趙 暉，盧青波

（1.西安鑫垚陶瓷復(fù)合材料股份有限公司，西安 710100；2.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程系，鄭州 450121）

隨著現(xiàn)代化學(xué)工業(yè)的快速發(fā)展，高壓容器越來越得到廣泛應(yīng)用，如合成氨工業(yè)、合成尿素工業(yè)、合成甲醇工業(yè)和石油加氫工業(yè)等，其合成反應(yīng)裝置不僅壓力高（p≥15 MPa），而且常伴有高溫，如合成氨就常在15～32 MPa壓力和500 ℃高溫下進行合成反應(yīng)。由于化工設(shè)備的大型化，高壓容器的大型化也是必然趨勢，從而導(dǎo)致容器的直徑、壁厚及質(zhì)量越來越大。在保證高壓容器安全運行的基礎(chǔ)上，利用現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計理論及方法對高壓容器進行全面綜合分析，對高壓容器筒體進行優(yōu)化設(shè)計，減少制造成本和耗材，具有實際意義和工程價值。

工程結(jié)構(gòu)和機械設(shè)計中的不少問題都含有一些不可忽視的隨機因素，如工作載荷、風(fēng)載荷或地震載荷；材料的物理和力學(xué)性質(zhì)，如強度、彈性模量等。在這種情況下，設(shè)計者應(yīng)考慮若干隨機因素下做出最佳決策。壓力容器設(shè)計中，容器內(nèi)的壓力和所用材料的屈服強度極限及容器的尺寸都呈現(xiàn)出隨機因素。常規(guī)設(shè)計中，采用安全系數(shù)的方法，通過適當(dāng)增加或減少設(shè)計的名義值來保證設(shè)計的可靠性，但這種設(shè)計幾乎都是根據(jù)設(shè)計師的經(jīng)驗或者直覺判斷進行的，是否能達(dá)到最優(yōu)設(shè)計是值得商榷的。因此，本文擬從概率角度建立高壓容器的優(yōu)化模型，并且采用混合差分進化算法對所建立的模型進行求解。

差分進化算法（Differential Evolution，DE）[1]使用簡單的變異、交叉及競爭算子實現(xiàn)在連續(xù)空間中的隨機搜索。DE 算法原理簡單，易于實現(xiàn)，在許多復(fù)雜優(yōu)化問題中得到了應(yīng)用[2-6]。DE 算法同其他進化算法類似，需要平衡算法的全局搜索能力與其收斂速度。這種平衡可以通過調(diào)節(jié)算法的控制參數(shù)來實現(xiàn)，但往往控制參數(shù)的調(diào)節(jié)效果有限。因此，許多學(xué)者從不同類型算法的優(yōu)勢出發(fā)，結(jié)合隨機優(yōu)化算法的全局性能和局部優(yōu)化算法的局部搜索能力，研究提出了不同的混合優(yōu)化算法[7-8]。模式搜索算法（Pattern Search，PS）是一種直接優(yōu)化方法，無須求解目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，算法簡單且具有良好的局部搜索能力[9]。因此，很多學(xué)者將模式搜索算法與進化算法相結(jié)合，提出了新的混合算法[10-14]。本文擬將PS 算法引入到DE 算法的DE/rand/1/bin 模式中，研究提出一種基于模式搜索算法的混合差分進化算法——混合模式搜索差分進化算法（Hybrid Pattern Searching Differential Evolution algorithm，HPSDE）。該混合算法利用了DE 算法良好的全局搜索能力和PS算法快速的局部搜索能力，將兩者的優(yōu)勢相結(jié)合，較大地提升了算法的尋優(yōu)效率。

1 混合模式搜索差分進化算法建模

1.1 差分進化算法

DE 算法的進化個體采用實向量進行編碼，采用均勻分布的隨機數(shù)產(chǎn)生初始個體。令xi（g）代表第g代的第i個個體，其中，分別為個體的上、下限，則

式中：NP 為種群大小，Tmax為最大進化代數(shù)。

DE 算法就是由這NP 個個體構(gòu)成的種群在搜索空間不斷進化來進行尋優(yōu)的。DE 算法候選解產(chǎn)生模式有很多種策略[1]，其中DE/rand/1/bin 策略應(yīng)用較為廣泛，且具有全局搜索能力較好、收斂速度較慢的特性，因此，本文選擇該進化模式為研究對象。以求解最小值問題為例說明差分進化算法的進化過程如下。

