李國(guó)成,黃春興,甘德俊,倪百秀

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 六安 237012)

經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配(Economic Load Dispatch,ELD)問(wèn)題是電力系統(tǒng)中一個(gè)重要優(yōu)化問(wèn)題[1]。它在過(guò)去的幾十年里引起了許多研究人員的關(guān)注,當(dāng)前仍然是電力系統(tǒng)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。該問(wèn)題旨在確定發(fā)電機(jī)組的負(fù)荷分配方案,以最小化電力系統(tǒng)的總成本或滿足負(fù)荷需求的同時(shí)最大化經(jīng)濟(jì)效益。在考慮了閥點(diǎn)效應(yīng)、發(fā)電機(jī)運(yùn)行約束和禁止運(yùn)行區(qū)域等各種約束后,這種經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題呈現(xiàn)出多約束、非凸、非線性和非光滑等特征[1,2]。

為了解決ELD問(wèn)題,學(xué)術(shù)界提出了多種優(yōu)化方法和算法。傳統(tǒng)的方法包括基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法,如線性規(guī)劃[3]、非線性規(guī)劃[4]、混合整數(shù)規(guī)劃[5]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[6]和分位數(shù)回歸法[7]等,可以準(zhǔn)確地建立ELD問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,采用相應(yīng)的算法進(jìn)行求解,但在處理大規(guī)模系統(tǒng)時(shí)存在計(jì)算復(fù)雜度高的問(wèn)題。近年來(lái),隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展,智能算法在ELD問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用,如遺傳算法[8]、粒子群優(yōu)化算法[9,10]、蟻群算法[11]、微分進(jìn)化算法[12]、閉環(huán)文化粒子群算法[13]、混沌優(yōu)化算法[14]、生物地理學(xué)算法[15]、鯨魚優(yōu)化算法[16]、哈里斯鷹優(yōu)化算法[2]、黏菌算法[17]、人工電場(chǎng)算法[18]、白鯨優(yōu)化算法等[19],它們通過(guò)模仿自然界的進(jìn)化和群體行為來(lái)搜索全局最優(yōu)解。這些算法通過(guò)自適應(yīng)搜索策略和多樣化的搜索操作,在ELD問(wèn)題求解中展現(xiàn)了較好的優(yōu)化性能,并取得很好的實(shí)際應(yīng)用效果。

隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃方法和智能優(yōu)化算法的不斷發(fā)展,研究人員不斷探尋用更加高效、更為精確和更低廉成本的方法來(lái)求解經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題,以提高電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性、可靠性和環(huán)境友好性。本文基于精英策略構(gòu)建一種改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法,該算法在尋優(yōu)階段具有很好的全局勘探能力和局部開(kāi)發(fā)能力,收斂速度更快,可以更好地解決電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題。

一、問(wèn)題描述與數(shù)學(xué)模型

(一)問(wèn)題描述

經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題是在滿足用戶用電需求、保證電力系統(tǒng)正常運(yùn)行的條件下,對(duì)各個(gè)發(fā)電機(jī)的功率進(jìn)行最優(yōu)配置,從而使整個(gè)系統(tǒng)的發(fā)電成本達(dá)到最低。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看,該問(wèn)題是一類具有多約束、單目標(biāo)的非線性優(yōu)化問(wèn)題[8]。

(二)數(shù)學(xué)模型

如果系統(tǒng)總發(fā)電費(fèi)用記為TC,系統(tǒng)內(nèi)發(fā)電機(jī)總數(shù)為N,第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功功率為Pi,第i臺(tái)發(fā)電機(jī)費(fèi)用特性函數(shù)為Fi(Pi),則經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可表述為:

(1)

其中,當(dāng)考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的費(fèi)用時(shí),第i臺(tái)發(fā)電機(jī)費(fèi)用特性函數(shù)Fi(Pi)為:

(2)

式(2)中ai,bi,ci,ei,fi分別為機(jī)組發(fā)電機(jī)中第i臺(tái)的費(fèi)用參數(shù)。本文考慮電網(wǎng)傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網(wǎng)傳輸損耗和閥點(diǎn)效應(yīng)作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本兩種情形。發(fā)電機(jī)組的運(yùn)行功率限值約束條件為:

(3)

(4)

