李 雙，呂海寧，黃小華，楊建民

（1.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學三亞崖州灣深海科技研究院，海南三亞 572000；3.廣西大學防災與結構安全教育部重點實驗室，南寧 530004）

0 引 言

Q345鋼材作為一種低合金高強度結構鋼，綜合性能良好，被廣泛應用于船舶與海洋工程結構中，是軍輔船、民船的主要結構材料，還是艦艇設備的結構用材料[1-2]。雖然該材料具有較好的塑性性能，但是由初始裂紋擴展造成的低應力脆斷是工程結構鋼的主要破壞模式[3]，這是由于材料本身缺陷（金屬澆筑產生的收縮孔、氣泡、雜質，鍛壓產生的褶層，焊接產生的氣孔、夾雜等）或使用過程中造成的損傷（機加工產生的刀傷，運輸產生的碰傷，使用過程中的疲勞裂紋和腐蝕裂紋等），使結構內部不可避免地會存在裂紋缺陷，破壞了構件和材料的連續(xù)性和均勻性，造成應力集中，在一定條件下微裂紋不斷擴展和積聚產生宏觀裂紋，最終使材料和結構的工作應力在遠低于屈服極限的情況下發(fā)生脆性斷裂，使工程中存在重大安全隱患，產生不可預估的損失。因此，研究含裂紋缺陷的低合金鋼構件的裂紋擴展規(guī)律、斷裂和破壞行為，掌握其裂紋斷裂特性具有重要的學術價值和工程應用背景，且對于軍民用船結構的均衡設計、關鍵鋼構件的斷裂防護等具有重要意義。

為了研究含裂紋缺陷的鋼構件斷裂特性和裂紋擴展規(guī)律，相關研究者分別采用試驗和數值模擬的方法進行了研究。在試驗方面，余柳明[4]進行了含裂紋損傷的Q345 鋼構件拉伸試驗并提出了呈現(xiàn)脆性性能的概率分析方法。張得揚等[2]研究了Q345 鋼T 型焊接接頭的抗沖擊性能，發(fā)現(xiàn)焊接拉伸試件的塑性階段較短，在相同位移載荷下有裂紋缺陷的焊接拉伸試件會提前發(fā)生斷裂。在數值方面，何書韜等[5]利用彈塑性裂紋及裂紋擴展的理論解析解，探討了不同裂紋變量對含裂紋損傷的海洋平臺結構承載能力的影響。李景陽等[6]根據有限元數值分析方法，研究了雙向拉伸載荷作用下的含裂紋金屬板的剩余極限強度。劉偉[3]基于線彈性斷裂力學理論，借助ANSYS 軟件平臺，利用APDL 語言編制了專用分析程序，研究了含裂紋損傷金屬材料的二維裂紋擴展路徑。曾雙峰[7]和李玉濤[8]研究了含雙邊裂紋缺陷的Q345鋼在單軸拉伸荷載下的裂紋擴展規(guī)律和漸進斷裂行為，并采用ABAQUS軟件平臺進行計算模擬。張婧等[9]應用非線性有限元分析方法，研究了初始變形缺陷對含裂紋加筋板承載力的影響，并討論了預制裂紋位置和長度對板應力分布特征及變形模式的影響。

由以上分析可知，研究者大多采用有限元及其擴展方法進行結構的斷裂模擬，但是有限元法及其他基于連續(xù)介質力學理論的數值方法在處理材料不連續(xù)問題時，需要額外引入裂紋擴展準則，而且如何克服網格依賴性以及如何解決裂紋萌發(fā)和擴展時的非奇異問題仍然是一個挑戰(zhàn)。

