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        線(xiàn)性長(zhǎng)波越過(guò)水下環(huán)礁引起的Bragg共振分析

        2024-01-15 05:44:56傅丹娟劉必勁毛豪東張振偉
        關(guān)鍵詞:環(huán)礁瀉湖沙壩

        傅丹娟,劉必勁,毛豪東,張振偉

        (1. 廈門(mén)理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院 ,福建 廈門(mén) 361024;2. 浙江大學(xué)海南研究院,海南 三亞 572025)

        波浪Bragg 共振指在特定頻率波的傳播方向上與某些特殊地形(如正弦沙紋、系列人工沙壩)相互作用,而使波產(chǎn)生最強(qiáng)反射的現(xiàn)象。波浪Bragg 共振最早由Davies[1]提出,他在研究波浪作用于水下有限正弦沙壩地形時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)入射波波長(zhǎng)為沙壩波長(zhǎng)2倍時(shí),共振產(chǎn)生且反射系數(shù)最大。之后學(xué)者們也進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證此結(jié)論[2-4]。受此啟發(fā),科學(xué)家們提出建設(shè)系列周期性人工沙壩或潛堤來(lái)抵抗波浪侵襲的設(shè)想,以達(dá)到生態(tài)建設(shè)及海岸防護(hù)協(xié)調(diào)發(fā)展。近年來(lái),關(guān)于海底周期起伏地形激發(fā)的波浪Bragg 共振的物理機(jī)制及應(yīng)用研究已成為水波研究的一個(gè)熱點(diǎn)[5-12]。且隨著越來(lái)越多的工程項(xiàng)目在島礁上開(kāi)發(fā)和建設(shè),波浪在島礁上的傳播變形也越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注。然而,島礁與常見(jiàn)的緩變岸灘 (沙壩、潛堤、陸架等)相比,島焦波浪的傳播變形規(guī)律有較大的不同。珊瑚環(huán)礁是島礁極具代表性的形式之一,發(fā)育成熟的珊瑚環(huán)礁中心一般有寬廣的深淺不一的瀉湖。如環(huán)礁這般高低起伏的地形,是否具備激發(fā)波浪Bragg 共振的特性,還未見(jiàn)系統(tǒng)研究。為此,本文基于線(xiàn)性長(zhǎng)波方程給出波浪越過(guò)水下環(huán)礁?jìng)鞑プ冃蔚慕馕鼋?,并定義波浪散射系數(shù),探討環(huán)礁地形周?chē)鶥ragg 共振的存在性及存在條件。

        1 模型及解決技術(shù)

        1.1 理論推導(dǎo)

        環(huán)礁地形剖面如圖1 所示。假設(shè)地形是軸對(duì)稱(chēng)的,采用極坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為環(huán)礁瀉湖中心。整個(gè)區(qū)域的水深函數(shù)h(r)表示為

        圖1 環(huán)礁地形截面圖:s= 2Fig.1 Section sketch of atoll: s= 2

        式(1)中:r1為中心到脊頂處的橫向距離;r2為中心到環(huán)礁邊界的橫向距離;h0為中心處水深;h1為脊頂處的水深;h2為外海水深;s 為任意正有理數(shù)。地形參數(shù)a和b由r1、h0、h1和m 決定:a = (h0-h1)/,b =。另外,r2與h2滿(mǎn)足關(guān)系式

        基于長(zhǎng)波假設(shè),對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)地形,采用如下方程來(lái)描述波浪的運(yùn)動(dòng):

        式(3)中:η(r, θ) 為自由水面函數(shù);h(r)為靜水水深;ω為角頻率;g 為重力加速度。

        對(duì)于水深如式 (1) 所示的地形,方程(3)的解可表示為

        式(4)中:

        式(4)、(5)中:k2為入射波波數(shù);Jn是第一類(lèi)的n階Bessel函數(shù);Hn是第一類(lèi)的n階Hankel函數(shù);εn是Jacobi符號(hào);m、p、q為整數(shù)且滿(mǎn)足m ≥ 1、 p ≥ 1、 q ≥ 2。

        1)當(dāng)m =1時(shí),有

        式(8)中:u=w/g。

        2)當(dāng)m = 2時(shí),有

        3)當(dāng)m > 2時(shí),有

        4)當(dāng)p<q時(shí),有

        5)當(dāng)q <p<2q時(shí),有

        6)當(dāng)p > 2q時(shí),有

        式(14)、(15)中:

        基于連續(xù)性條件,在相鄰區(qū)間交界處(即r=r1和r=r2)波高相等,流量相等,可得待定系數(shù)An、β1,n、β2n及Dn的值。

        1.2 散射系數(shù)

        定義散射系數(shù)為

        由式(18)可知,KS是關(guān)于方向角θ和徑向r的函數(shù)。

        2 環(huán)礁激發(fā)的Bragg共振

        2.1 Bragg共振存在性

        為研究環(huán)礁地形上Bragg 共振的存在性,考慮如下的地形參數(shù):h1=10 m,h0=20 m, h2= 21.5 m,r1= 1 000 m, r2= 1 200 m,S = 2r1=2 000 m, s = 4;考慮波長(zhǎng)計(jì)算范圍:0< 2S/L ≤ 3, 則無(wú)因次水深計(jì)算范圍為:0< k2h2< 0.1,滿(mǎn)足淺水方程適用范圍。其中,S是島礁脊頂間距。