式(4)中,PD為系統(tǒng)內(nèi)的總負(fù)荷。

二、改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法

(一)蜉蝣優(yōu)化算法

蜉蝣優(yōu)化算法(mayfly optimization algorithm,MA)是Konstantinos Zervoudakis于2021根據(jù)蜉蝣的飛行和繁衍行為規(guī)律提出的一種算法[20]。蜉蝣優(yōu)化算法中的種群分為雄性和雌性,其中雄性的行為與粒子群相似,通過(guò)全局最優(yōu)和自身歷史最優(yōu)進(jìn)行移動(dòng),雌性則向優(yōu)于自身的配偶進(jìn)行移動(dòng),若其配偶弱于自己則自行局部搜索,然后這對(duì)雌性個(gè)體和雄性個(gè)體結(jié)合產(chǎn)生兩個(gè)后代,并將較優(yōu)個(gè)體保留在群體中。部分文獻(xiàn)的研究結(jié)果表明[21,22],蜉蝣優(yōu)化算法存在收斂速度較慢和易陷入局部最優(yōu)解的不足。為此,本文基于精英策略對(duì)蜉蝣優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)以提高其優(yōu)化性能和收斂速度。蜉蝣優(yōu)化算法步驟歸納如下[20]:

步驟1:設(shè)置種群規(guī)模,確定搜索空間,隨機(jī)生成雄性蜉蝣的初始種群x0和速度vx0,雌性蜉蝣的初始種群y0和速度vy0,并設(shè)置終止條件。

步驟2:評(píng)估種群,計(jì)算各蜉蝣的適應(yīng)度函數(shù)值,尋找群體最優(yōu)Pbest和全局最優(yōu)gbest。

步驟3:迭代前期(T<0.5×Tmax),雄性種群的速度更新公式為:

(5)

式(5)表示雄性蜉蝣被雌性蜉蝣吸引和沒(méi)有被雌性所吸引兩種情形下的速度更新,雄性蜉蝣位置更新公式為:

(6)

雌性蜉蝣速度更新公式為:

(7)

式(7)表示雌性蜉蝣被雄性蜉蝣吸引和未被雄性蜉蝣吸引兩種情形下的速度更新,雌性蜉蝣位置更新公式為:

(8)

(9)

此處的吸引力是由適應(yīng)度函數(shù)值來(lái)決定的,f(yij)>f(xij)表示雌性蜉蝣被雄性蜉蝣個(gè)體吸引,反之,則沒(méi)有被吸引;假定最優(yōu)的雌性蜉蝣個(gè)體被最優(yōu)的雄性蜉蝣個(gè)體吸引,第二優(yōu)雌性蜉蝣個(gè)體被第二優(yōu)雄性蜉蝣個(gè)體吸引,以此類推。

步驟4:迭代后期:(T>0.5×Tmax),定義概率

(10)

其中,fnew為當(dāng)前退火階段的種群個(gè)體適應(yīng)度;以概率p對(duì)速度進(jìn)行調(diào)整;T為退火溫度,這里設(shè)置為100,如果f(yi)>f(xi),以式(2)和式(4)進(jìn)行速度更新;如果f(yi)≤f(xi),以概率p>rand(0,1)接受個(gè)體間吸引更新速度方式,否則,更新進(jìn)度:

(11)

采用模擬退火機(jī)制,不僅保持了算法的高效更新模式,而且加快了算法的尋優(yōu)速度,同時(shí)也增加了群體的多樣性。

步驟5:個(gè)體排序后進(jìn)行交叉和變異產(chǎn)生子代:

其中L為一特定區(qū)間生成的隨機(jī)數(shù),用以調(diào)節(jié)父代和母代的遺傳系數(shù)。

步驟6:分離雄性和雌性蜉蝣,更新種群最優(yōu)和全局最優(yōu),否則返回步驟 2,直至符合結(jié)束條件為止。

(二)基于精英策略改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法

蜉蝣優(yōu)化算法收斂速度和搜索精度并不理想[21],在最優(yōu)解的搜索過(guò)程中也容易產(chǎn)生滯后現(xiàn)象[22],受海洋捕食者算法[25]中精英策略的啟發(fā),本文構(gòu)建改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法(improved mayfly optimization algorithm,IMA),其中精英策略被引入MA以提高其收斂速度。精英蜉蝣在IMA在不同的步驟更新策略中采用了不同的步驟更新策略搜索異性蜉蝣。類似于海洋捕食者算法,IMA的精英政策規(guī)則應(yīng)用為:

(1)當(dāng)T≤0.5×Tmax時(shí)

其中ei代表精英i蜉蝣位置,si是步長(zhǎng)和RB是一個(gè)隨機(jī)向量,每個(gè)向量分量由布朗運(yùn)動(dòng)獲得的定義運(yùn)算符 “?” 與上述相同。R表示向量在[0,1]中生成的統(tǒng)一隨機(jī)數(shù)。

(2)當(dāng)T>0.5Tmax時(shí)

其中RL是一個(gè)隨機(jī)向量,每個(gè)分量都是通過(guò)分配獲得。自適應(yīng)參數(shù)CF,用于控制精英s的步長(zhǎng),可描述為:

(20)

(三)測(cè)試實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所構(gòu)造的改進(jìn)的IMA算法的優(yōu)化性能,本文選取6個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn),并與MA算法進(jìn)行對(duì)比。6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的名稱、數(shù)學(xué)表達(dá)式、定義域和最優(yōu)值如表1所示,搜索空間的維數(shù)設(shè)置為:d=30.