1）初始化種群。在n維實數(shù)空間按式（2）隨機產(chǎn)生NP 個個體

式中：rand（0，1）是[0，1]上服從均勻分布的隨機數(shù)。

2）變異算子。首先隨機從種群中選擇3 個不同個體xp1，xp2，xp3，且p1≠p2≠p3≠i則變異算子為

式中：F 為縮放因子。

3）交叉算子。交叉算子可以增加種群的多樣性，其操作過程如式（4）所示。

式中：CR 為交叉率，CR∈[0，1]，jrand是[1，n] 上的隨機整數(shù)，這種交叉模式確保νij（g+1）中至少有一位來自hij（g）。

4）選擇算子。DE 算法的選擇策略采用“貪婪”策略，由評價函數(shù)對向量νi（g+1）和向量xi（g）比較，保留較優(yōu)個體，即

反復(fù)執(zhí)行式（3）到（5），直到達(dá)到算法預(yù)設(shè)的終止條件。

1.2 模式搜索算法

PS 算法是一種典型的直接搜索方法，同樣不依賴于梯度信息，具有明顯的幾何意義和快速收斂特性。PS算法的包含探測與移動2 個操作過程。探測的目的是尋找目標(biāo)函數(shù)值較優(yōu)的下一個點，其過程為從當(dāng)前點出發(fā)，依次在n維空間進行探索。移動過程的目的是實現(xiàn)較優(yōu)點的加速，即以探索到的點為基點，查找該點的下一個較優(yōu)點。從幾何意義上講，PS 算法就是從當(dāng)前位置開始，尋找比當(dāng)前位置較優(yōu)的位置，并沿著該方向繼續(xù)搜索，實現(xiàn)向目標(biāo)函數(shù)的不斷逼近。模式搜索算法的步驟如下。

若開始點和開始步長分別為x(1)和d，e1，e2，…，en是坐標(biāo)向量，計算精度和加速因子分別為ε 和γ。

Step1 記y(1)=x(1)，k=1，j=1；

Step3 若j

若f(y(n+1))≥f(x(k) )，執(zhí)行Step5；

若f(y(n+1))＜f(x(k) )，執(zhí)行Step4；

Step4 記x(k+1)=y(n+1)，

y(1)=x(k+1)+γ x(k+1)-x(k)()，k=k+1，再記j=1，轉(zhuǎn)Step2；

Step5 若d≤ε，則計算結(jié)束，記x*=x(k)；否則，記d=d/2，y(1)=x(k)，x(k+1)=x(k)，k=k+1，再記j=1，轉(zhuǎn)Step2。

PS 算法的搜索步長在各個方向是相同的，這就使模式移動方向與最優(yōu)下降方向的偏差較大，從而制約了算法的收斂速度和精度，且使算法對初始點的敏感度增強。因此，在模式搜索差分進化算法中，模式搜索的初始點選擇為當(dāng)前種群的最優(yōu)點。

在采用最優(yōu)步長的坐標(biāo)輪換方法中，若把前一輪的搜索末點xq與這一輪的搜索末點xh連接成一向量s=xh-xq，沿此方向進行搜索，顯然，可以大大加快收斂速度，因此，在模式搜索中，選擇當(dāng)前群體除群體最優(yōu)個體之外的所有個體的中心點為前一輪的搜索末點，式（6）定義了其計算方法。當(dāng)前群體的最優(yōu)點為這一輪的搜索末點構(gòu)成搜索方向向量。取該方向向量的每一維，構(gòu)成坐標(biāo)向量。取步長d為[0，1]上服從均勻分布的隨機數(shù)。

由于HPSDE 算法的步長因子設(shè)置為[0，1]上的均勻分布的隨機數(shù)，因此，PS 算法的Step5 中的終止條件無法實現(xiàn)，為此，設(shè)置PS 算法的Step5 為記x*=x(k)，PS算法終止。修正后的PS 算法的步驟如下。

Step2 若f(y(j)+dej)

Step3 若j

否則j=n，若f(y(n+1))≥f(x(k) )，轉(zhuǎn)Step5；若f(y(n+1))

Step4 記x(k+1)=y(n+1)，

y(1)=x(k+1)+γ (x(k+1)-x(k))，k=k+1，再記j=1，轉(zhuǎn)Step2；

Step5 記x*=x(k)。

1.3 混合模式搜索差分進化算法

DE 算法的變異策略有多種，其中DE/rand/1/bin變異策略具有全局搜索能力強、收斂速度慢的特性。由式（3）可知，DE/rand/1/bin 變異過程中，其候選解的產(chǎn)生采用的是種群中隨機選擇的3 個不同個體，通過線性運算產(chǎn)生的。該變異過程并沒有考慮所選擇個體的適應(yīng)度信息，隨機性強，有利于保持種群的多樣性，但同時也使算法的收斂速度較慢。DE 算法的隨機搜索過程，有可能導(dǎo)致已經(jīng)找到最優(yōu)解附件的點，但由于隨機選擇的交叉?zhèn)€體的原因，而錯過真正的最優(yōu)解。此時，若能在最優(yōu)解附近利用一些局部搜索能力強的算法對最優(yōu)解附近進行局部搜索，則對于提升算法的全局搜索能力，找到全局最優(yōu)解是有幫助的。

