[摘? 要] “因數(shù)和倍數(shù)”一課涉及認識因數(shù)和倍數(shù)的含義。研究者通過從不同角度設(shè)計“因數(shù)和倍數(shù)”的前測題，了解學(xué)生關(guān)于“因數(shù)和倍數(shù)”的已有知識經(jīng)驗，為開展相關(guān)教學(xué)活動提供方向。

[關(guān)鍵詞] 因數(shù)和倍數(shù);前測;前測分析;教學(xué)啟示

一、問題的提出

“因數(shù)和倍數(shù)”一課的教學(xué)內(nèi)容主要涉及認識因數(shù)和倍數(shù)的含義、求一個數(shù)的因數(shù)的方法以及求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。筆者試圖探究五年級學(xué)生在解決“因數(shù)和倍數(shù)”問題時，是否已經(jīng)建立了因數(shù)和倍數(shù)的概念，是否能運用因數(shù)和倍數(shù)的概念求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)。為了更好地了解學(xué)生的學(xué)情，筆者設(shè)計了與“因數(shù)和倍數(shù)”有關(guān)的問題，嘗試通過開放性題目了解學(xué)生對“因數(shù)和倍數(shù)”的已有知識經(jīng)驗，為開展相關(guān)教學(xué)活動提供方向。

二、研究目的及主要問題

1. 研究目的

了解學(xué)生是否了解因數(shù)和倍數(shù)的含義，是否掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法和求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。

2. 研究的主要問題

（1）五年級學(xué)生怎樣表征因數(shù)和倍數(shù)的概念;

（2）五年級學(xué)生是否了解要在非0自然數(shù)范圍內(nèi)研究因數(shù)和倍數(shù);

（3）五年級學(xué)生能否掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法和求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。

三、測試的問題、對象和過程

1. 測試題目

（1）你聽到過倍數(shù)和因數(shù)嗎？在哪里聽到的？

（2）你知道什么是倍數(shù)嗎？你知道什么是因數(shù)嗎？

（3）你認為什么是非0自然數(shù)？

（4）找出36的所有因數(shù)，并寫出你是怎么找到36的所有因數(shù)？

（5）找出3的倍數(shù)，并寫出你是怎么找到的？

設(shè)計意圖：第1和2題主要了解學(xué)生對因數(shù)和倍數(shù)概念的認知情況，了解學(xué)生是否已經(jīng)完整地掌握因數(shù)和倍數(shù)的含義;第3題主要了解學(xué)生對因數(shù)和倍數(shù)的研究范圍;第4題主要了解學(xué)生是否能找出一個數(shù)的所有因數(shù)，并說明求一個數(shù)的因數(shù)的方法;第5題主要了解學(xué)生是否能找出一個數(shù)的倍數(shù)，并說明求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。

2. 測試對象

筆者選擇了五年級7個班共280名學(xué)生作為測試對象，學(xué)生均未在學(xué)校里學(xué)習(xí)過有關(guān)因數(shù)和倍數(shù)的內(nèi)容。

3. 測試和訪談過程

在一天中午讀書時間，學(xué)生沒有任何準(zhǔn)備，測試在各班班主任的協(xié)助下完成。在學(xué)生解答過程中，教師沒有讀題、提醒和指導(dǎo)等，讓學(xué)生獨立解答。學(xué)生在解題過程中不允許有任何的交流和討論，在自己認為完成后即提交測試卷，測試過程基本反映了學(xué)生真實的認知水平。測試后，教師對學(xué)生的解題情況進行批改和整理、分析，并選擇部分學(xué)生進行訪談，了解他們的思考過程。

四、“因數(shù)和倍數(shù)”測試結(jié)果分析

1. 學(xué)生獲取的倍數(shù)和因數(shù)經(jīng)驗的主要渠道是課本和家庭

筆者對第1道測試題答題情況進行了統(tǒng)計和分析，見表1。

由表1可知，學(xué)生獲取倍數(shù)和因數(shù)概念的主要渠道是課本和家庭，他們簡單地把“倍的認識”誤認為本單元中的倍數(shù)，把“乘數(shù)也叫作因數(shù)”誤認為本單元中的因數(shù)，可見這部分學(xué)生對倍數(shù)和因數(shù)的概念并不了解;一部分學(xué)生對倍數(shù)和因數(shù)概念的了解來自父母要求提前預(yù)習(xí)課本中的知識，因此對倍數(shù)和因數(shù)有所了解，但不完整。

