epidemic situation data. The construction and research of this model has certain application value.

Keywords： dynamic SEIR model; infectious disease model; trend analysis

0? 引? 言

近幾年來，新冠疫情對社會發(fā)展有巨大影響，對于疫情趨勢的預(yù)測成為目前待解決的關(guān)鍵問題。傳統(tǒng)的傳染疾病模型有SIS、SIR、SEIR模型等，大部分可以被用于評估傳染疾病的發(fā)展趨勢，但傳統(tǒng)的模型存在變量較少、恒定的參數(shù)較多、無法準(zhǔn)確評估新冠病毒發(fā)展趨勢等問題，同時對于預(yù)測數(shù)據(jù)的選取也將直接影響預(yù)測效果。

針對傳統(tǒng)的SEIR模型無法動態(tài)適應(yīng)新冠病毒接觸率隨時間變化的問題，本文提出采用改進的動態(tài)SEIR模型來進行預(yù)測，假設(shè)遵循邏輯函數(shù)的斜率，求得每天的估計值，通過傳統(tǒng)模型訓(xùn)練出隨時間變化的最優(yōu)參數(shù)，進而使接觸率隨時間變化。由于大規(guī)模疫情各項數(shù)據(jù)變化梯度較大，受毒株變異、防控政策等外在因素影響，直接降低了SEIR模型預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確性，故本文采用小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)進行預(yù)測，對小規(guī)模疫情趨勢做科學(xué)評估。

1? 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)爬取自2020年1月20日以來丁香醫(yī)生官網(wǎng)（https：//ncov.dxy.cn/ncovh5/view/pneumonia）公布的各省份每天的累計確診人數(shù)、新增人數(shù)、治愈人數(shù)、死亡人數(shù)等數(shù)據(jù)。

2? 模型的建立過程

2.1? 傳統(tǒng)的SEIR模型

SEIR模型是一種傳染病基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，該模型是研究傳染病的傳播速度、感染范圍、傳播途徑以及動力學(xué)機理等問題的一種非線性動力學(xué)模型，對指導(dǎo)傳染病的有效預(yù)防和控制有重要意義[1-3]。該模型將人群分為4類，分別是易感人群、暴露人群、感染人群以及康復(fù)人群，分別用S、E、I、R來表示。對4種人群之間的關(guān)系建立微分方程以構(gòu)成SEIR模型。

2.2? 傳統(tǒng)的SEIR模型建立

在傳統(tǒng)的SEIR模型中，人群被劃分為易感人群（S）、暴露人群（E）、感染人群（I）和康復(fù)人群（R）[4，5]，其中易感人群到暴露人群存在接觸率，按照比例α進行轉(zhuǎn)化；暴露人群到感染人群存在感染率，按照比例β進行轉(zhuǎn)化；感染人群到康復(fù)人群存在康復(fù)率，按照比例γ進行轉(zhuǎn)化[6-8]。傳統(tǒng)SEIR模型如圖1所示。

假設(shè)總?cè)藬?shù)為M，M = S + E + I + R，感染者接觸人數(shù)為Q，則可以建立以下微分方程[9-11]：

2.3? 動態(tài)的SEIR模型的動態(tài)參數(shù)確立過程

在傳統(tǒng)的SEIR模型，感染率以及人均感染率是恒定的，而在COVID-19情況下，接觸率隨著時間的變化[12-15]，在早期階段由于公眾的無知和病毒變異的情況下增加，在嚴(yán)格控制政策下減少。所以假設(shè)遵循邏輯函數(shù)的斜率，列出計算公式，通過它將得到一個每天的估計值，此結(jié)果將被用于動態(tài)SEIR模型，公式如下：

其中t為發(fā)現(xiàn)首例感染病例的時間，α為一個正則化參數(shù)，C為一個尺度常數(shù)，m為偏置。利用損失函數(shù)進行計算，以求此模型在預(yù)測給定的參數(shù)集方面的效果。為了得到隨時間變化的最優(yōu)值，在這種情況下求一個均方損失函數(shù)，正則化參數(shù)α、參數(shù)C、偏置m將由均方損失函數(shù)進行估計[16，17]。均方損失函數(shù)公式如式（6）所示：