表1 六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的定義

兩種算法的參數(shù)設(shè)置參考ZERVOUDAKIS K的研究成果[20],雄性蜉蝣、雌性蜉蝣和子代蜉蝣的種群規(guī)模均為40,最大迭代次數(shù)為1000,實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行30次,統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)所得最優(yōu)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示,兩種算法求解結(jié)果對(duì)比勝出者以粗體標(biāo)識(shí)。

表2 六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的求解結(jié)果與對(duì)比

從表2可以看出,基于精英策略改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法(IMA)的優(yōu)化性能有所改善,尋優(yōu)的精度的以提高。與MA相比,改進(jìn)后的IMA在對(duì)六個(gè)基本測(cè)試函數(shù)的30次獨(dú)立運(yùn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)指標(biāo)都勝出,表明改進(jìn)后的算法求解精度更高,穩(wěn)定性也更好,而且除了函數(shù)F2外,其他5個(gè)函數(shù)的測(cè)試結(jié)果都顯示這種改進(jìn)的效果是非常明顯。這一點(diǎn)也可以從圖1所描繪的兩種算法求解六個(gè)函數(shù)的搜索迭代過(guò)程的收斂特征曲線對(duì)比觀察到,同時(shí)我們也可以從圖1看出改進(jìn)后的IMA算法收斂速度更快。

圖1 MA和IMA收斂特征曲線對(duì)比

三、改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法求解經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題

(一)適應(yīng)度函數(shù)的表示

利用蜉蝣優(yōu)化算法來(lái)求解電力系統(tǒng)負(fù)荷分配,其種群個(gè)體即為待優(yōu)化的發(fā)電機(jī)組的輸出功率向量pop=(p1,p2,…,pM),i=1,2,…,n,目標(biāo)是最小化發(fā)電機(jī)組能量消耗之和,因此由式(1)可以定義第i個(gè)蜉蝣個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)如下:

(21)

若考慮閥點(diǎn)加載效應(yīng),則相應(yīng)地式(21)可改寫為:

(22)

(二)約束處理

電力負(fù)荷分配問(wèn)題的典型約束條件通常包括容量約束和電力供需平衡約束。本文只考慮這兩種約束的處理,其中容量約束,可通過(guò)設(shè)置個(gè)體位置變量來(lái)加以實(shí)現(xiàn),即設(shè)置其上下界為:

(23)

電力供需平衡約束通過(guò)引入拉格朗日乘子λ,在目標(biāo)函數(shù)里增加懲罰項(xiàng),加以處理。因此,相應(yīng)地式(21)和(22)可以改寫為:

其中懲罰系數(shù)λ本文設(shè)置為106。

四、實(shí)證研究

為了驗(yàn)證蜉蝣優(yōu)化算法求解經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題的可行性與有效性,本文選取了三個(gè)經(jīng)典測(cè)試案例(http://www.al-roomi.org)來(lái)進(jìn)行研究,分別是3、6、15個(gè)發(fā)電機(jī)組的電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題。

(一)三個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題求解

三個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題的總負(fù)荷為PD=850 MW,各發(fā)電機(jī)的參數(shù)見(jiàn)表3所示。

表3 三個(gè)發(fā)電機(jī)機(jī)組的參數(shù)

三個(gè)發(fā)電機(jī)機(jī)組的傳輸損耗系數(shù)矩陣為:

B0i=[0.01890 -0.00342 -0.007660],

B00=0.40357.