新興的近場動力學理論（Peridynamics，PD）[10]的提出彌補了這些不足。PD 以位移的空間積分形式完全重構了傳統(tǒng)連續(xù)介質力學理論，這種積分型方程在不連續(xù)處仍有定義而使其避免了奇異性問題，且PD將物體離散為一系列帶質量的物質點，物質點之間通過“鍵”連接，從而不存在網格依賴性問題。斷裂準則通過一個描述連接鍵狀態(tài)的記憶函數嵌入本構方程中，能夠模擬材料中裂紋自發(fā)的萌生和擴展，是一種特別適合模擬材料破壞的力學理論[11]。傳統(tǒng)的鍵基近場動力學方法（Bond-based Peridynamics，BPD）[10，12]只有一個微觀模量參數，即鍵剛度，產生了固定泊松比的限制，在平面應力狀態(tài)下，泊松比只能是1/3，平面應變狀態(tài)和三維應力狀態(tài)下，泊松比只能是1/4[13]。因此，2007年，Silling等[14]提出了能突破泊松比恒定限制的態(tài)基PD 方法，但是其需要較高的計算成本并且降低了數值穩(wěn)定性。2015 年，Prakash 等[15]通過引入一個切向彈簧，提出一種求解平面應力問題的雙參數PD 模型，該模型不僅突破了BPD固定泊松比的限制，并且能夠保留BPD的簡單性和數值實施穩(wěn)定性，但是該模型主要是為了解決彈脆性破壞問題，對材料受載過程中的非線性行為無法表述，而且也無法反映PD 非局部力的長程力特性。

本文基于近場動力學理論，通過改進Prakash 等[15]提出的雙參數PD 方法，提出一種適用于模擬含損傷缺陷的低合金鋼斷裂的非線性雙參數近場動力學模型，重點研究含裂紋損傷的Q345鋼拉伸斷裂行為，可為船舶設計和結構破壞預測提供參考。

1 雙參數PD

傳統(tǒng)鍵基PD 中，宏觀連續(xù)體在其所在空間域Ω內由大量物質點組成，物質點以初始構型的位置X作為標記，攜有體積VX和質量密度ρ。任一物質點X僅在其有限的“域”內通過鍵與其他物質點X'存在相互作用力f，而與該域以外的物質點不存在任何相互作用。域是以該物質點為中心、以δ為半徑的鄰域范圍HX={X′∈Ω:|X′-X|≤δ} ，根據牛頓第二定律，物質點X在t時刻的運動方程為

式中，u?=?2u(X,t)/?t2為加速度，b為體力密度；f為本構力函數，包含了物質點的所有本構信息，表示t時刻單位體積的物質點X'施加于物質點X的體力密度；u和u'分別表示t時刻兩物質點的位移。通常采用ξ=X'-X表示初始時刻兩物質點的相對位置，η=u'-u表示在t時刻它們的相對位移，則t時刻兩物質點的相對位置為ξ+η。

根據Prakash 等[15]提出的雙參數PD 方法，假定平面結構內任意兩物質點X和X'間通過法向彈簧和切向彈簧連接，法向彈簧是沿著平行鍵初始方向（e?n//ξ=X'-X），切向彈簧是沿著垂直于連接鍵初始方向（e?t⊥ξ），此時，X和X'之間微彈性應變能密度為

式中，cn(ξ,δ)和ct(ξ,δ)分別為法向剛度系數和切向剛度系數，|ξ|為物質點X和X'之間鍵的原長，且|ξ|=ξ，ηn是相對位移矢量在鍵初始方向的分量，ηt是相對位移矢量在垂直于連接鍵初始方向的分量。ω是由于彈簧伸長而儲存在連接鍵中的單位體積應變能密度，稱為微彈性應變能密度。物質點X的宏觀彈性應變能密度WPD(X)是其近場范圍HX內所有與它連接的鍵內微彈性應變能密度之和，表示為

于是，根據Silling[10]的方法，兩物質點X和X'間的作用力密度被推導為

在二維情形下，e?n和e?t分別表示沿著鍵初始方向和垂直鍵初始方向單位矢量，即

該本構力函數是一個不一定與ξ+η共線的矢量，因此，PD的運動方程可表示為

考慮均勻雙向應變場下的各向同性均勻體。假設應變無窮小，則每一點的變形梯度為

式中，ε11和ε22分別是材料中任意物質點沿方向1和方向2的應變值。假定ξ是參考構型中與e?1成θ角的任意鍵，為了簡單起見，令ξ= |ξ|，則ξ={ξcosθ,ξsinθ}T。而鍵ξ變形成ξ+η可通過Fξ給出，即ξ+η={(ε11+ 1)ξcosθ,(ε22+ 1)ξsinθ}T。則相對位移矢量η={ε11ξcosθ,ε22ξsinθ}T，進一步地，相對位移矢量η可以分解為沿法向和切向的分量

