劉文艷，李向有，袁 靜

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

自20 世紀(jì)60 年代以來，最優(yōu)化問題一直都是重要的研究課題，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、最優(yōu)控制理論、博弈論和統(tǒng)計決策理論等方面都有重要的應(yīng)用價值［1-3］。但在解決實際問題的過程中，大量函數(shù)是非凸函數(shù)，因此推廣函數(shù)的凸性并用于研究數(shù)學(xué)規(guī)劃問題是最優(yōu)化理論的重要研究內(nèi)容。

近年來，PREDA［4］把(F，α，ρ，d)-凸函數(shù)推廣到非可微向量情形下，并用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對偶條件。文獻(xiàn)［5-9］進(jìn)一步推廣了不同的凸函數(shù)，得到相應(yīng)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對偶性條件。TANION［10］證明了多目標(biāo)規(guī)劃問題的解和相應(yīng)的乘子向量是向量值拉格朗日的鞍點，VAN 等［11］構(gòu)造了多目標(biāo)規(guī)劃問題的拉格朗日函數(shù)，并提出了多目標(biāo)規(guī)劃有效解的鞍點條件和充分條件。LI 等［12］給出了多目標(biāo)優(yōu)化中拉格朗日乘子或弱鞍點存在的條件，并建立了拉格朗日乘子與弱鞍點之間的關(guān)系。ANTCZAK［13］利用改進(jìn)的鞍點準(zhǔn)則，刻畫了一類新的非可微多目標(biāo)規(guī)劃問題的可解性，證明了原多目標(biāo)規(guī)劃問題的（弱）有效解和向量值Lagrange 函數(shù)的鞍點是等價的。文獻(xiàn)［14-15］利用G函數(shù)，研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的鞍點條件。

以往文獻(xiàn)主要研究整式規(guī)劃問題的鞍點條件，分式規(guī)劃的鞍點條件研究較少。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用(F，α，ρ，d)-凸函數(shù)，研究了涉及此類函數(shù)的非線性多目標(biāo)分式規(guī)劃的鞍點問題，得到了Lagrange函數(shù)鞍點的充分性和必要性條件。

1 基本定義及引理

定義1.1［16］稱實值函數(shù)f：Rn→R 是局部Lipschitz 的，若對任意x∈Rn，存在一個正數(shù)k和x的鄰域N(x)對任意y，z∈N(x)，使得

定義1.2［16］若函數(shù)f為局部Lipschitz 的，那么函數(shù)f：X→R 在點x處沿方向d的Clarke 廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度定義如下：

定義1.3［16］稱函數(shù)F：X×X×Rn→R 是次線性函數(shù)［12］，如果對于任意的x，xˉ∈X有

定義1.4［7］設(shè)F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數(shù)，函數(shù)f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數(shù)f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸的，若

若函數(shù)f在X上每一點都是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸的，則稱函數(shù)f在X是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸函數(shù)。

定義1.5［7］設(shè)F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數(shù)，函數(shù)f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數(shù)f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變偽凸的，若

定義1.6［7］設(shè)F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數(shù)，函數(shù)f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數(shù)f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變擬凸的，若

考慮如下的非線性多目標(biāo)分式規(guī)劃問題（VFP）：

其中，X是Rn上的開集，設(shè)D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x)和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函數(shù)，且對所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

本文中約定，對于任意x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T；

x=y當(dāng)且僅當(dāng)xi=yi，且i=1，…，n；x>y當(dāng)且僅當(dāng)xi>yi，且i=1，…，n；

x≧y當(dāng)且僅當(dāng)xi≧yi，且i=1，…，n；x≥y當(dāng)且僅當(dāng)xi≧yi，且x≠y。

定義1.7［8］稱xˉ∈X是問題（VFP）的有效解，如果不存在其他的x∈X，使得

對vi∈，考慮如下的輔助問題（MVP）：

min(f1(x) -v1g1(x)，…，fp(x) -vpgp(x))，則可獲得以下結(jié)果：

2 鞍點準(zhǔn)則

設(shè)X是Rn上的開集，D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x) 和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函數(shù)，且對所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

由拉格朗日函數(shù)的定義，可以得到以下不等式：

證明先證明鞍點定義2.1 的1）。根據(jù)假設(shè)是KKT 點，那么是（VFP）的可行解。由KKT條件（5），可得到

根據(jù)拉格朗日函數(shù)的定義可知

如定義1.4所示，根據(jù)次線性性質(zhì)和不等式（19），可得

對于所有的x∈D，根據(jù)拉格朗日函數(shù)的定義，可得如下不等式：

對于所有的x∈D都成立。通過不等式（12）和（21），得出是多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的（VFP）拉格朗日函數(shù)L的鞍點。從而得出定理的結(jié)論。

證明過程參考定理2.2。

3 結(jié)束語

本文利用(F，α，ρ，d)-凸函數(shù)，研究了涉及此類函數(shù)的非線性多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的鞍點條件，得到了多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的Lagrange函數(shù)鞍點的充分性和必要性條件，把非線性多目標(biāo)整式規(guī)劃中鞍點的相關(guān)結(jié)論推廣到非線性多目標(biāo)分式規(guī)劃中，從而拓展了鞍點理論的適用范圍。后續(xù)還可以利用(F，α，ρ，d)-凸函數(shù)研究非線性多目標(biāo)極大極小分式規(guī)劃問題。