王冠達,張遠進,許伊鍵

(1.武漢理工大學 中國應(yīng)急管理研究中心,湖北 武漢430070;2.武漢理工大學 安全科學與應(yīng)急管理學院,湖北 武漢 430070;3.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

地震會給人們帶來巨大的災(zāi)難,阻礙城市發(fā)展。人們通過不斷發(fā)展新理論、改善建筑結(jié)構(gòu),以將地震帶來的損失降到最低[1]。在當今建筑結(jié)構(gòu)中,應(yīng)用較為廣泛的是鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu),但此類結(jié)構(gòu)在地震中容易產(chǎn)生不可修復(fù)的損傷[2]。結(jié)構(gòu)在地震作用下會產(chǎn)生一定的變形,同時經(jīng)歷能量耗散過程,產(chǎn)生不同程度的損傷,當損傷發(fā)展到一定程度后,結(jié)構(gòu)將失效或倒塌[3]?？蚣芙Y(jié)構(gòu)的損傷破壞往往發(fā)生于少數(shù)樓層變形而形成的層屈服機制[4]。

國內(nèi)外學者提出“可恢復(fù)功能”的抗震結(jié)構(gòu)體系,為了減少地震中不可修復(fù)的損傷、提高結(jié)構(gòu)的抗震性能,搖擺墻被引入到框架結(jié)構(gòu)中,形成了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)[5]。該結(jié)構(gòu)由框架與搖擺墻兩部分組成,兩者之間通過剛性鏈桿連接,以搖擺墻結(jié)構(gòu)緩解框架的受力情況,減輕或者避免產(chǎn)生層屈服機制。AJRAB等[6]對框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)進行非線性時程分析,發(fā)現(xiàn)在地震作用下,框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的層間位移分布比傳統(tǒng)框剪結(jié)構(gòu)更均勻。HU等[7]使用時程分析法,將純框架結(jié)構(gòu)與附加自復(fù)位墻的框架結(jié)構(gòu)進行動力響應(yīng)分析比較,發(fā)現(xiàn)附加自復(fù)位墻后,結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)明顯減小,基本無殘余位移產(chǎn)生。楊樹標等[8]設(shè)計了一種新型框架-搖擺填充墻結(jié)構(gòu),并進行靜力非線性分析,結(jié)果表明搖擺填充墻能夠改善建筑結(jié)構(gòu)層間位移分布,使結(jié)構(gòu)層間位移趨于均勻,將結(jié)構(gòu)破壞機制改變?yōu)檎w破壞機制,明顯改善了框架結(jié)構(gòu)的延展性。田會文等[9]針對自復(fù)位墻在矩形脈沖作用下的動力響應(yīng)進行分析,發(fā)現(xiàn)自復(fù)位墻傾覆譜附加安全區(qū)域SN的位置和面積與墻體高寬比、預(yù)應(yīng)力筋初張力和剛度均有關(guān)。

隨機平均法是分析非線性隨機系統(tǒng)響應(yīng)的有效方法之一。20世紀60年代,STRATONOVICH[10]首次提出隨機平均法,迄今為止,許多學者在隨機激勵下的非線性系統(tǒng)響應(yīng)分析中運用隨機平均法。SANTOS等[11]利用基于Hilbert變換的隨機平均法,給出了一種半解析方法,用于確定隨機激勵非線性振子的生存概率和首次穿越時間概率密度函數(shù)。SPANOS等[12]使用隨機平均法導(dǎo)出了振蕩器非平穩(wěn)邊緣、過渡和聯(lián)合響應(yīng)振幅PDF的近似封閉形式表達式,并最終導(dǎo)出了隨時間變化的振蕩器生存概率。KOUGIOUMTZOGLOU等[13]依靠統(tǒng)計線性化和隨機平均的組合產(chǎn)生具有時變剛度和阻尼元件的等效線性系統(tǒng)(ELS)。VANVINCKENROYE等[14]依靠響應(yīng)能量包絡(luò)的馬爾可夫近似和隨機平均處理,得到一個控制振蕩器可靠性函數(shù)隨時間演變的后向Kolmogorov方程。CHAI等[15]基于能量包絡(luò)隨機平均法和路徑積分法研究了隨機橫浪中非線性橫搖運動的隨機響應(yīng),使用隨機平均法對原系統(tǒng)進行降維,降低了計算隨機響應(yīng)的難度。解娜娜等[16]研究了含有慣性非線性的梁振動方程在高斯白噪聲激勵下的隨機平均法。

筆者針對單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)在隨機地震激勵下,搖擺墻體發(fā)生偏轉(zhuǎn)抬升,并進行往復(fù)搖擺運動這一現(xiàn)象,建立動力響應(yīng)方程并進行分析,將系統(tǒng)的運動方程進行一定的簡化后,運用隨機平均法求解系統(tǒng)的等價剛度與阻尼。

1 框架-搖擺墻動力學方程

框架與搖擺墻之間采用剛性鏈桿L進行連接,位于框架右頂點與搖擺墻左頂點之間。設(shè)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動時,鏈桿L與水平線夾角為Φ,矩形搖擺墻高度為2h,寬度為2b,框架質(zhì)點與地面的相對位移為Us,搖擺墻左頂點與地面相對位移為Ut。假設(shè)忽略主體框架與搖擺墻體的豎向變形,搖擺墻為剛體,且質(zhì)量集中在墻形心。搖擺墻角O點與O′點各設(shè)置有一個金屬阻尼器。當單自由度框架-搖擺墻向正方向運動時,即墻體轉(zhuǎn)動角θ>0,當結(jié)構(gòu)向負方向運動時,即θ<0,如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動示意圖