2. 學(xué)生的“倍數(shù)”經(jīng)驗優(yōu)于“因數(shù)”經(jīng)驗

筆者對第2道測試題答題情況進行了統(tǒng)計和分析，見表2、表3。

筆者對部分倍數(shù)理解錯誤的學(xué)生進行了訪談，他們主要有這樣的想法：（1）倍數(shù)就是一組數(shù)里最大的數(shù)，比如，2、6、10這三個數(shù)中，10就是倍數(shù);（2）倍數(shù)就是“誰是誰的幾倍”，比如，紅花有2朵，綠花有12朵，綠花的朵數(shù)是紅花的6倍;（3）倍數(shù)就是乘法中的積，比如，8×7=56，56是倍數(shù);（4）倍數(shù)就是除法中的被除數(shù)，比如，24÷3=8，24是倍數(shù);24÷4=6，24是倍數(shù);24÷6=4，24是倍數(shù);24÷8=3，24是倍數(shù);24÷5=4.8，24是倍數(shù)。

筆者對部分因數(shù)理解錯誤的學(xué)生進行了訪談，他們主要有這樣的想法：（1）因數(shù)就是乘法中的乘數(shù)，如2×6=12中2和6都是因數(shù);（2）因數(shù)是除法算式中的商，比如18÷6=3，3是因數(shù)。

由表2和表3可知，學(xué)生的“倍數(shù)”經(jīng)驗優(yōu)于“因數(shù)”經(jīng)驗，這是因為曾經(jīng)學(xué)過倍的認識與這里的倍數(shù)略有關(guān)系，乘數(shù)被稱為因數(shù)與這里的因數(shù)毫無關(guān)系?？梢妼W(xué)生對因數(shù)和倍數(shù)的概念還是缺失的，教師在課堂上要幫助學(xué)生認識因數(shù)和倍數(shù)的含義。

3. 較多的學(xué)生不知道“非0自然數(shù)”

筆者對第3道測試題答題情況進行了統(tǒng)計和分析，見表4。

筆者對部分不知道因數(shù)和倍數(shù)研究范疇的學(xué)生進行了訪談，他們主要有這樣的想法：（1）部分理解，比如有的學(xué)生通過具體的舉例認為1、2、3、4……9是“非0自然數(shù)”;（2）完全理解錯誤，比如有的學(xué)生認為比0小的數(shù)是“非0自然數(shù)”?？傊?，學(xué)生對“非0自然數(shù)”的概念模糊，與整數(shù)和自然數(shù)出現(xiàn)了混淆。

4.學(xué)生解決求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法單一

筆者對第4道測試題和第5道測試題答題情況進行了統(tǒng)計和分析，見表5。

筆者對完全正確的學(xué)生進行了分析，他們主要用乘法算式得到36的所有因數(shù)。同時，筆者在對有遺漏或重復(fù)的學(xué)生分析中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生寫了兩個6，認為找到的因數(shù)都要寫上;有的學(xué)生沒有找全積等于36的所有乘法口訣。完全錯誤的學(xué)生主要是不知道因數(shù)的概念導(dǎo)致的。

筆者對完全正確的學(xué)生進行了分析“見表6”，他們主要列舉3的乘法口訣得到3的倍數(shù)。同時，筆者在對部分正確的學(xué)生分析中發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生列舉3的倍數(shù)后沒有寫上省略號，這意味著他們沒有體會到倍數(shù)的個數(shù)是無限的。完全錯誤的學(xué)生主要是不知道倍數(shù)的概念導(dǎo)致的。

五、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1. 測試和分析后得出的結(jié)論

（1）五年級學(xué)生的倍數(shù)和因數(shù)經(jīng)驗的主要來源是課本和家庭，他們對“倍數(shù)”經(jīng)驗優(yōu)于“因數(shù)”經(jīng)驗，較多的學(xué)生不知道“非0自然數(shù)”。

（2）五年級學(xué)生解決求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法單一，主要錯誤是學(xué)生在求一個數(shù)的因數(shù)時出現(xiàn)了重復(fù)或遺漏，在求一個數(shù)的倍數(shù)時沒有意識到倍數(shù)個數(shù)是無限的。

2. 對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（1）在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時，教師要創(chuàng)設(shè)各種活動幫助學(xué)生體會因數(shù)和倍數(shù)是一組有關(guān)聯(lián)的概念，是成對出現(xiàn)的;

（2）在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時，教材的編排順序是先教學(xué)因數(shù)再教學(xué)倍數(shù)，教師可以順應(yīng)學(xué)生的認知，先教學(xué)倍數(shù)再教學(xué)因數(shù);

（3）教師要借助乘法模型和除法模型幫助學(xué)生掌握求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法，并知道因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身;倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是1，沒有最大的倍數(shù)。

作者簡介：沈崌樺（1984-），本科學(xué)歷，小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲揚州市百堂好課一等獎、揚州市中青年教學(xué)骨干等榮譽。