其中Ireal，i的值是根據(jù)官網(wǎng)爬取的現(xiàn)存確診病例數(shù)據(jù)得出，Isiml，i是根據(jù)SEIR模型的微分方程計算得出。

使用梯度下降的優(yōu)化算法來更新參數(shù)C、m、α。最終求得參數(shù)C、m、α的最優(yōu)值，將此最優(yōu)參數(shù)作為動態(tài)SEIR模型的接觸率參數(shù)。

2.4? 動態(tài)的SEIR模型的初步建立

SEIR模型中的未知變量分別為S、E、I、R、α、β、γ、M。其中，假設(shè)易感人群就是全部人群易感，各省份人口統(tǒng)計局統(tǒng)計人口總數(shù)據(jù)即為易感人群數(shù)量，因此，S = M =某省份總?cè)丝跀?shù)據(jù)，假設(shè)初始潛伏者數(shù)量為0，感染者為1，康復(fù)者為0，因此，E = 0、I = 1、R = 0。其次，根據(jù)動態(tài)的SEIR模型動態(tài)參數(shù)建立過程可得知接觸率是分別由參數(shù)C、m、α控制的，從而接觸率的轉(zhuǎn)化比例α的值是動態(tài)變化的。據(jù)相關(guān)研究報道，暴露人群轉(zhuǎn)換為感染人群概率為β，此值暫時初始化為1/8，康復(fù)率γ為治愈人數(shù)/累計患病人數(shù)，假設(shè)平均恢復(fù)時間為14天[18，19]，與SARS相似，因此恢復(fù)率初始為γ = 1/14。根據(jù)以上初始化數(shù)據(jù)建立動態(tài)的SEIR模型。

3? 模型的評估方法

對于一個預(yù)測模型來說，最重要的是要能對新出現(xiàn)的數(shù)據(jù)樣本準(zhǔn)確進行預(yù)測。所以在測量誤差時，必須著重考慮這一點。為了全面評估動態(tài)SEIR模型的預(yù)測效果，本節(jié)將介紹3種本實驗用到的誤差評估方法。

3.1? 平均絕對誤差

平均絕對誤差（Mean Absolute Deviation， MAD）是所有單個觀測數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的誤差的絕對值的平均數(shù)。平均絕對誤差能夠避免偏差互相抵消的問題，從而能夠精確反映實際估計偏差的程度。公式如下：

3.2? 平均絕對百分比誤差

平均絕對百分比誤差（MeanAbsolute Percent Error， MAPE）用來度量真實值和預(yù)測值之間相對誤差的大小，是誤差和真實值之間的比例。MAPE提供了一個便于比較的benchmark，即0值，當(dāng)預(yù)測的y和真實的y完全相同的時候，MAPE值最小為0，因此MAPE的結(jié)果越接近于0越好，說明模型的預(yù)測精度越高；反之，則說明模型的預(yù)測精度越低。其定義如式（8）所示：

3.3? 線性回歸相關(guān)系數(shù)R2

R2是衡量模型擬合度的一個量，是一個比例形式，被解釋方差/總方差。

在回歸模型中，因變量（y）總的方差（信息）可以被稱作總平方和（Total Sum of Squares， TSS），它由兩部分組成：1）模型可以解釋的那部分信息（Model Sum of Squares， MSS）。2）模型解釋不了的那部分信息（Residual Sum of Squares， RSS），也稱為error。

R2指的是模型可以解釋的那部分信息所占的百分比，即MSS / TSS。如果R2越大，那該模型能解釋的部分也就越多，模型就越佳。R2公式如下：

動態(tài)的SEIR模型的預(yù)測結(jié)果分別通過均值絕對誤差、均值絕對百分比誤差、線性回歸相關(guān)系數(shù)R2加以評價，均值絕對百分比誤差之所以能夠描述準(zhǔn)確度在于均值絕對百分比誤差本身適用于評價預(yù)測準(zhǔn)確度的數(shù)據(jù)指標(biāo)，如時間序列的預(yù)測等，對于疫情數(shù)據(jù)，本實驗選擇的是進行數(shù)據(jù)預(yù)處理后的連續(xù)的非零值，同時針對小規(guī)模的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，沒有存在由于數(shù)據(jù)的數(shù)量級的不同而造成數(shù)據(jù)估計的精度差距很大的問題[20]。