當θ>0時,根據(jù)達朗貝爾原理,對O點列力矩平衡方程:

(1)

Ug表示地面位移,Us表示框架質(zhì)點與地面的相對位移,U表示框架質(zhì)點的絕對位移,則U(t)=Ug(t)+Us(t)。當單自由度框架-搖擺墻運動時,框架質(zhì)點與地面的相對位移Us為:

Us=Ut=±2R[sinα-sin(α?θ)]

(2)

當θ>0時,±處取正號,?處取負號;當θ<0時,±處取負號,?處取正號。

在隨機地震激勵作用下,框架的動力學方程可表示為:

(3)

將式(2)代入式(1)可得:

(4)

當θ<0時,根據(jù)達朗貝爾原理,對O′點列力矩平衡方程:

(5)

式中:f2為右側(cè)金屬阻尼器的恢復(fù)力。將式(2)代入式(5)可得:

(6)

(7)

2 隨機平均法

根據(jù)參考文獻[17],由式(7)可知:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:A為響應(yīng)位移的時間相關(guān)幅度;φ為相位,是與時間t相關(guān)的函數(shù)。A和φ都具有隨時間緩慢變化的特性,因此可在一個周期內(nèi)認為其近似恒定。

將式(7)代入式(12)～式(15)可知:

(16)

(17)

對式(12)、式(13)的右側(cè)求期望可以得到近似等效的時間相關(guān)阻尼因子和頻率:

(18)

(19)

式中:c(t)為非平穩(wěn)隨機響應(yīng)的方差。

此時,在模擬地震隨機激勵下的單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)方程可以表示為:

(20)

式中:p(A,t)表示響應(yīng)過程x的幅值A(chǔ)的概率密度函數(shù),如式(21)所示;c(t)為隨機響應(yīng)過程x與時間相關(guān)的方差,可由微分方程描述,如式(22)所示。

(21)

(22)

根據(jù)式(22)求得隨機激勵下單自由度框架-搖擺墻位移響應(yīng)的方差,將其與MCS的結(jié)果進行對比,可以驗證隨機平均法模擬結(jié)果的可靠性。

3 數(shù)值算例

3.1 模型參數(shù)

采用單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)模型,搖擺墻尺寸為4 m×1 m×0.1 m,γ=2 000,Ks=7.2×107N/g,Ms=2×106N/g,ξs=0.05,Mw=1 000 N/g,fd=7×104N。

3.2 隨機激勵模型

在模擬地震隨機激勵時采取非平穩(wěn)地震動模型,地震動加速度可以表示為:

(23)

式中:a0(t)為平穩(wěn)白噪聲過程,其功率譜密度函數(shù)為S0;ψ(t)為Amin 和Ang型調(diào)制函數(shù)[18],其表達式如式(24)所示。

(24)

調(diào)制函數(shù)各參數(shù)按照文獻[19]中取值,即A0=0.412 3,a=0.85,t1=1.47 s,t2=6.47 s。將式(23)代入式(10)可得:

(25)

隨機激勵的功率譜密度函數(shù)為:

(26)

3.3 數(shù)值分析

采用MCS法(樣本數(shù)為4 000條)驗證隨機平均法計算結(jié)果的HJ可靠性,對比分析不同激勵強度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時的結(jié)構(gòu)響應(yīng),可以得到所提模型在非平穩(wěn)隨機激勵下位移響應(yīng)的方差,結(jié)果如圖2所示。由圖2可知,單自由度框架-搖擺墻模型在調(diào)制白噪聲激勵下,不同激勵強度僅對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的方差大小產(chǎn)生影響,隨機平均法與MCS法的結(jié)果較為接近。

圖2 隨機平均法與MCS的位移方差

為驗證隨機平均法求得位移響應(yīng)方差分布的準確性,繪制其概率密度函數(shù)圖像,根據(jù)Amin 和 Ang 型分段調(diào)制函數(shù),在其上升、平穩(wěn)、衰減階段分別任意取一個時間點,t=1 s,t=2 s,t=7.5 s。為研究在非平穩(wěn)隨機激勵的作用下激勵強度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,對比分析不同激勵強度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時結(jié)構(gòu)響應(yīng)位移方差的概率密度函數(shù),如圖3所示。由圖3可知,單自由度框架-搖擺墻模型在不同強度的調(diào)制白噪聲激勵下,隨機平均法求解得的位移響應(yīng)方差的概率密度函數(shù)與MCS模擬結(jié)果的峰值與分布均比較相似,擬合準確性較高。

圖3 不同激勵強度結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移方差的概率密度函數(shù)

4 結(jié)論

(1)為探討單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)模型在模擬地震的隨機激勵下的動力響應(yīng),建立該結(jié)構(gòu)向正、負兩個方向轉(zhuǎn)動的運動方程,將與角度相關(guān)的運動方程轉(zhuǎn)化為與位移相關(guān)的運動方程,具有較高的分析精度和合理性。

(2)采用隨機平均法求出單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的等效線性運動方程,其位移響應(yīng)的方差與MCS法的結(jié)果接近,驗證了隨機平均法在應(yīng)用于該結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的適用性。

(3)以所求得的等效線性運動方程進行結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值模擬,在不同激勵強度下方差的概率密度函數(shù)與MCS求得方差的概率密度函數(shù)擬合度較高,由此可知本文方法準確性較高,可靠性較強,進一步驗證了方法的合理性和可靠性。