耿曉鵬，呂曉曉

（青島大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，山東 青島 266071）

多智能體系統(tǒng)作為人工智能研究的基本對(duì)象受到了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛重視。由于其魯棒性、可靠性及高效性，多智能體系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)、交通控制和軍事等眾多領(lǐng)域[1-3]。其中，分布式協(xié)調(diào)控制是多智能體系統(tǒng)的一個(gè)基礎(chǔ)研究問(wèn)題，包括追蹤[4]、群集[5]、分布式濾波器[6]、可控性[7]和一致性[8]等。其中，一致性是多智能體系統(tǒng)的最基本問(wèn)題，它描述了同一系統(tǒng)中每個(gè)智能體在預(yù)先設(shè)定的控制協(xié)議下可以達(dá)到某種狀態(tài)[9-11]。在現(xiàn)有的一致性結(jié)果中，大多數(shù)多智能體系統(tǒng)在一致性控制協(xié)議下實(shí)現(xiàn)了漸近/指數(shù)收斂，這意味著系統(tǒng)只有在無(wú)限的時(shí)間內(nèi)才能逐步達(dá)到穩(wěn)定。在實(shí)際的工程系統(tǒng)中，如航天系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)等短時(shí)間工作的系統(tǒng)，往往需要的是系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到漸近穩(wěn)定[12]。因此，多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性問(wèn)題引發(fā)了大批國(guó)外學(xué)者的研究興趣，相關(guān)研究結(jié)果被提出[13-16]。

另一方面，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓诙嘀悄荏w系統(tǒng)一致性問(wèn)題的研究中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。為了獲得更好的收斂速度，對(duì)于一些特殊的交互圖，如包含有向生成樹(shù)的有向圖和強(qiáng)連通的有向圖，許多學(xué)者都在尋找更好的代數(shù)連通性。在實(shí)際應(yīng)用中，通訊干擾或者超出通訊范圍都可能會(huì)導(dǎo)致智能體之間的通訊中斷，同時(shí)，又可能在任意兩個(gè)智能體之間重新建立新的通信鏈路，這意味著智能體之間的拓?fù)鋵㈦S著時(shí)間的推移而改變[17]。因此，進(jìn)一步研究具有切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性具有重要意義[18-20]。

在許多實(shí)際情況下，系統(tǒng)在某些時(shí)刻可能會(huì)遇到一些突變，其狀態(tài)不再是連續(xù)的動(dòng)態(tài)演化，這種突變被稱(chēng)為脈沖現(xiàn)象。近年來(lái)，具有脈沖效應(yīng)的多智能體系統(tǒng)在脈沖微分方程下有著廣泛的研究[21-23]。不難發(fā)現(xiàn)，脈沖效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有雙面性，可分為鎮(zhèn)定的脈沖和去穩(wěn)定的脈沖。一方面，鎮(zhèn)定的脈沖是指脈沖控制是一種成本低、魯棒性強(qiáng)的有效控制策略。因此，基于脈沖控制的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題近年來(lái)被國(guó)內(nèi)外學(xué)者們大量的研究[24-26]。另一方面，去穩(wěn)定的脈沖可以看作是脈沖擾動(dòng)，這意味著無(wú)脈沖效應(yīng)的系統(tǒng)本身具有一定的穩(wěn)定性，在脈沖擾動(dòng)下仍能保持相應(yīng)的穩(wěn)定性。由于脈沖擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有很大的影響，因此研究脈沖擾動(dòng)對(duì)多智能體系統(tǒng)一致性的影響是非常有必要的[27-28]。到目前為止，受擾動(dòng)的多智能系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性已有較多結(jié)果，但關(guān)于脈沖擾動(dòng)的結(jié)論還相對(duì)較少。多智能體系統(tǒng)在到達(dá)停息時(shí)間之前受到脈沖擾動(dòng)，將會(huì)延長(zhǎng)原來(lái)的停息時(shí)間，這激發(fā)了我們的研究興趣。本文研究了脈沖擾動(dòng)下具有切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的有限時(shí)間平均一致性問(wèn)題。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

1）在多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間平均一致性研究中考慮了脈沖擾動(dòng)，且所研究的是脈沖擾動(dòng)次數(shù)對(duì)停息時(shí)間的影響，因此脈沖效應(yīng)只在多智能體系統(tǒng)達(dá)到停息時(shí)間之前施加。

2）利用Lyapunov 有限時(shí)間穩(wěn)定性定理、代數(shù)圖論和脈沖控制理論，推導(dǎo)出了具有脈沖擾動(dòng)和切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的有限時(shí)間平均一致性的充分條件，并對(duì)其停息時(shí)間進(jìn)行了有效估計(jì)。

3）本文的停息時(shí)間取決于多智能體系統(tǒng)的初始條件、脈沖擾動(dòng)次數(shù)及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等多種因素。

