彭珍瑞,張雪萍,張亞峰

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

近年來,有限元模型修正技術(shù)發(fā)展迅速,逐漸成為結(jié)構(gòu)動力學領(lǐng)域的熱門研究方向。模型修正的本質(zhì)是利用實測響應來調(diào)整、優(yōu)化有限元模型參數(shù),包括材料參數(shù)、幾何尺寸以及約束條件等,使修正后的有限元模型能夠更好地反映實際結(jié)構(gòu)的動力學行為[1-2]。

當下,絕大多數(shù)模型修正方法局限于確定性領(lǐng)域,確定性方法認為結(jié)構(gòu)參數(shù)及響應均為定值,導致修正后的有限元模型只能重現(xiàn)某一特定情形下的動力學行為[3-5]。然而,不確定性方法通過引入概率統(tǒng)計來量化模型修正過程中的不確定性,對于結(jié)構(gòu)模型修正具有重要研究意義[6-7]。國內(nèi)外學者在不確定模型修正領(lǐng)域開展研究,取得了一定的研究成果。宗周紅等[8]采用蒙特卡洛模擬來量化分析模型修正中的不確定性,同時評價修正后模型的預測精度,并成功地對連續(xù)剛構(gòu)橋有限元模型進行了修正。Hua等[9]引入計算效率較高的改進攝動法,利用隨機實測響應修正了桁架有限元模型,并獲得了結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計特征。Fang等[10]基于Hermite多項式混沌展開理論,建立了模型修正的隨機反問題,有效修正了結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標準差等統(tǒng)計特征。陳爐云等[11]基于多類型響應和多層次理論,建立了考慮多響應的結(jié)構(gòu)動力學修正歸一化模型,并對一船艦底座模進行了修正。陳輝等[12]通過多變量非正交多項式展開式來表示結(jié)構(gòu)的待修正參數(shù),構(gòu)造了結(jié)構(gòu)響應與待修正參數(shù)之間的隨機修正方程,并引入混合攝動-伽遼金方法求解得到了結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計特征。秦仙蓉等[13]將不確定性模型修正問題轉(zhuǎn)化為一系列確定性模型修正問題,采用多目標遺傳算法進行求解,并對一岸橋模型進行了修正。

采用上述方法進行隨機模型修正時,通常需要建立多個目標函數(shù)進行求解。在利用智能優(yōu)化算法進行多目標優(yōu)化的過程中,通常不能保證所有子目標函數(shù)同時獲得最優(yōu)值[14]。針對隨機模型修正中計算成本較高的問題,本文將Cokriging代理模型技術(shù)和單目標函數(shù)進行結(jié)合,提出了一種隨機模型修正方法。首先,利用訓練集樣本和對應的有限元計算響應來構(gòu)造滿足精度要求的Cokriging模型;然后,基于有限元模型計算響應和試驗響應的統(tǒng)計特征值,建立加權(quán)殘差之和目標函數(shù);最后,引入土狼優(yōu)化算法獲得待修正參數(shù)的最優(yōu)均值和標準差,并通過二維桁架與三維桁架結(jié)構(gòu)驗證本文方法的有效性。

1 Cokriging模型構(gòu)造

Cokriging模型將主變量的自相關(guān)性和主變量與協(xié)變量的交叉相關(guān)性結(jié)合進行估計。理論上Cokriging方法比Kriging方法更好。采用Cokriging法構(gòu)造的修正模型[15]可表示為

(1)

式中:μ(xi)為x的多項式函數(shù);z(xi)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)且協(xié)方差不為0的隨機分布。

初始待修正參數(shù)由拉丁超立方方法抽樣,樣本區(qū)間為待修正參數(shù)的±20%,計算樣本響應值,將樣本與所對應的響應值分為訓練集和測試集,訓練集構(gòu)建Cokriging模型,由均方根誤差(RMSE)值檢驗模型精度,RMSE越小,表明Cokriging模型的預測精度越高。RMSE表示為

(2)

2 目標函數(shù)構(gòu)造

隨機有限元模型修正中往往需要建立隨機參數(shù)的均值和標準差的多個目標函數(shù)進行多目標優(yōu)化。目標函數(shù)可表示為:

(3)

(4)

兩個目標函數(shù)往往相互矛盾,有時候很難同時達到最優(yōu),考慮轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題,簡化修正過程,提高計算效率,其目標函數(shù)為

(5)

3 模型修正過程

3.1 土狼優(yōu)化算法

土狼優(yōu)化算法是基于土狼對環(huán)境的適應行為提出的一種新型群智能全局優(yōu)化算法[16],該算法具有種群多樣性強、收斂速度快等優(yōu)點。土狼優(yōu)化算法步驟如下:

1) 土狼群初始化。土狼劃分Np組,每組Nc只土狼,土狼的社會條件socj為

socj=lbj+randj(ubj-lbj)

(6)