因此，若當(dāng)前種群的群體最優(yōu)個體連續(xù)m次目標(biāo)函數(shù)評價（如100 次目標(biāo)函數(shù)評價）沒有改進時，以當(dāng)前種群最優(yōu)個體為基點，以PS 算法進行局部搜索，搜索到的較優(yōu)點或次優(yōu)點與群體最差點進行競爭，從而實現(xiàn)對群體點的改良，促使種群繼續(xù)進化。若在連續(xù)m代內(nèi)當(dāng)前種群最優(yōu)個體有所提升，表明DE 算法正常進化，無停滯現(xiàn)象發(fā)生，正朝著全局最優(yōu)解的方向逼近，此時，不必加入局部搜索策略。HPSDE 算法正是基于以上思想進行設(shè)計的，其實現(xiàn)步驟如下。

Step1 設(shè)置種群規(guī)模NP、交叉概率CR、縮放因子F，計算精度ε 及加速因子γ，在參數(shù)空間隨機初始化每一個個體，設(shè)置最大進化代數(shù)為T，令t=1。

Step2 計算當(dāng)前種群的最優(yōu)適應(yīng)度bestfitness 及最優(yōu)個體。

Step3 若最優(yōu)適應(yīng)度bestfitness 達(dá)到精度要求或者迭代次數(shù)達(dá)到最大，則輸出當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值，退出；否則，轉(zhuǎn)Step4。

Step4 若當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度bestfitness 連續(xù)m次目標(biāo)函數(shù)評價沒有得到改進，則執(zhí)行Step5，否則，執(zhí)行Step7。

Step6 以當(dāng)前群體最優(yōu)點為初始點，執(zhí)行模式搜索算法，并將最優(yōu)結(jié)果替換當(dāng)前群體中的最差點。

Step7 對群體中的所有個體執(zhí)行

Step7.1 執(zhí)行式（3）的變異算子。

Step7.2 執(zhí)行式（4）的交叉算子。

Step7.3 執(zhí)行式（5）的選擇算子。Step8t=t+1，轉(zhuǎn)Step2。

2 混合模式搜索差分進化算法性能分析

為驗證HPSDE 算法的有效性，采用以下3 個典型的測試函數(shù)，與DE 算法（DE/rand/1/bin 模式）進行比較。

實驗中算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為種群規(guī)模設(shè)置為50，F(xiàn) 設(shè)置為0.5，CR 設(shè)置為0.1。HPSDE 算法觸發(fā)PS算法的臨界條件為連續(xù)100 次函數(shù)評價次數(shù)沒有更新，且為使PS 算法能夠具有更強的勘探能力，且又不會遠(yuǎn)離當(dāng)前點，設(shè)置加速因子γ 為1.2。為了使算法的比較更公平，采用函數(shù)評價次數(shù)為終止條件，總的函數(shù)評價次數(shù)設(shè)置為3e5 次。為避免實驗結(jié)果的隨機性，DE 算法與HPSDE 算法對每個函數(shù)均獨立運行30 次，統(tǒng)計結(jié)果見表1。圖1—圖3 為30 次實驗平均最優(yōu)適應(yīng)度進化曲線，圖中橫坐標(biāo)為函數(shù)評價次數(shù)，縱坐標(biāo)為對應(yīng)的30 次實驗平均最優(yōu)適應(yīng)度值。

圖1 f1（x）30 次平均適應(yīng)度進化曲線

圖2 f2（x）30 次平均適應(yīng)度進化曲線

圖3 f3（x）30 次平均適應(yīng)度進化曲線

表1 HPSDE 與DE 運行30 次的函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

2.1 性能分析

HPSDE 算法的設(shè)計思想是在DE 算法中協(xié)同PS 算法，使PS 算法能夠幫助DE 算法進行精細(xì)搜索，從而提升DE 算法的搜索精度。初始進化階段，由于DE 算法種群多樣性較好，個體進化較快，一般不會出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，HPSDE 算法中PS 算法不會發(fā)揮作用。進化的中后期，種群的多樣性下降，出現(xiàn)進化停滯現(xiàn)象，即連續(xù)多次函數(shù)評價（如100 次函數(shù)評價）種群最優(yōu)解得不到改進，此時，PS算法開始發(fā)揮其作用，以當(dāng)前最優(yōu)解為基點執(zhí)行PS 算法，并使PS 算法搜索結(jié)果替換當(dāng)前種群中最差個體，從而加快算法的收斂速度。同時，由于PS 算法的搜索基點為當(dāng)前的群體最優(yōu)點，因此，這種局部搜索會幫助DE 算法提升其搜索精度。但由于有新的搜索策略的引入，且新策略的更新機制使種群中的個體得到更新，因此會破壞DE 算法的原有進化過程，影響DE 算法的穩(wěn)定性。