值得注意的是，平面應力條件下當材料的泊松比為1/3，平面應變條件下當材料的泊松比為1/4時，切向剛度ct趨近于零，從而退化為類似于傳統(tǒng)BPD的單參數模型。

2 改進雙參數PD

2.1 考慮PD非局部長程力特性修正

為了考慮PD 物質點間作用強度隨物質點距離增大而衰減的客觀規(guī)律，基于Ha 等[16]在傳統(tǒng)BPD模型考慮的能夠反映非局部長程力尺寸效應的核函數修正項，推導了雙參數鍵基PD的圓錐形微模量表達式。傳統(tǒng)BPD 模型中圓錐形微模量變化函數為g(ξ,δ)=1-(ξ/δ)，因此，考慮非局部長程力特性的雙參數鍵基PD的法向和切向剛度可表達為

式中，cn(0,δ)和ct(0,δ)分別反映兩物質點相鄰時的點之間法向和切向剛度，g(ξ,δ)反映物質點間長程力的強度隨兩點間距離變化的規(guī)律并且需滿足一定的條件方能成立[17]。

因此，式（9）可改寫為

同理，二維平面應變狀態(tài)下，

2.2 雙參數PD的非線性本構力函數構建

雙參數鍵基PD模型只能描述彈脆性材料的力學行為，而不能描述材料的非線性受力情況。根據曾雙峰[7]和李玉濤[8]針對含裂紋缺陷的Q345 低合金鋼在單軸拉伸荷載試驗下的載荷-位移曲線，如圖1（a）所示，其完整破壞過程是線性與非線性的力學行為，由于初始裂紋的存在，Q345鋼裂紋尖端存在高度的應力集中，所以載荷-位移曲線沒有明顯的屈服平臺，其受力過程可劃分為線彈性變形OA，非線性強化變形AB和損傷破壞BC三個階段。

圖1 含裂紋缺陷的Q345鋼的荷載-位移曲線和雙參數PD力函數擬合曲線Fig.1 Load-displacement curve and two-parameter PD force function fitting curve of Q345 steel with crack defects

在近場動力學理論中，近場力與伸長量、荷載與位移均為力與變形的關系，均表述了材料破壞的力學行為，其線性和非線性的關系應是基本一致的。于是，基于石宏順等[18]將BPD 模型本構力函數劃分為線性變形和非線性變形階段的思想，將含裂紋缺陷的低合金鋼的雙參數PD本構力函數與試驗所得荷載-位移曲線進行擬合，得到雙參數PD 的非線性本構力函數曲線，如圖1（b）所示。線性段OA和非線性段AC描述鍵的彈性變形和非線性變形階段；超過A點以后進入非線性階段，材料開始發(fā)生損傷變形直至最后破壞。

基于雙參數PD 方法通過引入非線性本構函數以及損傷模型，使之能夠模擬含裂紋損傷的Q345鋼損傷累積和斷裂行為。由圖1（a）可知，荷載-位移曲線的A點是線性變形至非線性變形的過渡點，引入損傷變量D：

式中：s表示鍵拉伸時的變形，定義為s=(|ξ+η|- |ξ|)/ |ξ|；set表示鍵拉伸時彈性變形階段臨界伸長量；snt表示鍵最大拉伸臨界伸長量；st表示鍵拉伸斷裂伸長量，對應PD鍵的斷裂。當0 ＜s≤set時，鍵處在彈性變形階段，當set＜s≤st時，鍵進入非線性變形階段，此時鍵的損傷開始逐漸積累；當s≥st時，鍵斷裂。在準靜態(tài)荷載情況下，鍵拉伸斷裂伸長量可表示為st=αft/E，鍵的斷裂意味著裂紋的形成。因此，受拉荷載下Q345鋼線性變形和非線性變形階段的本構力函數基本形式可表示為

