朱佳慶，姚 宇，張國東

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074）

近20 年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逐漸成為熱門話題，被學(xué)者們廣泛研究，并運用于諸多不同的領(lǐng)域，例如：圖像處理、模式識別、自動控制和聯(lián)想記憶[1-4]等。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用依賴于它們的動力學(xué)行為，其中，“同步”作為一類十分重要的動力學(xué)行為，已被學(xué)者們深入研究。根據(jù)不同的同步時間，同步可以被分為無窮時間同步和有限時間同步。實際應(yīng)用中，系統(tǒng)總是被期望在一個有限的時間內(nèi)實現(xiàn)同步。因此，有限時間同步憑借良好的性能成為了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要研究課題[5-6]。

分數(shù)階微分不僅有整數(shù)階的性質(zhì)，還具有優(yōu)秀的建模能力和廣泛的適用性，可應(yīng)用于工程控制、生物數(shù)學(xué)和信號加工等[7-9]。分數(shù)階微分可以更精確地描述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為。目前人們研究得到很多分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)秀成果，例如：分數(shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間鎮(zhèn)定[10]、分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步[11]和帶憶阻的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步[12]等。

1971 年Chua[13]首次提出憶阻，2008 年，惠普實驗室研究出實際的憶阻器[14]。近年來，憶阻研究成為熱門話題，其杰出的非線性特性令它成為模仿人腦突觸的最好選擇。因此，學(xué)者將憶阻融入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，得到了一類依賴狀態(tài)切換的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]。

由于缺少相關(guān)理論支持，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)動力學(xué)問題很少被人們研究。其實，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算能力和性能均優(yōu)于實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在對稱性檢測[16]和二進制運算問題[17]等方面實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)均不如復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。近年來，通過將復(fù)值系統(tǒng)分離為實部和虛部系統(tǒng)，復(fù)值系統(tǒng)的漸近同步[18]、指數(shù)同步[19]和有限時間同步[20]被深入研究。盡管分離法是可行的，但將復(fù)值系統(tǒng)分成兩個實值系統(tǒng)會大幅增加理論分析復(fù)雜性。由于模型的復(fù)雜度較高，分離法也很難被實際應(yīng)用。Feng 等[21]和Zheng等[22]通過引入一種復(fù)值符號函數(shù)解決了這個問題，即采用非分離的方法就可以研究復(fù)值系統(tǒng)動力學(xué)問題。

被上述分析所激勵，本文的目標(biāo)是通過非分離的方法研究一類狀態(tài)依賴切換的分數(shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步。本文的主要創(chuàng)新點如下：

1）研究的系統(tǒng)帶有分數(shù)階、復(fù)值、狀態(tài)依賴切換項，涵蓋僅研究整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[5-6]、分數(shù)階實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[8，10-11，15，23]、非依狀態(tài)切換的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[21-22]，所得結(jié)果更具一般性；

2）不同于以往研究[18-20]，本文采用非分離的方法直接研究此類復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步，所得結(jié)果更符合復(fù)值系統(tǒng)的實際意義。

3）構(gòu)建了復(fù)值雜合控制器，完全消除了文獻[8]中的條件限制fl（±Tl）＝0，l=1，2，…，n。

1 預(yù)備工作

本節(jié)將引入一些有限時間同步和分數(shù)階微積分的一些基礎(chǔ)知識。另外，本節(jié)還闡述了一些文章需要的引理和定義。

定義1f（t）的分數(shù)階積分定義為

可以由引理1 證明而來，證明過程略。

引理3[22]對任意g（t）∈C，以下式子成立：

2 模型描述

本節(jié)給出一類分數(shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中：0 <α <1；l=1，2，…，n；ξl（t）∈C 代表第l 個神經(jīng)元在時間t 的狀態(tài)；al（ξl（t））代表神經(jīng)元的自抑制率；blj（ξl（t））表示神經(jīng)元連接憶阻權(quán)值。fj：C→C 代表第j 個神經(jīng)元在時間t 的激活函數(shù)；Il∈C 表示外部輸入。al（ξl（t））和blj（ξl（t））滿足