        圖2給出了環(huán)礁迎浪面不同方向散射系數(shù)隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)。由圖2可以看出,迎浪面正面(θ =π) 有Bragg 共振產(chǎn)生,顯示在2S/L=1、2、3 附近(即:環(huán)礁脊頂距離與半波長(zhǎng)比值的整數(shù)倍附近),散射系數(shù)達(dá)到最大值和極大值,說(shuō)明在這些頻率下環(huán)礁對(duì)波浪的散射最強(qiáng)。但是,共振頻率并不落在整數(shù)上。如圖2 所示,主共振在2S/L = 1.16 時(shí)產(chǎn)生,次共振位于2S/L=1.92 處。之前,眾多學(xué)者[13-15]對(duì)水下周期性起伏地形 (如正弦沙紋、人工沙壩、系列溝槽等)激發(fā)的Bragg共振反射問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí),也發(fā)現(xiàn)共振發(fā)生的頻率不會(huì)出現(xiàn)在2S/L=1 處,而是會(huì)有所偏移,如系列溝槽等地形主頻出現(xiàn)在2S/L>1 處,而對(duì)于正弦沙紋及人工沙壩等地形,主頻出現(xiàn)在2S/L<1 的位置??梢?jiàn),三維的環(huán)礁地形跟沙壩、溝槽等二維地形所激發(fā)的Bragg共振在頻偏移上還是有差異,需進(jìn)一步加以更深入的研究。

        圖2 不同方向散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)(h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4)Fig.2 Relation between scattering rate and 2S/L at different directions(h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4)

        由圖2可見(jiàn),隨著方向的的偏轉(zhuǎn),共振頻率的偏移程度越大。在θ =3π/4,θ =π/2方向上,已不滿(mǎn)足Bragg 共振的規(guī)律,主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置。還可以觀(guān)察到,當(dāng)2S/L=2.24 時(shí),θ =3π/4方向共振產(chǎn)生,而此時(shí) θ = π 方向上的散射系數(shù)剛好接近極小值。

        圖3 給出了頻率2S/L = 1.16、1.56 和2.24 時(shí)的環(huán)礁周?chē)恼w波振幅分布。從圖3 可見(jiàn),當(dāng)2S/L = 1.16迎浪面的散射效應(yīng)非常強(qiáng),觀(guān)察到明顯的駐波存在;當(dāng)2S/L = 1.56時(shí),迎浪面散射很小,波振幅沒(méi)有明顯的變化,波能量主要集中在山脊處和背浪面;當(dāng)2S/L = 2.24 時(shí),可以觀(guān)察到θ =3π/4 方向上有駐波存在,而迎浪面正向(θ =π)的波幅反而更小。

        圖3 不同頻率下的波振幅分布圖Fig.3 Amplitude distribution of wave with different frequencies

        2.2 環(huán)礁瀉湖深度對(duì)Bragg共振的影響

        由上文可知,環(huán)礁可以激發(fā)其在迎浪面正面的Bragg 共振。本節(jié)主要討論環(huán)礁所環(huán)抱的中心瀉湖深度對(duì)Bragg共振的影響。取地形參數(shù)h1=10 m,h2=21.5 m,r1=1 000 m,r2=1 200 m,瀉湖深度h0分別取h0=20 m、h0=15.2 m、h0=10.038 m,對(duì)應(yīng)的參數(shù)s 為4、5、16,即深度由深到淺。不同深度下,散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)如圖4所示。

        圖4 不同瀉湖深度,散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)(h1 =3.2 m, h2 =21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m)Fig.4 Relation between scattering rate and 2S/L at different lagoon depth(h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m)

        由圖4可以看出,隨著深度的變淺,即使是正向處的散射也越來(lái)越不滿(mǎn)足Bragg共振規(guī)律,如h0=15.2 m,h0=10.038 m情況所示,但是在 2S/L=1附近還是可以取到散射系數(shù)的極大值。

        3 結(jié)論

        本文基于線(xiàn)性長(zhǎng)波理論研究長(zhǎng)波越過(guò)水下環(huán)礁激發(fā)的Bragg 共振問(wèn)題。研究發(fā)現(xiàn),有深瀉湖的水下環(huán)礁具備產(chǎn)生Bragg共振的特性,當(dāng)其頂部瀉湖的直徑約為1/2入射波長(zhǎng)的整數(shù)倍(即2S/L=1,2S/L=2,2S/L=3)時(shí),將激發(fā)迎浪面正面(θ =π)的水波共振,將很大的一部分波浪散射于外海。共振規(guī)律隨著方位的偏移及瀉湖深度的變淺而逐漸消失;在θ =3π/4,θ =π/2 方向上,已不滿(mǎn)足Bragg 共振的規(guī)律,主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置,且隨著深度的變淺,即使是正向處的散射也越來(lái)越不滿(mǎn)足Bragg 共振規(guī)律;在另一些特定的入射波頻率下,環(huán)礁還可激發(fā)其他方位上的共振,如當(dāng)入射波頻率為2S/L=2.24時(shí),可激發(fā)θ =3π/4方位上共振。

        環(huán)礁激發(fā)的Bragg 共振現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn),將補(bǔ)充現(xiàn)有的水波Bragg 共振理論,為島礁周?chē)墓こ探ㄔO(shè)及船舶航行提供一定的理論指導(dǎo)。

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