式中:ubj和lbj分別為參數(shù)上、下界;randj為[0,1]區(qū)間的隨機數(shù),j=1,2,…,D,D為優(yōu)化問題決策變量數(shù)量。

2) 土狼組內(nèi)文化互動。土狼在群體影響(δ1)和最優(yōu)狼影響(δ2)下產(chǎn)生組內(nèi)族群間文化互動,即形成新的社會條件,可表示為

socnew=soc+r1δ1+r2δ2

(7)

式中:r1和r2為[0,1]中的隨機數(shù)。

3) 新土狼誕生?？紤]出生和死亡為生命中的主要事件,在環(huán)境影響和遺傳因子共同作用下,新土狼的誕生公式為

(8)

ps=1/D,pa=(1-ps)/2

(9)

3.2 模型修正過程

在Cokriging模型作為代理模型參與迭代計算的過程中,參數(shù)樣本和結(jié)構(gòu)響應需要相對應,難以直接獲得響應的標準差,因此本文在每次迭代過程中隨機抽取2 000個服從正態(tài)分布的樣本;然后,利用Cokriging模型計算隨機樣本的響應,進而得到響應的統(tǒng)計特征值;最后,采用土狼優(yōu)化算法求解目標函數(shù)obj3,得到待修正參數(shù)的均值和標準差。模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖Fig. 1 Flow chart of model updating

4 數(shù)值算例

4.1 二維桁架

二維桁架結(jié)構(gòu)如圖2所示,其由16個節(jié)點和29個自由度組成。將桿單元分為斜桿和剩余桿兩組,彈性模量分別為E1和E2,所有桿單元的質(zhì)量密度為d。選取上述材料參數(shù)的均值和標準差作為待修正參數(shù),假設(shè)有限元模型的E1、E2及d的試驗均值分別為190 GPa、210 GPa和7 800 kg/m3,標準差為2.5、2.2和25。同時,初始均值和試驗均值的相對誤差為±10%,則待修正參數(shù)的初始均值分別為209 GPa、231 GPa和7 020 kg/m3。

圖2 二維桁架模型Fig. 2 Two dimensional truss structure

采用拉丁超立方抽樣在待修正參數(shù)范圍內(nèi)抽取550組樣本,其中,將前450組樣本作為訓練集,前10階模態(tài)頻率和第3節(jié)點的前4階模態(tài)振型作為響應來構(gòu)造Cokriging模型,后100組樣本作為測試集來檢驗所構(gòu)造Cokriging模型的預測精度。計算得到RMSE為1.09×10-5,說明模型精度滿足要求。為進一步驗證預測精度,分別利用有限元模型和Cokriging模型計算第6階頻率和第2階振型,如圖3和圖4所示?？梢钥闯?Cokriging模型的預測值和有限元模型計算值基本重合,表明所構(gòu)造的Cokriging模型具有較高的預測精度。

圖3 頻率的預測值和真實值Fig. 3 Predicted and true values of frequency

由于在實際工程中難以獲得大樣本試驗數(shù)據(jù),因此本文采用半實驗樣本數(shù)據(jù),即隨機抽取500組服從試驗高斯分布的參數(shù)樣本,將樣本代入有限元模型,計算得到前10階頻率和第3節(jié)點前4階振型作為試驗響應。然后,設(shè)定土狼優(yōu)化算法中的相關(guān)參數(shù),分別為:Np=10,Nc=10,進化次數(shù)為500。求解待修正參數(shù)的均值與標準差,多次試驗得到ω1=0.605、ω2=0.155。為了驗證本文方法的優(yōu)勢,在相同條件下,利用土狼優(yōu)化算法分別求解多目標函數(shù)和單目標函數(shù),獲得待修正參數(shù)的統(tǒng)計特征值,如表1所示?？梢钥闯?經(jīng)多目標函數(shù)修正方法修正后的有限元模型,其結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標準差的相對誤差小于5%,而經(jīng)本文所提單目標函數(shù)修正方法修正后的相對誤差均能保持在3.5%以內(nèi),本文方法具有更高的修正精度。

表1 修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標準差(二維桁架)Tab. 1 The means and standard deviations of structural parameters before and after updating(2D truss)

圖5和圖6分別為利用本文所提方法修正前后的模態(tài)頻率和振型的對比圖,可以看出,經(jīng)本文方法修正后模態(tài)響應的均值與試驗響應的均值能夠充分接近。

圖5 頻率對比Fig. 5 Frequencies comparison

圖6 振型對比Fig. 6 Shapes comparison

為進一步驗證本文方法的有效性,在表1修正值所對應的高斯分布內(nèi),隨機抽取300組樣本,代入修正后有限元模型中計算頻率來得到概率密度函數(shù)。修正后模型和試驗模型的第1、2、5、10階模態(tài)頻率的概率密度函數(shù)曲線如圖7所示,可以看出修正后頻率的概率密度曲線與試驗結(jié)果基本重合。