為了研究系統(tǒng)的同步行為，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)定義為

其中：zl（t）=ηl（t）-ξl（t）；dl∈C 是線性反饋增益，ω >0，并且滿足Re（dl）>0；λ 是冪律反饋增益并且滿足λ >0。ρl（t）設(shè)計如下：

從而，我們可以得到誤差系統(tǒng)為

在文獻[15]的基礎(chǔ)上，上述誤差系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為

3 主要結(jié)果

本節(jié)設(shè)計一些控制方法實現(xiàn)依狀態(tài)切換的分數(shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步。

定理1基于假設(shè)1 和雜合復(fù)值控制器（3），在φl≥0 和0 <β <α 條件下，依狀態(tài)切換的分數(shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實現(xiàn)有限時間同步。其停滯時間為

證明：構(gòu)造一個Lyapunov 函數(shù)

基于引理2，有

由假設(shè)1、引理5 和引理6，可以得到

基于引理3 和引理4，可得到

將式（8）和式（9）帶入式（7）中，可以得到

因為φl≥0，可以得到對于t≥0，有

因為0 <β <α，根據(jù)式（11）和引理7，對于t≥T，V1（t）=0，其中

因此驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到同步，定理1 得證。

下面，本文基于復(fù)值的1-范數(shù)給出定理2。

定理2設(shè)計一個新的雜合控制器（12）如下：

參數(shù)條件與控制器（3）一樣。

若滿足γl≥0 和0 <ω <α，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)可以達到同步，則停滯時間為

4 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個具體例子來驗證理論結(jié)果的有效性。

例1 考慮一個二維的分數(shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

另外，fj（ξj（t））（j=1，2）滿足假設(shè)1，其Lipschitz 常數(shù)F21=F22=1，該驅(qū)動系統(tǒng)的圖分為實部和虛部，初值分別為ξ1（0）=0.6-1.5i，ξ2（0）=-0.9+1.25i。

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

其中：系統(tǒng)（14）的初值為η1（0）=-1.25+0.45i；η2（0）=1.05 -0.7i，無控制器時的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時間響應(yīng)如圖1 所示。

圖1 無控制器時的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時間響應(yīng)圖Fig.1 Time behaviors of state variables for error systems without controller

取ω=0.1，θ=6，d1=1+i，d2=0.96+0.75i，λ=1，計算可得β=0.85，則0 <β <α，φ1=1.5，φ2=1.38，加控制器后的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時間響應(yīng)如圖2 所示。由定理1 可以得到驅(qū)動系統(tǒng)（13）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）在有限時間內(nèi)達到同步，停息時間T=5.456 s，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的第一個狀態(tài)和第二個狀態(tài)達到同步時的響應(yīng)圖分別如圖3 和4 所示。

圖2 有控制器（3）時的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時間響應(yīng)圖Fig.2 Time behaviors of the state variables for error systems with control（3）

圖3 有控制器（3）時的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)第一個狀態(tài)同步Fig.3 The first state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

圖4 有控制器（3）時的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)第二個狀態(tài)同步Fig.4 The second state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

5 結(jié)論

本文研究了一類依狀態(tài)切換的分數(shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過構(gòu)建復(fù)值雜合控制器和非分離的方法，得到了此類復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步準則和停制時間的估值。本文所得結(jié)果豐富和發(fā)展了現(xiàn)有的分數(shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制結(jié)果。最后，本文通過數(shù)值仿真模擬，驗證了所得理論結(jié)果的有效性。

在今后的研究工作中，我們將繼續(xù)考慮帶時滯的此類系統(tǒng)，并通過設(shè)計相關(guān)的雜合控制器來實現(xiàn)其固定時間和預(yù)設(shè)時間同步控制。