將式（19）代入式（20），可得含裂紋損傷Q345鋼拉伸斷裂的雙參數PD非線性本構力函數表達式：

在交變荷載情況下，PD 疲勞裂紋的擴展仍采用上述改進的PD 計算方法，但是鍵疲勞斷裂準則取代準靜態(tài)荷載下的斷裂準則。在疲勞斷裂準則中，單次的荷載無法直接產生鍵斷裂效應，通過對模型的一次準靜態(tài)分析來處理一次荷載循環(huán)，得到這一次荷載循環(huán)中鍵的損傷量。隨著交變荷載循環(huán)次數的增加，鍵的損傷逐步累積，當達到一定的條件時，鍵斷裂，從而得到疲勞裂紋的萌生和擴展。因此，可賦予每個鍵“剩余壽命”λ的概念，其初始值與循環(huán)荷載次數N的關系[19]如下：

式中：ε為鍵伸長率的變化值；smax和smin分別為一次加載過程中鍵伸長率的最大值和最小值，通過準靜態(tài)分析得到；R為應力比；A和p均為可通過實驗數據擬合得到的待定常數。PD 采用標量函數μ來表達鍵的損傷情況[12]，鍵未發(fā)生斷裂時，μ=1；鍵斷裂時，兩個物質點相互作用永久消失，此時μ=0。交變荷載情況下，在標量函數μ中引入“剩余壽命”λ參數，將μ改寫為

為了表征任意質點位置處的損傷程度，可基于標量函數μ定義每個質點的損傷指數ψ，當ψ=0時表示材料未發(fā)生損傷，ψ=1時表示材料完全損傷，可表示為

3 誤差分析

為了驗證提出的改進雙參數PD 模型的計算精度，通過數值解與解析解進行對比分析。采用長1 m、寬0.5 m 的長方形薄板，彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，幾何參數和材料參數除泊松比外，與Madenci 等[20]采用的誤差分析算例相同，薄板被離散為100×50 個物質點，物質點間距Δ=0.1 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，沿矩形短邊施加的單軸應力荷載為p=200 MPa，應力邊界條件的施加方式是從薄板邊界區(qū)域上以體力密度的形式施加在板內物質點上。因為雙參數PD 模型能夠突破傳統(tǒng)BPD模型固定泊松比的限制，該算例取材料泊松比ν等于0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、1/3分別進行計算。

根據彈性力學基本理論，二維平面x和y位移解析解計算公式為ux(x,y=0)=px/E，uy(x= 0,y) =-νpy/E。x和y位移的數值解ux*、uy*與解析解ux、uy的相對誤差計算公式為ex=(ux*-ux)/ux，ey=(uy*-uy)/uy，其中，ex、ey分別表示x和y位移的相對誤差。

當泊松比ν=0.3 時，改進的雙參數PD 模型與Prakash 等[15]原雙參數PD 模型計算的薄板沿受力x方向的誤差位移云圖如圖2所示。由圖可知，改進的雙參數PD 模型沿受力方向的數值解與解析解的最大相對誤差為1.85%，而原雙參數PD模型最大相對誤差為2.44%。薄板內部的相對誤差也從0.43%提升到了0.1%。

圖2 雙參數PD模型相對誤差云圖Fig.2 Contours of two-parameter PD model relative errors

圖3 給出了泊松比ν分別取0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、1/3情況下的兩種雙參數PD 模型沿薄板受力方向的最大相對誤差。由圖3 可知，無論材料泊松比取何值，改進的雙參數PD 模型總能進一步提高計算精度，減少誤差；并且隨著材料泊松比的增大，計算誤差有逐漸增大的趨勢，但最大的相對誤差也僅有2.54%，此時泊松比ν=1/3。