本文的其余部分組織如下：第1 節(jié)給出了有限時(shí)間穩(wěn)定性理論以及代數(shù)圖論的相關(guān)知識(shí)；第2 節(jié)中介紹了具有脈沖擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間平均一致性的主要結(jié)果；第3 節(jié)給出了一個(gè)數(shù)值例子；第4 節(jié)總結(jié)全文。

1 基礎(chǔ)知識(shí)及模型介紹

在本節(jié)中，首先列出本文用到一些符號(hào)及代數(shù)圖論的相關(guān)知識(shí)，然后是問(wèn)題的描述。最后，給出了本文需要的引理。

1.1 符號(hào)

文中用到的主要符號(hào)如下：1n是一個(gè)元素全為1 的n 維列向量；R+（Z+）是正實(shí)數(shù)（整數(shù)）的集合；Rn具有Euclid 范數(shù)的n 維實(shí)空間；D+V（t）表示函數(shù)V：R→R 在t∈R 的右上Dini 導(dǎo)數(shù)，即：

1.2 圖論

考慮由n 個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，智能體之間的通信由有向圖G=（V，ε，A）來(lái)描述，其中V={1，2，…，n}為節(jié)點(diǎn)集，節(jié)點(diǎn)i∈V 表示第i 個(gè)智能體，ε=V × V 為邊集，A=[aij]∈Rn×n為鄰接矩陣。如果（j，i）∈ε，則鄰接矩陣A 中的元素aij不等于0，此時(shí)智能體i 是智能體j 的鄰居；否則aij=0。智能體i 的鄰居組成的集合為Ni={j∈V：（i，j）∈ε}。從智能體i 到智能體j 的有向路徑為有限有序邊序列，形式為（i，l1），（l1，l2），…，（lk-1，lk），（lk，j）。在有向圖中，如果存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)（即根節(jié)點(diǎn)），且滿足從根節(jié)點(diǎn)到任何其他節(jié)點(diǎn)至少存在一條有向路徑，那么則稱(chēng)該有向圖包含一個(gè)有向生成樹(shù)。定義與G 相關(guān)的Laplace 矩陣L=[lij]∈Rn×n，如果i≠j，則lij=-aij，且若有向圖中所有的入度等于出度，即對(duì)于所有的則稱(chēng)有向圖是平衡的。

1.3 問(wèn)題陳述

考慮由n 個(gè)相同的智能體組成的多智能體系統(tǒng)，第i 個(gè)智能體的狀態(tài)可以描述為

其中：xi（t）∈R，i∈V 表示系統(tǒng)狀態(tài)；ui（t）∈Rn表示控制輸入；wi（t）為脈沖擾動(dòng)。wi（t）形式為

其中：dk>0 為脈沖擾動(dòng)系數(shù)，k∈Z+；δ（·）為Dirac函數(shù)。序列S={tk，k∈Z+}是滿足0=t0

將系統(tǒng)（1）改寫(xiě)為

引理1[1]設(shè)L 為有向圖G 相關(guān)聯(lián)的Laplace矩陣，如果G 包含有向生成樹(shù)，則0=λ1（L）<λ2（L）≤λ3（L）≤…≤λn（L），λ1n（L）=0 且Re（λ1（L））>0，i=2，3，…，n。

引理2[29]令x1，x2，…，xn≥0，0 1，則下列兩個(gè)不等式成立：

1.4 帶有脈沖擾動(dòng)的有限時(shí)間穩(wěn)定

考慮如下的脈沖控制系統(tǒng)：

其中，f（z（t）），f（z（t-））和z0的定義與文獻(xiàn)[30]中的定義相同，這里省略。在此之后，我們建立以下引理。

引理3[30]如果存在正常數(shù)β >1，0 <η <1，α，δ 和兩個(gè)K 類(lèi)函數(shù)φ1，φ2和局部Lipschitz 連續(xù)的函數(shù)V（z）：Ω →R+∪0 使得

2 脈沖擾動(dòng)下有限時(shí)間平均一致性

考慮具有脈沖擾動(dòng)和切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)（1）的有限時(shí)間平均一致性。設(shè)計(jì)如下的控制律：

其中：σ（t）：R+→ρ={1，2，…，m}為分段常數(shù)信號(hào)，被稱(chēng)為切換信號(hào)為有向圖Gσ（t）鄰接矩陣中的元素，0 <γ <1。

假設(shè)1有向圖Gi，i∈{1，2，…，m}是平衡的且包含有向生成樹(shù)。

定理1若假設(shè)1 成立，存在常數(shù)γ∈（0，1），dk>0，β∈[1，∞），使得不等式

成立，則初始條件為ei（t0）∈Ωδ的多智能體系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間平均一致性，其中ei（t0）=xi（t0）-ξ（t0）且脈沖序列{tk}滿足

