潘玉榮,賈朝勇,沙翠翠

(蚌埠學(xué)院數(shù)理學(xué)院,安徽 蚌埠 233000)

0 引言

隨機(jī)微分方程常被用于金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域隨機(jī)現(xiàn)象的建模[1-2].實(shí)際應(yīng)用中,由于受到隨機(jī)因素的干擾,導(dǎo)致隨機(jī)微分方程的參數(shù)部分未知或全部未知,所以對隨機(jī)微分方程中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)成為亟待解決的關(guān)鍵性問題.隨機(jī)微分方程參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷是概率論及其應(yīng)用的重要研究領(lǐng)域.因此,研究隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)問題具有實(shí)際價(jià)值和重要理論意義.

假設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)右連續(xù)且?guī)в性龅摩?代數(shù)流(Ft,t≥0)的概率空間,{Zt,t≥0}是定義在此概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定Lévy運(yùn)動(dòng),1<α<2.考慮如下一類線性隨機(jī)微分方程(SDE):

(1)

其中,a,b0為常數(shù).

Ornstein-Uhlenbeck過程{Xt,t≥0}為方程(1)的唯一強(qiáng)解,x0(x0∈R)是該過程的初始值.當(dāng)方程(1)中的Zt表示高斯過程時(shí),相應(yīng)的隨機(jī)微分方程參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷問題已被廣泛研究[3-10],特別是由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)研究已形成較為完善的理論體系.當(dāng)Zt表示α穩(wěn)定Lévy運(yùn)動(dòng)時(shí),隨機(jī)微分方程(1)的解Xt(t≥0)將服從α穩(wěn)定邊緣分布.具有α穩(wěn)定邊緣分布的Ornstein-Uhlenbeck過程屬于非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程.這類非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)方面具有重要應(yīng)用,受到很多學(xué)者的廣泛關(guān)注.然而因α穩(wěn)定過程具有無限變差性質(zhì),所以關(guān)于α穩(wěn)定Lévy運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程參數(shù)估計(jì)的研究較少.HU等[11]提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時(shí)間上能被連續(xù)觀測,采用軌道擬合與加權(quán)最小二乘技巧相結(jié)合的方法構(gòu)造了隨機(jī)微分方程漂移項(xiàng)未知參數(shù)的估計(jì)量,并討論估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).鑒于實(shí)際問題中獲取所討論過程的連續(xù)觀測數(shù)據(jù)是非常困難的,因此,一些學(xué)者假定過程能被離散觀測,研究方程(1)的參數(shù)估計(jì)問題[12-16].HU等[12]討論了隨機(jī)微分方程(1)中漂移項(xiàng)參數(shù)a等于0、b0(b0>0)是未知待估參數(shù)的情況,構(gòu)造了b0的最小二乘估計(jì)量并研究其統(tǒng)計(jì)性質(zhì).與文獻(xiàn)[12]不同,ZHANG等[13]基于過程的積分形式構(gòu)造了未知參數(shù)另一種最小二乘估計(jì)量,并研究了噪聲Zt的穩(wěn)定指數(shù)α滿足0<α<2時(shí)估計(jì)量的強(qiáng)相合性和漸近分布.PAN[14]和FAN[15]研究了隨機(jī)微分方程(1)的漂移項(xiàng)參數(shù)a和b0都未知的情形,運(yùn)用不同技巧構(gòu)造了兩個(gè)未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)量,然后證明了估計(jì)值具有強(qiáng)相合性,并給出了一定規(guī)則條件下估計(jì)量誤差的漸近分布.