4? 實驗過程及結(jié)果

為了更好地測試動態(tài)SEIR模型的效果，本文使用華為MateBook D 14筆記本電腦在Windows 10下的sklearn機器學(xué)習(xí)庫和matplotlib（Python 2D繪圖庫），Python版本為3.7。使用來自丁香醫(yī)生官網(wǎng)的天津市、上海市2個地區(qū)的部分疫情數(shù)據(jù)創(chuàng)建數(shù)據(jù)集進行實驗探究。本節(jié)將對實驗數(shù)據(jù)集處理、參數(shù)設(shè)置進行介紹并對實驗結(jié)果加以說明。

4.1? 數(shù)據(jù)處理

由于大規(guī)模疫情數(shù)據(jù)存在毒株變異、不同政府的不同政策干預(yù)，數(shù)據(jù)梯度差異較大，對于模型參數(shù)的設(shè)置十分不友好，故本文采用的研究數(shù)據(jù)是來自全國各省份數(shù)據(jù)中篩選出來的各省份小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)，比如選取天津市2021年8月10日至2021年8月31日、天津市2022年7月1日至2022年7月21日、上海市2021年1月21日至2021年2月11日、上海市2021年11月19日至2021年12月9日的2個地區(qū)小規(guī)模時期的疫情數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集進行實驗。此部分?jǐn)?shù)據(jù)受外界因素干擾相對較小，治愈率和感染率較為穩(wěn)定。通過減法計算出每一天的數(shù)據(jù)距離發(fā)現(xiàn)首例感染病例的時間天數(shù)，記為Days，其中現(xiàn)存確診人數(shù) =累計確診人數(shù)-治愈人數(shù)-死亡人數(shù)，epoch值設(shè)為10 000，人口數(shù)據(jù)為各省份總?cè)丝跀?shù)據(jù)，并結(jié)合α、β、γ、C、m等初始值作為參數(shù)輸入到動態(tài)SEIR模型中，將20天的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集train_data，后10天數(shù)據(jù)作為測試集test_data，預(yù)測未來10天的數(shù)據(jù)predict_data。

4.2? 處理后的數(shù)據(jù)展示

本實驗用Python將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為動態(tài)SEIR模型所需要的I、E、R參數(shù)。用Tail（）方法進行部分?jǐn)?shù)據(jù)展示。如表1所示，是2021年8月天津市訓(xùn)練集部分?jǐn)?shù)據(jù)展示。

如表2所示，是2022年7月天津市訓(xùn)練集部分?jǐn)?shù)據(jù)展示。

如表3所示，是2021年2月上海市訓(xùn)練集部分?jǐn)?shù)據(jù)展示。

如表4所示，是2021年12月上海市訓(xùn)練集部分?jǐn)?shù)據(jù)展示。

4.3? 動態(tài)SEIR模型實驗過程

以天津市為例，首先按照傳統(tǒng)SEIR模型的相關(guān)參數(shù)epoch = 10 000，population = 13 866 000（天津市總?cè)丝冢?，?= 1/8，γ = 1/14，c = 5，m = -10，α = 0.08，以及天津市部分疫情數(shù)據(jù)進行參數(shù)輸入，利用梯度下降、均方誤差求解到最優(yōu)參數(shù)pre_c0、pre_m0、pre_α，對于動態(tài)SEIR模型，首先選取數(shù)據(jù)的最新值作為數(shù)據(jù)觀測點，將S的值初始化為S0，E的值初始化為E0，I的值初始化為I0，R的值初始化為R0，即S = S0，E = E0，I = I0，R = R0，預(yù)測天數(shù)date = 10，β = 1/8，γ = 1/14，c = pre_c，m = pre_m，α = pre_α，致死率death_rate = 0.02，在以上參數(shù)模式的設(shè)置下，天津市2021年8月10日至2021年8月31日的數(shù)據(jù)以及天津市2022年7月1日至2022年7月21日數(shù)據(jù)、上海市2021年1月21日至2021年2月11日數(shù)據(jù)、上海市2021年11月19日至2021年12月9日數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果分別如圖2、圖3、圖4、圖5所示。