則停息時(shí)間可估計(jì)為

類(lèi)似地，可得Δξ（tk）=0。令ei（t）=xi（t）-ξ（t），則可以寫(xiě)出xi（t）和ξ（t）之間的誤差系統(tǒng)為

考慮如下的Lyapunov 函數(shù)：

當(dāng)t≠tk，k∈Z+時(shí)，計(jì)算V（t）沿誤差系統(tǒng)（9）的狀態(tài)軌跡的右上Dini 導(dǎo)數(shù)

根據(jù)引理1 和引理2，我們得到

當(dāng)t=tk時(shí)，結(jié)合式（6）可以得到

顯然，式（7）、（10）—（12）滿足引理3 中的 所有條件，因此，受脈沖擾動(dòng)（2）的多智能體系統(tǒng)（1）在控制協(xié)議（5）下可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間平均一致性，其停息時(shí)間可由式（8）估計(jì)。

3 仿真實(shí)例

考慮具有6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的多智能體系統(tǒng)（1），其可能的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B接關(guān)系如圖1 所示，其中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涿縏=2.1 在4 種有向圖中進(jìn)行一次隨機(jī)切換，顯然假設(shè)1 成立?？紤]系統(tǒng)（1）的參數(shù)為γ=0.2，dk=0.55，并且選取如下的脈沖時(shí)間序列：t4n-3=2.1n -1.6，t4n-2=2.1n -1.35，t4n-1=2.1n -0.6，t4n=2.1n（見(jiàn)圖2）。令β=1.1，初值x0滿足<δ=0.6，容易計(jì)算出=0.388 20。因此，由引理3（當(dāng)N0=1 時(shí)）可知無(wú)脈沖擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)（1）在控制器（5）下可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間平均一致性，且停息時(shí)間可估計(jì)為T(mén)（x0）=1.956 0，如圖3 所示。進(jìn)一步計(jì)算可得：t7=3.6 >3.464 5=β6T（x0），則N0=7 成立，那么脈沖時(shí)間序列為

圖1 切換的通信拓?fù)銯ig.1 Switching communication topologies

圖2 脈沖切換信號(hào)Fig.2 Impulsive switching signal

圖3 無(wú)脈沖擾動(dòng)的受控多智能體系統(tǒng)（1）的有限時(shí)間平均一致性（i=1，2，3，4，5，6）Fig.3 Finite-time average consensus for controlled multi-agent systems（1）without impulsive disturbances（i=1，2，3，4，5，6）

若定理1 中的所有條件都滿足，則可以得到切換拓?fù)湎戮哂忻}沖擾動(dòng)（2）的多智能體系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間平均一致性，且停息時(shí)間可估計(jì)為T(mén)（e0，（tk））=3.464 5，如圖4 所示。另一方面，由于T（e0，（tk））=3.464 5 >T（e0）=1.956 0，這意味著在達(dá)到停息時(shí)間之前，有限次的脈沖擾動(dòng)將延長(zhǎng)系統(tǒng)（1）的未受擾動(dòng)時(shí)的停息時(shí)間。

圖4 帶脈沖擾動(dòng)的受控多智能體系統(tǒng)（1）的有限時(shí)間平均一致性（i=1，2，3，4，5，6）Fig.4 Finite-time average consensus for controlled multi-agent systems（1）with impulsive disturbances（i=1，2，3，4，5，6）

顯然，脈沖擾動(dòng)的個(gè)數(shù)對(duì)于停息時(shí)間的影響是顯著的，因此分析參數(shù)的敏感性是非常有必要的。當(dāng)選擇N0=3，S2={1，2}時(shí)，容易計(jì)算出此時(shí)的停息時(shí)間為2.360 8。另外，當(dāng)N0=5，S4={0.5，1.2，1.7，2.4}時(shí)，停息時(shí)間為2.863 8，對(duì)應(yīng)的仿真如圖5所示。因此，在到達(dá)停息時(shí)間之前多智能體系統(tǒng)受到脈沖擾動(dòng)，會(huì)延長(zhǎng)原來(lái)的停息時(shí)間，脈沖擾動(dòng)次數(shù)越多，停息時(shí)間就越長(zhǎng)。

圖5 不同N0 時(shí)的停息時(shí)間Fig.5 The setting-time with different N0

4 結(jié)論

本文研究了切換拓?fù)湎率苊}沖擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間平均一致性。利用Lyapunov 有限時(shí)間穩(wěn)定定理、代數(shù)圖理論和脈沖控制理論，得到了保證有限時(shí)間平均一致性的充分條件。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)多智能體系統(tǒng)的初始條件、脈沖擾動(dòng)的數(shù)量及其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，重新估算出停息時(shí)間。最后，通過(guò)數(shù)值算例對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性。