鄭智萍　黃騰達(dá)

摘? ?要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，融合初中數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何的內(nèi)容，是每年中考?jí)狠S題的必考內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)和思維品質(zhì)的考查.作為初高中知識(shí)的銜接的一條重要紐帶，可以將高中的一些知識(shí)和數(shù)學(xué)思想融入其中.

關(guān)鍵詞：拋物線；初高中數(shù)學(xué)銜接；命題

1? 試題展示

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，若點(diǎn)（m，t）在圖象上，則點(diǎn)（-m，t）也在圖象上.拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的距離為4.

（1）求拋物線的解析式.

（2）【模型探究】如圖1，已知點(diǎn)A（0，n），n＜-1為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線AC與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)B，其解析式為y=kx+n，連接OB.探究k與n的關(guān)系，并證明：OB=OA.

（3）【模型應(yīng)用】如圖2，過原點(diǎn)的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，經(jīng)過E點(diǎn)、F點(diǎn)分別作不與軸垂直的直線，使它們與拋物線都只有一個(gè)公共點(diǎn).兩直線相交于G點(diǎn)，分別與y軸交于M，N兩點(diǎn).過G點(diǎn)作x軸的平行線PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，連接OG.求證：OG2=EP·FQ.

2? 設(shè)計(jì)過程

2.1? 命題意圖

試題是一道二次函數(shù)綜合題，旨在考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、全等三角形、相似三角形、直角三角形等初中數(shù)學(xué)主干知識(shí).試題關(guān)注拋物線幾何性質(zhì)的挖掘，以素養(yǎng)立意，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生代數(shù)推理和幾何推理能力，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)[ 1 ].試題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)應(yīng)的具體學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)及其級(jí)別見表1.

2.2? 命題過程

2.2.1? 立意與選材：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，承上，融合了數(shù)與式的運(yùn)算、方程與不等式、平面幾何圖形的性質(zhì)等知識(shí)，啟下，為學(xué)生高中學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)、解析幾何奠定基礎(chǔ)，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，是考查學(xué)生的關(guān)鍵能力與學(xué)科素養(yǎng)的一個(gè)重要素材.

福建省近幾年中考二次函數(shù)綜合題的命制立意高遠(yuǎn)，有著很好的生長性，初高中銜接特點(diǎn)鮮明.

例1（2018福建中考摘錄）如圖3，拋物線y=-x2+2的頂點(diǎn)為A，P（0，4），過原點(diǎn)的直線交拋物線于M，N，求證：∠MPO=∠NPO.

例2（2019福建中考摘錄）如圖4，拋物線y=（x-1）2的頂點(diǎn)為A，過（1，1）的直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作直線y=-1的垂線，垂足為D，求證：A，D，C三點(diǎn)共線.

兩道試題的背景實(shí)質(zhì)上都來源于拋物線的幾何定義及性質(zhì).

借鑒兩道試題的命制，能否從拋物線其他的幾何性質(zhì)入手？

2.2.2? 聯(lián)系與搭架：拋物線有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)F發(fā)射出來的光線，經(jīng)過拋物線鏡面反射后，反射光線平行于對(duì)稱軸.如圖7，若過點(diǎn)A作拋物線的切線，則必有∠CAF=∠DAB.嘗試從這一性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì).

2.2.3? 加工與調(diào)整：

第一稿注重推理、運(yùn)算、通法.聯(lián)立方程組求直線與拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算線段的長度，證明線段相等，運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問題.作為選擇部分壓軸題，試題效度不高，在班級(jí)里實(shí)測(cè)得分率偏高，與試題的實(shí)際難度相差較大.大部分學(xué)生利用圖形直觀得出答案，沒有起到對(duì)試題背后的數(shù)學(xué)知識(shí)考查的目的.

第二稿：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，-1），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，若點(diǎn)（m，t）在圖象上，則點(diǎn)（-m，t）也在圖象上.拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的距離為4.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖8，已知點(diǎn)A（0，n），n＜-1為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)作一條與軸不垂直的直線AC，使AC與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)B，連接OB，過B點(diǎn)作y軸的平行線BD.求證：∠OBA=∠CBD.

（3）如圖9，過原點(diǎn)的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，經(jīng)過E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別作兩條與軸不垂直的直線，兩條直線與拋物線都只有一個(gè)公共點(diǎn).兩直線交于G點(diǎn)，分別交y軸于M，N兩點(diǎn).求證：EG⊥FG.