圖3 不同泊松比情況下兩種雙參數PD模型的最大相對誤差Fig.3 Maximum relative errors of two two-parameter PD models with different Poisson's ratios

4 含損傷缺陷Q345鋼裂紋擴展模擬

為了驗證改進的非線性雙參數PD 方法，將試驗結果和數值模擬仿真得到的裂紋擴展結果進行對比分析。采用幾何參數和材料參數與文獻[7-8]相同的低合金高強度Q345 結構鋼，有效幾何尺寸長度、寬度和厚度分別為70 mm、40 mm 和4 mm，試件雙邊緣預制穿透型裂紋，裂紋寬度為2 mm，如圖4 所示。材料彈性模量E=203 GPa，泊松比ν=0.3，質量密度ρ=7850 kg/m3，極限抗拉強度ft=572 MPa，將試件進行離散，取物質點間距Δ=0.5 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ。整個模擬過程中在試件短邊采用位移加載，每一個加載步在試件兩端施加一個增量為Δu=1.5×10-7mm 的位移，為了得到每一步位移的穩(wěn)態(tài)解，采用動態(tài)松弛法[20]，時間步長取Δt=1.0。最大拉伸臨界伸長量與材料抗拉強度相關，snt=ft/E=2.82×10-3。通過PD 數值計算方法，以程序設計的方式實現(xiàn)了對該材料破壞的模擬。

圖4 預制雙邊裂紋的Q345鋼試件示意圖Fig.4 Sketch of the Q345 steel specimen with double-edge notch

4.1 不同裂紋間距雙邊裂紋擴展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊預制裂紋互相平行，雙裂紋長度l1=l2=10 mm，α=0°，裂紋縱向間距d分別為0 mm、10 mm和20 mm。

圖5 展示了d為10 mm 和20 mm 時Q345 鋼試件的裂紋擴展模式。由圖5（a）可知，d=10 mm 時，試件在t=2100 時間步雙預制缺陷尖端開始起裂，裂紋沿垂直加載方向生長，到達t=2900 時，兩尖端的水平距離和豎向距離接近相等，裂紋改變擴展方向，沿與水平方向大約45°方向擴展，至t=3700 時，最終雙裂紋串接，試件被拉斷。由圖5（b）可知，d=20 mm 時，試件在t=2230 時間步雙缺陷尖端開始起裂，試件裂紋單獨沿垂直加載方向一直擴展，雙裂紋互不影響，不發(fā)生交匯，各自擴展至試件邊緣，至t=5550 時間步，最終斷裂破壞。由模擬可知，隨著裂紋間距的增大，雙邊裂紋從開始擴展至完全破壞的時間有逐漸增大的趨勢。

圖5 不同裂紋間距的試件裂紋擴展示意圖Fig.5 Crack propagation of specimens with different crack distances

圖6展示了采用本文改進雙參數PD方法和Zhao等[21]采用態(tài)基PD方法模擬的裂紋間距分別為d=0 mm，d=10 mm 和d=20 mm 時的Q345 鋼試件的最終斷裂形態(tài)；圖7 展示了試驗試件的三種裂紋間距的預制缺陷布置形式和拉伸斷裂試驗結果。對比可知，PD 數值模擬仿真得到的裂紋啟裂位置、擴展方向以及最終破壞形態(tài)與試樣試驗產生的結果保持了很好的一致性；與Zhao等[21]采用態(tài)基PD模擬的拉伸斷裂結果也吻合較好。證明了提出的雙參數PD 模型用于含損傷缺陷的Q345鋼的裂紋擴展和拉伸斷裂破壞分析是可行的。

圖6 不同裂紋間距Q345鋼裂紋生長路徑的兩種數值模擬結果對比Fig.6 Comparison of numerical simulation results of Q345 steel with different crack distances by two PD methods

圖7 不同裂紋間距Q345鋼的裂紋布置形式和拉伸斷裂試驗結果［7］Fig.7 Experimental results of Q345 steel specimens with different crack distances