在案例一中,本文分為只考慮電網(wǎng)傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網(wǎng)傳輸損耗和閥點(diǎn)效應(yīng)作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本兩種情形作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本,借助IMA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)[8]、兩種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法(CPSO、CLPSO)[13]以及混沌優(yōu)化算法(COA)[14]等算法進(jìn)行對(duì)比,種群規(guī)模為40,最大迭代次數(shù)為2000,三種算法在求解案例時(shí)獨(dú)立運(yùn)行30次,比較最差、平均和最好目標(biāo)函數(shù)值,結(jié)果如表4所示。

表4 三個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的最差、最好目標(biāo)函數(shù)值

表5給出遺傳算法(GA)、兩種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法(CPSO、CLPSO)、混沌優(yōu)化算法(COA)以及改進(jìn)蜉蝣優(yōu)化算法(IMA)五種算法求解3個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題的結(jié)果。對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)本文所采用的IMA 求解所得的最優(yōu)機(jī)組負(fù)荷分配的總能耗成本是最少的。因而IMA 求解結(jié)果最優(yōu),其次是改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法CPSO、CLPSO,求解結(jié)果最差的是GA,其損耗明顯高于其他算法的總成本。結(jié)果表明了蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法求解電力負(fù)荷分配問(wèn)題是可行的,而且取得了不錯(cuò)的效果,總成本更低。

表5 三個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與對(duì)比

(二)六個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題求解

六個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題的總負(fù)荷為PD=1263 MW,各發(fā)電機(jī)的參數(shù)見(jiàn)表6所示。

表6 六個(gè)發(fā)電機(jī)機(jī)組的參數(shù)

案例二中六個(gè)發(fā)電機(jī)機(jī)組的傳輸損耗系數(shù)矩陣為:

在案例二中,本文也分為只考慮電網(wǎng)傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網(wǎng)傳輸損耗和閥點(diǎn)效應(yīng)作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本兩種情形作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本,借助IMA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化算法(PSO)兩種算法進(jìn)行對(duì)比,種群規(guī)模為40,最大迭代次數(shù)為1000,三種算法在求解案例時(shí)獨(dú)立運(yùn)行30次,比較最差、平均和最好目標(biāo)函數(shù)值,結(jié)果如表7所示。

表7 六個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的最差、最好目標(biāo)函數(shù)值

表8給出遺傳算法(GA)、兩種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法(CPSO、CLPSO)、混沌優(yōu)化算法(COA)以及改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法(IMA)五種算法求解六個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題的結(jié)果。結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)的五種算法總能耗成本差別都不大,但表現(xiàn)最好的依舊IMA。再次證明蜉蝣優(yōu)化算法求解電力負(fù)荷分配問(wèn)題是可行和有效的。

表8 六個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與對(duì)比

(三)十五個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題求解

十五個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題的總負(fù)荷為PD=2500 MW,各發(fā)電機(jī)的參數(shù)如表9所示。

表9 十五個(gè)發(fā)電機(jī)機(jī)組的參數(shù)

在案例三中,本文與案例一、二相同,分為只考慮電網(wǎng)傳輸損耗與和供需平衡約束和考慮電網(wǎng)傳輸損耗和閥點(diǎn)效應(yīng)作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本兩種情形作為能耗函數(shù)計(jì)算總成本,借助COA 算法求解該案例,并與遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化算法(PSO )兩種算法進(jìn)行對(duì)比,種群規(guī)模為40,最大迭代次數(shù)為5000,三種算法在求解案例時(shí)獨(dú)立運(yùn)行30次,比較最差、平均和最好目標(biāo)函數(shù)值,結(jié)果見(jiàn)表10所示。

表10 十五個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的最差、最好目標(biāo)函數(shù)值

從表11可以看出,運(yùn)行結(jié)果顯示五種算法求解 15 個(gè)機(jī)組的電力負(fù)荷分配問(wèn)題所得到最優(yōu)機(jī)組負(fù)荷分配及相應(yīng)的總能耗成本差別都不大,其中IMA 表現(xiàn)最好,其次是GA和CPSO相差甚微,表現(xiàn)最差的是CLPSO。三個(gè)測(cè)試案例的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明蜉蝣優(yōu)化算法在求解電力負(fù)荷分配問(wèn)題中是可行和有效的,具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性,可解決電力系統(tǒng)中的能源消耗問(wèn)題。

表11 十五個(gè)機(jī)組電力系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與對(duì)比

五、結(jié)論

本文提出了一種基于精英策略改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法用于解決電力系統(tǒng)中的經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題(ELD)。該算法考慮了電網(wǎng)傳輸損耗、供需平衡約束和閥點(diǎn)效應(yīng),有效地處理了容量約束和電力供需平衡約束。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,改進(jìn)的蜉蝣優(yōu)化算法在ELD問(wèn)題上具有高效的求解能力,能夠降低總發(fā)電成本和減少碳排放,取得了良好的應(yīng)用效果。未來(lái)研究可進(jìn)一步探索該算法在其他電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題上的應(yīng)用,并進(jìn)一步提升其性能和適用性。