2.2 結(jié)果分析

從表1 最優(yōu)值數(shù)據(jù)與平均值數(shù)據(jù)可以看出，在相同的函數(shù)評價次數(shù)下，HPSDE 算法的求解精度要優(yōu)于DE 算法的收斂精度，表明DE 算法在引入了PS 算法之后，其收斂速度得到了提升。從30 次最優(yōu)值的均方差比較可以看出，HPSDE 算法的均方差在函數(shù)f1和f3求解結(jié)果上要差于DE 算法的結(jié)果，在f2的求解結(jié)果上要優(yōu)于DE 算法，表明PS 算法受初始解的影響較大，盡管PS 的初始解為當(dāng)前DE 算法的最優(yōu)解，但若當(dāng)前解的周圍不存在優(yōu)于當(dāng)前群體最差解的解時，則會使DE 算法的函數(shù)評價次數(shù)減少，影響到某次最優(yōu)解的精度，使均方差的結(jié)果變差，從而使算法的穩(wěn)定性降低，與算法性能分析結(jié)果一致。

從圖1—圖3 可以看出，HPSDE 算法的收斂速度要明顯優(yōu)于DE 算法；進化開始階段，DE 算法收斂速度較快，能夠不斷地提升尋優(yōu)精度，不斷地向全局最優(yōu)解逼近，在此過程中沒有出現(xiàn)進化“停滯”現(xiàn)象，PS 算法不會被觸發(fā)，因此，不會發(fā)揮作用，從而，HPSDE 算法和DE 算法的收斂曲線具有極大的相似性。但隨著DE 算法進化停滯，連續(xù)多代種群的最優(yōu)解得不到改進，PS 算法以當(dāng)前群體最優(yōu)解為基點進行局部搜索，并使搜索結(jié)果替代當(dāng)前種群中最差個體，加快了DE 算法的收斂速度。

3 高壓容器概率優(yōu)化案例及分析

圖4 為壓力容器的結(jié)構(gòu)尺寸與內(nèi)壓的概率密度函數(shù)曲線[15-16]。根據(jù)現(xiàn)場抽樣檢查得到表2 所列數(shù)據(jù)。其中p為容器的工作壓力，σs為材料的屈服強度極限，h為鋼板厚度。確定該容器在滿足強度不失效概率為0.95 下的最大容積的尺寸R和H，且要求容器尺寸限制在2≤H/R≤2.5。

圖4 壓力容器的結(jié)構(gòu)尺寸與內(nèi)壓概率密度函數(shù)曲線

表2 壓力容器設(shè)計的已知數(shù)據(jù)

考慮到壓力容器制造的工藝誤差，認(rèn)為壓力容器的設(shè)計尺寸R和H是服從正態(tài)分布的隨機變量，其均值μR和μH是未知的，其標(biāo)準(zhǔn)差取為σR=0.03μR，σH=0.03μH。這樣設(shè)計變量為x=[x1，x2]T=[μR，μH]T。

隨機參數(shù)為容器內(nèi)的工作壓力p、容器的壁厚h及材料的允許強度極限σs，即

目標(biāo)函數(shù)取為壓力容器的容積，即

約束函數(shù)為

由此可建立壓力容器的概率優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為

設(shè)置HPSDE 算法的種群規(guī)模為50，最大函數(shù)評價次數(shù)為2e5 次，F(xiàn) 為0.5，CR 為0.1。HPSDE 算法觸發(fā)PS 算法的臨界條件為連續(xù)100 次函數(shù)評價次數(shù)沒有更新，加速因子γ 為1.2。表3 給出了壓力容器的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

表3 壓力容器的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

從表3 的優(yōu)化結(jié)果可以看出，對于含有隨機因素的優(yōu)化問題，用一般優(yōu)化設(shè)計方法所得結(jié)果是十分不可靠的。因為其約束滿足的實際概率值僅有50%左右。若用隨機模型進行優(yōu)化設(shè)計，且采用其計算結(jié)果比較合理與可靠。

4 結(jié)論

本文首先通過對差分進化算法及模式搜索算法研究，提出了一種混合模式搜索差分進化算法，通過仿真實驗對算法性能進行了分析，發(fā)現(xiàn)該算法在相同的函數(shù)評價次數(shù)下，HPSDE 算法的求解精度要優(yōu)于DE 算法的精度。但在一定條件下，PS 算法的引入又會使算法的穩(wěn)定性下降，這也是進一步研究該算法的出發(fā)點。其次，本文考慮到高壓容器設(shè)計中的隨機因素，建立了高壓容器概率優(yōu)化模型，并采用HPSDE 算法對高壓容器的確定型模型與概率模型進行了求解，比較結(jié)果表明采用隨機模型的計算結(jié)果更為合理可靠。