4.2 不同裂紋長度雙邊裂紋擴展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊預制裂紋位于試件的中軸線上，雙裂紋間距d=0 mm，α=0°，裂紋長度分別為l1=l2=5 mm，l1=5 mm、l2=10 mm和l1=l2=10 mm。

圖8 展示了l1=l2=5 mm 和l1=5 mm、l2=10 mm 時Q345鋼試件的裂紋擴展模式。由圖8（a）可知，l1=l2=5 mm 時，試件在t=2400時間步雙預制缺陷尖端開始起裂，雙裂紋沿垂直加載方向對稱擴展，至t=3700 時裂紋進一步水平生長，到達t=4100 時，雙裂紋尖端在試件中心交匯。由圖8（b）可知，l1=5 mm、l2=10 mm時，試件在t=2100時間步l2裂紋率先萌發(fā)并沿垂直加載的方向擴展，之后l1裂紋擴展，至t=3200時，l2裂紋率先到達試件中心位置，最后至t=3700，雙裂紋在靠近l1裂紋尖端附近交匯并貫穿整個試件。由模擬可知，當雙邊裂紋對稱布置時，在荷載作用下，裂紋對稱擴展；對稱裂紋越長，試件有更早破壞的趨勢；當雙邊裂紋非對稱布置時，裂紋首先沿預制缺陷更長的一側擴展，然后在短邊預制裂紋處交匯貫通。

圖8 不同裂紋長度的試件裂紋擴展示意圖Fig.8 Crack propagation of specimens with different crack lengths

圖9 展示了采用本文改進雙參數PD 方法和試驗方法獲得的三種不同雙裂紋長度l1=l2=5 mm，l1=5 mm、l2=10 mm和l1=l2=10 mm的裂紋生長路徑。在模擬過程中，當裂紋尖端的損傷值接近1時，物質點間的PD 力消失，裂紋沿垂直加載方向擴展，隨著荷載的增加，損傷部位逐漸擴大，最終貫穿整個試件。通過圖9（a）和9（b）對比可知，數值模擬和試驗結果的裂紋擴展路徑保持一致。

圖9 不同裂紋長度Q345鋼裂紋生長路徑的數值模擬和試驗結果對比Fig.9 Comparison of numerical and experimental results of Q345 steel with different crack lengths

4.3 不同裂紋角度雙邊裂紋擴展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊分別預制水平裂紋和斜裂紋，雙裂紋長度l1=10 mm，l2=10 mm，裂紋縱向間距d=10 mm。試件傾斜裂紋角度分別為α=30°，α=45°和α=60°。

圖10（a）展示了α=30°時Q345 鋼試件在t為2220、2950 和4050 時間步的裂紋擴展模式；圖10（b）展示了α=60°時Q345鋼試件在t為2150、3100和4120時間步的裂紋擴展模式。兩種試件的裂紋擴展模式和最終破壞模式相似，首先，裂紋從預制傾斜裂紋的尖端擴展，隨后，預制水平裂紋的尖端開始擴展，雙裂紋沿垂直加載方向生長，當兩尖端的水平距離和豎向距離接近相等時，裂紋改變擴展方向，沿與水平方向大約45°方向擴展，最終雙裂紋串接，試件被拉斷。由于預制裂紋傾角的改變并沒有改變雙邊預制裂尖的間距，因此裂紋角度的增大，對裂紋擴展模式和試件整體貫通時間并無較大影響。

圖10 不同裂紋角度的試件裂紋擴展示意圖Fig.10 Crack propagation of specimens with different crack angles

圖11展示了采用本文改進雙參數PD方法和試驗方法獲得的三種不同雙裂紋角度α=30°，α=45°和α=60°時的試件破壞形態(tài)。對比可知，PD 數值結果與試驗結果保持了很好的一致性，但也存在一定差異。主要原因在于：PD 理論認為材料是理想均勻各向同性的，而試樣實際上存在非均勻性和成分性能等差異；其次，PD 理論是從宏觀尺度來描述材料破壞，未從材料的微觀和細觀尺度分析原子分子、自身存在的微孔洞、微裂紋及晶界對材料破壞的影響[18]。