本文主要考慮隨機(jī)微分方程(1)漂移項(xiàng)有兩個(gè)參數(shù),其中a已知但不等于0,b0(b0>0)未知的情形.假設(shè)過程{Xt,t≥0}在離散觀測時(shí)間點(diǎn)ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到,采用文獻(xiàn)[12]中的最小二乘技巧構(gòu)造了漂移項(xiàng)未知參數(shù)的估計(jì)量并探討估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).并利用Matlab軟件對該估計(jì)量進(jìn)行了數(shù)值模擬.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1 假如隨機(jī)變量η的特征函數(shù)φη(u)能夠被寫成:

Eexp(iθη)=exp(σα(-|θ|α+iθw(θ,α,β))+iμθ),

則稱η服從α穩(wěn)定分布,記作η～Sα(σ,β,μ).參數(shù)α,μ,σ,β分別稱為該α穩(wěn)定分布的穩(wěn)定指數(shù)、位置參數(shù)、尺度參數(shù)和偏度參數(shù),且0<α≤2,σ≥0 ,-1≤β≤1,μ∈R.若μ=0,則該分布是嚴(yán)格α穩(wěn)定的;若μ=0且β=0,則稱隨機(jī)變量η服從對稱α穩(wěn)定分布.若μ=0,β=0且σ=1,則稱η服從標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布,記作η～Sα(1,0,0).穩(wěn)定指數(shù)α取不同值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布密度函數(shù)曲線如圖1所示.

圖1 標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布Sα(1,0,0)的密度函數(shù)

關(guān)于α穩(wěn)定Lévy運(yùn)動(dòng)的It-型隨機(jī)積分得到了廣泛研究[17-18].假設(shè)為定義在[0,+∞)×Ω上的所有實(shí)值F-可測過程f(t,ω)構(gòu)成的族,即當(dāng)且僅當(dāng)稱可測過程f(t,ω)關(guān)于α穩(wěn)定Lévy過程是可積的.

引理1.1是文獻(xiàn)[18]中推論3.1的結(jié)論,引理1.1的詳細(xì)證明過程可參見文獻(xiàn)[18].

引理1.2 假設(shè)隨機(jī)變量Y服從一個(gè)指數(shù)α(0<α<2)的穩(wěn)定分布,即Y～Sα(σ,β,μ),則(i)當(dāng)0

2 最小二乘估計(jì)量的構(gòu)造及其強(qiáng)相合性

假設(shè)隨機(jī)過程X在離散時(shí)間點(diǎn)ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到.應(yīng)用最小二乘技巧,可得到隨機(jī)微分方程(1)的比較函數(shù):

(2)

顯然,隨機(jī)微分方程(1)滿足Lipschitz條件和線性增長條件,所以其有唯一解,此解如下:

(3)

根據(jù)(3)式,通過計(jì)算得到:

(4)

(5)

b0是未知參數(shù)的真實(shí)值,則根據(jù)(5)式,容易計(jì)算得到:

(6)

要想證明定理2.1,需要建立下面的三個(gè)命題.命題2.1、命題2.2和命題2.3分別給出了Ψ1,Ψ2,Ψ3的收斂性.

命題2.1 當(dāng)h→0時(shí),有Ψ1→0.

命題2.1的結(jié)論是顯然成立的.

對于Ψ2,通過基礎(chǔ)計(jì)算和H?lder不等式有:

(7)

(8)

根據(jù)遍歷定理和引理2.2可知,n→∞,τn(tn)→∞.對于Ψ3,得到:

(9)

(10)

幾乎處處成立.

根據(jù)H?lder不等式,容易推出:

(11)

根據(jù)式(8)可知,當(dāng)n→∞時(shí),式(11)右邊趨向0.綜合式(9)至(11)可得,命題2.3成立.

根據(jù)式(6)并結(jié)合命題2.1、命題2.2和命題2.3,容易證得定理2.1成立.

3 數(shù)值模擬

圖2 隨T增大的波動(dòng)圖

表1 最小二乘估計(jì)量的數(shù)值模擬結(jié)果(真實(shí)值為3)

4 結(jié)語

針對一類由對稱α穩(wěn)定Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)問題,本文提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時(shí)間上能被離散觀測,運(yùn)用最小二乘技巧構(gòu)造了隨機(jī)微分方程漂移項(xiàng)中未知參數(shù)的估計(jì)量,并討論了該估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).研究結(jié)果表明,在一定條件下構(gòu)造的最小二乘估計(jì)量具有強(qiáng)相合性,Matlab數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了該結(jié)論.本文構(gòu)造的最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)很復(fù)雜,本文在此僅論證了其具有強(qiáng)相合性,在今后的研究中將進(jìn)一步討論該估計(jì)量誤差的漸近分布.