在題中△EFG為直角三角形的背景下繼續(xù)分析圖形（如圖2），根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出有GO⊥EF的結(jié)論，聯(lián)系射影定理，有GO2=EO·FO.兩直線垂直的代數(shù)表征是兩直線斜率之積為-1，但這是高中知識(shí)范圍.如何轉(zhuǎn)化成初中學(xué)生所能接受的方法，突出對(duì)初中核心知識(shí)的考查，同時(shí)關(guān)注初高中數(shù)學(xué)思想方法上的銜接？

由拋物線的性質(zhì)可知，點(diǎn)G在拋物線的準(zhǔn)線上.在此基礎(chǔ)上，如圖2，過G點(diǎn)作x軸的平行線PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，由于原點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，可以知道有EO=EP，F(xiàn)O=FQ的結(jié)論.再根據(jù)MO=EO可以得到∠OEG=∠PEG，由此可以證明出△EPG≌△EOG，于是有EO=EP，F(xiàn)O=FQ，故有GO2=EO·FO.通過改編，以高中的知識(shí)為背景，著重對(duì)初中知識(shí)的考查，題在課外，根在課內(nèi)，較好考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，對(duì)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)要求更高，最終完成本題定稿.

2.3? 試題分析

3? 試題評(píng)析

作為一道函數(shù)綜合題，本題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)、拋物線阿基米德三角形為背景，立意深遠(yuǎn)，難易適度，區(qū)分度高，綜合性強(qiáng)，既面向全體又能照顧優(yōu)等生，關(guān)注初高中知識(shí)和方法上的銜接的同時(shí)，突出對(duì)初中核心知識(shí)與能力的考查.本題考點(diǎn)多，涵蓋了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線和拋物線的位置關(guān)系、全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)與判定、兩條直線位置關(guān)系的判定等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí).本題綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生的綜合分析法、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)方法，要求學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.本題重視對(duì)素養(yǎng)考查，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)[ 2 ].

第一問，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).面向全體，起點(diǎn)低，體現(xiàn)基礎(chǔ)性.

第二問，考查運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題的能力，涉及直線與拋物線相切的代數(shù)表征、兩點(diǎn)坐標(biāo)求線段長度的通法，體現(xiàn)綜合性.

第三問，需要學(xué)生對(duì)第二問的結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，得出數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理.考查學(xué)生綜合分析法解決問題的能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

4? 命題拓展

本題揭示了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線鏡面反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸.

更一般地，若經(jīng)過（0，b）（b>0）的直線交拋物線y=ax2于A，B兩點(diǎn)，D為AB中點(diǎn).過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線，交于點(diǎn)C.則C點(diǎn)在直線y=-b上，CD與對(duì)稱軸平行[ 3 ].

5? 命題反思

“數(shù)”與“形”，是兩個(gè)永恒的數(shù)學(xué)話題，總是形影相隨不可分割.本題通過“拋物線”的紐帶，將代數(shù)推理和幾何推理進(jìn)行了深度融合，把高中的知識(shí)分解成學(xué)生能夠理解掌握的知識(shí)進(jìn)行滲透，實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)思想方法上的銜接.當(dāng)然，試題由于涉及高中知識(shí)背景，若過份強(qiáng)調(diào)初高中銜接問題，在一定程度上會(huì)造成高中知識(shí)下放等教學(xué)內(nèi)卷的不良現(xiàn)象.

近幾年來，“初高中銜接”又登上了熱門話題.筆者認(rèn)為，初高中銜接，絕不是簡單地把公式、結(jié)論介紹給學(xué)生，也不是一味地灌溉式的拔苗助長.初高中銜接，要關(guān)注課內(nèi)知識(shí)的生長點(diǎn)，關(guān)注它與高中對(duì)應(yīng)知識(shí)在數(shù)學(xué)思想方法上的銜接.所以在教學(xué)中，教師在講授課內(nèi)知識(shí)時(shí)，除了關(guān)注“它是什么？”“它從哪里來？”，還要關(guān)注“它要到哪里去？”“它要怎么去？”，把部分高中的知識(shí)點(diǎn)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間恰當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)以恰當(dāng)?shù)男问匠尸F(xiàn)給學(xué)生，拓展學(xué)生的知識(shí)面，領(lǐng)悟其中的思想方法，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，讓學(xué)生更快適應(yīng)今后高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 卞倩璐，濮安山. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查分析：以2020年南京市中考數(shù)學(xué)試題為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（13）：4-6.

［2］ 徐登近.聚焦核心素養(yǎng) 探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)：以一道解析幾何模擬試題教學(xué)為例[J].中學(xué)教研：數(shù)學(xué)版，2021（11）：18-20.

［3］ 蘇立標(biāo).尋找探究的鏈接點(diǎn) 有效激活課堂教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（9）：9-10.