圖11 不同裂紋角度Q345鋼裂紋生長路徑的數值模擬和試驗結果對比Fig.11 Comparison of numerical and experimental results of Q345 steel with different crack angles

4.4 交變荷載下中心斜裂紋板的裂紋擴展模擬

采用本文PD 模型對文獻[22-23]中斜裂紋板的疲勞裂紋擴展進行模擬。試件尺寸為300 mm×100 mm×2 mm，中心有一穿透斜裂紋，裂紋長度為10 mm，與垂直中心線的夾角為60°，彈性模量E=72 GPa，泊松比ν=0.3。平板上下預留夾持端并施加拉—拉交變荷載，最大應力σmax=70 MPa，應力比R=0.1，將其簡化為平面應力問題并建立PD疲勞模型，物質點間距Δ=1mm，δ=3.015Δ，共計29 988個真實物質點，在板頂端一層物質點上施加70 MPa的最大循環(huán)載荷，對平板下端3層物質點的位移進行約束，采用與文獻[23]相同的模型參數和最大循環(huán)加載次數：模型參數A=6450，p=2.86，設置最大循環(huán)加載次數N=139 610。

使用本文改進的PD 模型，對交變荷載下斜裂紋板內疲勞裂紋擴展進行模擬，裂紋擴展路徑結果如圖12（a）所示，疲勞裂紋自中心斜裂紋兩尖端處向兩側擴展，且兩側裂紋擴展路徑均近似呈一水平直線。圖12（b）-（d）分別展示了采用擴展有限元法（XFEM）[22]、態(tài)基PD 方法[23]的模擬結果和試驗結果[22]。對比圖12（a）與圖12（b）-（d）可得，本文模擬結果與試驗結果和文獻模擬結果的裂紋擴展路徑基本一致。在相同循環(huán)加載次數下，將中心斜裂紋左右兩尖端的擴展長度與初始裂紋長度相加，得到疲勞裂紋總長度a與循環(huán)荷載次數N的a-N曲線，將其與試驗結果[22]和已有文獻結果[22-23]進行比較（圖13），結果吻合較好，證明了本文PD模型模擬交變荷載情況下裂紋擴展的準確性。

圖12 交變荷載下試件裂紋擴展路徑的數值模擬和試驗及文獻結果對比Fig.12 Comparison of numerical and experimental results of specimen under alternating load

圖13 荷載循環(huán)次數與裂紋長度的關系Fig.13 Relationship between the number of load cycles and the crack lengths

5 結 論

近場動力學理論采用積分方程替代傳統(tǒng)微分方程從而避免了在不連續(xù)處產生的奇異性問題且不存在網格依賴性，特別適用于研究材料破壞問題。本文基于Prakash 等[15]提出的PD 方法，通過引入長程力函數修正非線性損傷模型，提出了適用于含裂紋缺陷Q345 鋼裂紋擴展的雙參數PD 模型。通過誤差分析、準靜態(tài)荷載和交變荷載情形下含初始缺陷鋼構件的裂紋擴展和斷裂模擬分析，得出以下結論：

（1）改進的雙參數PD 模型減小了原始模型的計算誤差，并且發(fā)現(xiàn)，隨著材料泊松比的增大，數值解與解析解的相對誤差有增大的趨勢。

（2）準靜態(tài)荷載下，PD數值模擬的裂紋開裂位置、擴展方向和最終破壞路徑與試驗結果和其它數值方法所得模擬結果吻合較好；交變荷載下，PD 數值模擬的裂紋擴展長度與循環(huán)荷載次數的關系與試驗結果和已有文獻數值結果保持一致；證明了本文提出模型對含缺陷的Q345鋼進行裂紋擴展分析的適用性和準確性。

（3）在一定條件下，試件的破壞形態(tài)與預制缺陷的相對位置有關，而初始裂紋缺陷的長度和角度對最終裂紋擴展路徑影響雖不大，但對試件整體貫通破壞時間產生一定的影響。