圖7 修正后頻率的概率密度函數(shù)曲線Fig. 7 Updated frequency probability density function curves

對修正后的模態(tài)響應進行歸一化處理,第5階與第6階模態(tài)頻率、第7階與第8階模態(tài)頻率、第1階與第3階模態(tài)振型的分布及95%置信橢圓如圖8所示。由圖8可以看出:修正后的模態(tài)響應大部分位于置信橢圓內(nèi)的高概率區(qū)域內(nèi),且修正后模型響應和試驗響應的置信橢圓基本一致。

圖8 修正后參數(shù)響應的分布及置信橢圓Fig. 8 The distributions and confidence ellipses of the updated parameter response

4.2 三維桁架

三維桁架結(jié)構(gòu)如圖9所示,基本屬性參數(shù)如表2所示。將桿單元分為兩組,分別為各主桁桿單元和上、下平縱聯(lián)各桿單元。兩組桿單元的彈性模量分別為E1和E2,各桿單元的質(zhì)量密度均為d。選取待修正參數(shù)為E1、E2及d的均值和標準差,假設(shè)試驗均值分別為230 GPa、210 GPa和7 300 kg/m3,標準差分別為3.0、2.0和20,同時,初始均值分別為253 GPa、189 GPa和8 030 kg/m3。

圖9 三維桁架模型Fig. 9 Three dimensional truss model

表2 三維桁架模型屬性Tab. 2 Properties of 3D truss model

選取前4階頻率和第6節(jié)點前4階振型作為響應,采用4.1節(jié)方法構(gòu)造訓練集和測試集樣本,計算相應的結(jié)構(gòu)響應來構(gòu)建Cokriging模型。計算得到RMSE為1.43×10-5,表明所構(gòu)造的Cokriging模型精度滿足要求。圖10為第1階頻率的預測值和有限元模型計算值,可以看出預測值與有限元模型計算值幾乎重合,表明所構(gòu)造的Cokriging模型的預測精度滿足要求。

圖10 第1階頻率的預測值和真實值Fig. 10 Predicted value and true value of first order frequencies

同樣采用半實驗樣本數(shù)據(jù),計算有限元模型的前4階頻率和第4節(jié)點的前4階振型作為試驗響應,得到ω1=0.605、ω2=0.155及多目標和單目標函數(shù)下的參數(shù)修正結(jié)果,如表3所示。

表3 修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標準差(三維桁架)Tab. 3 The means and standard deviations of structural parameters before and after updating(3D truss)

由表3可以看出:本文單目標函數(shù)修正后的參數(shù)均值與標準差的相對誤差小于3.2%,小于多目標函數(shù)修正方法的4.5%。頻率和振型的修正結(jié)果如圖11和圖12所示,可看出修正前頻率和振型的均值與試驗模態(tài)響應均值相差較大,經(jīng)所提方法修正后,兩者的均值接近。由表3還可以看出,經(jīng)多目標函數(shù)修正方法修正后的有限元模型,其結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標準差的相對誤差在4.5%以內(nèi),而經(jīng)本文所提單目標函數(shù)修正方法修正后的相對誤差均能保持在3.2%以內(nèi),所提方法具有更高的修正精度。

圖11 頻率對比Fig. 11 Frequencies comparison

圖12 振型對比Fig. 12 Shapes comparison

圖11和圖12分別為修正前后模態(tài)頻率和振型的對比圖,可以看出,經(jīng)所提方法修正后的模態(tài)響應均值能夠充分接近于試驗響應均值。

為進一步驗證本文方法的修正效果,同4.1節(jié)計算修正后模型和試驗模型的概率密度函數(shù),如圖13所示,可以看出修正后頻率的概率密度曲線向試驗結(jié)果充分靠攏。進而對修正后的模態(tài)響應進行歸一化處理,第1階與第3階模態(tài)頻率、第2階與第4階模態(tài)頻率、第1階與第3階模態(tài)振型的分布及置信橢圓如圖14所示。由圖14可以看出:修正后的修正后模型響應和試驗響應的置信橢圓基本重合,進一步驗證了所提方法的可行性和有效性。

圖13 修正后頻率的概率密度函數(shù)曲線Fig. 13 Updated frequency probability density function curves

圖14 修正后參數(shù)響應的分布及置信橢圓Fig. 14 The distributions and confidence ellipses of the updated parameter response

5 結(jié)論

1) 將隨機模型修正問題簡化為修正結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計特征值,直接求解加權(quán)殘差目標函數(shù)得到參數(shù)的統(tǒng)計特征,提高了隨機模型修正的效率。

2) 建立的單目標函數(shù)能夠較好地度量兩個概率分布之間的差異,為解決多目標優(yōu)化中的各子目標函數(shù)相互制約的問題提供了一定的借鑒。

3) 通過Cokriging模型技術(shù)擬合待修正參數(shù)與響應之間的復雜關(guān)系,進而替代有限元模型參與迭代計算,降低了模型修正的計算成本。