通過以上結(jié)果可以看出，本實驗的初步預(yù)測結(jié)果與真實值相差較大，MAPE的值均在0.3以上，分析原因，發(fā)現(xiàn)新冠疫情小規(guī)模數(shù)據(jù)中的治愈率遠高于1/14，并且致死率比初始的2%要低，對以上兩個數(shù)據(jù)（治愈率、死亡率）進行調(diào)整，取原始數(shù)據(jù)對應(yīng)部分的均值作為目標(biāo)值的初始化值，使模型每次的治愈率、致死率等參數(shù)隨著輸入數(shù)據(jù)變化而變化。

4.4? 實驗結(jié)果及分析

經(jīng)過數(shù)據(jù)分析和多次研究、修改，本實驗發(fā)現(xiàn)不同地區(qū)小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)的治愈率普遍在90%以上，致死率在0.5%以下。為了更好地進行預(yù)測，對于不同地區(qū)的數(shù)據(jù)在治愈率和致死率方面做均值處理，處理結(jié)果作為參數(shù)傳入模型中，最后的預(yù)測結(jié)果分別如圖6、圖7、圖8、圖9所示。

通過以上結(jié)果對比可以看出，根據(jù)數(shù)據(jù)本身調(diào)整參數(shù)之后的模型預(yù)測準(zhǔn)確度大幅度提高，圖像趨勢差距縮小，圖像擬合度基本一致，預(yù)測值差距從之前的十位數(shù)差距降為個位數(shù)，差距大大縮小，預(yù)測效果變好。為了從不同角度評判預(yù)測準(zhǔn)確度，對于動態(tài)SEIR模型的小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)預(yù)測分別采用平均絕對誤差（MAD）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、決定系數(shù)（R2）進行了誤差評估，結(jié)果如表5所示。

通過以上誤差評估結(jié)果，可以看出MAD、MAPE以及R2的誤差趨勢基本一致，符合實際。故經(jīng)過參數(shù)調(diào)整之后的動態(tài)的SEIR模型對于小規(guī)模疫情數(shù)據(jù)的預(yù)測準(zhǔn)確性較高。

5? 結(jié)? 論

本文在傳統(tǒng)SEIR模型的基礎(chǔ)上提出了適用于小規(guī)模新型冠狀病毒感染疫情預(yù)測的動態(tài)SEIR模型。經(jīng)過了數(shù)據(jù)爬取、數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析、實驗探究等多個階段。在整個數(shù)據(jù)階段，確定了數(shù)據(jù)來源，模型需要的數(shù)據(jù)字段，并對特殊字段做了相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理，該階段目的主要是為模型提供重要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；在數(shù)據(jù)分析階段，如何把處理好的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為模型需要的數(shù)據(jù)格式是研究重難點，需要對模型的參數(shù)進行多次學(xué)習(xí)研究；實驗探究階段中，由于初始化參數(shù)問題（治愈率、死亡率等），導(dǎo)致一開始的預(yù)測效果不太好，經(jīng)過多次分析討論，參數(shù)經(jīng)過調(diào)整后，預(yù)測效果較好。最終實驗結(jié)果表明，經(jīng)過參數(shù)調(diào)優(yōu)之后的動態(tài)的SEIR模型可用于小規(guī)模疫情預(yù)測，為了使模型應(yīng)用范圍更加廣泛，未來工作計劃將治愈率、死亡率等做深層次的數(shù)據(jù)分析，進一步完善動態(tài)SEIR模型，分析外界因素對模型預(yù)測效果的干擾，進一步實現(xiàn)動態(tài)SEIR模型更廣泛的應(yīng)用。

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作者簡介：李瑞沂（2002—），女，漢族，河北唐山人，本科在讀，研究方向：計算機應(yīng)用技術(shù)、軟件應(yīng)用。

收稿日期：2023-01-07

基金項目：防災(zāi)科技學(xué)院2022大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目（202211775011）