秦廣為，謝文科，鄒行健，于濤，謝巧

（1 中南大學 物理學院，長沙 410083）

（2 深圳北理莫斯科大學 材料科學與工程學院，深圳 518172）

0 引言

渦旋光束憑借其獨特的螺旋相位分布和攜帶軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM）的特性，成為目前的研究熱點［1-2］。相較于傳統(tǒng)方法生成的渦旋光束，相干合成渦旋（Coherent Synthetic Vortex，CSV）光束具有輸出功率高、拓撲荷模式可控等優(yōu)點，其在目標轉速遙感、光通信等遠距離傳輸領域具有廣泛的應用前景［3-4］。2021 年，侯天悅等通過相干合成光纖陣列，生成了高功率、快速、模式可切換的疊加態(tài)渦旋光束，并提出可將CSV 光束引入光通信領域［5］；2022 年，于濤等利用相干合成技術生成了±l階拓撲荷的疊加態(tài)渦旋光束，建立了目標轉速遠距離探測模型［6］。但在遠距離大氣探測應用中，由于大氣湍流的存在，CSV 光束會發(fā)生波前畸變而導致光斑畸變和OAM 模式擴展，即光束質量產生劣化，故需對CSV 光束進行自適應光學校正。由于隨機并行梯度下降（Stochastic Parallel Gradient Descent，SPGD）算法具有收斂速度快、收斂精度高等優(yōu)點，被廣泛應用于無波前傳感的自適應光學系統(tǒng)［7］。

SPGD 算法性能優(yōu)劣很大程度上依賴于評價函數選取的準確性，然而由多拓撲荷組成的疊加態(tài)CSV 光束，其光強和相位分布較為復雜，傳統(tǒng)評價函數應用于CSV 光束的質量評價存在困難。例如，斯特列爾比（Strehl Ratio，SR）、桶中功率（Power-in-the-bucket，PIB）被廣泛應用于相干合成光束質量評價，但由于CSV 光束具有中空環(huán)形的光強分布特征，其不能直接用于CSV 光束質量評價［8-9］。光強相關系數、OAM 模式能量占比雖可以應用于CSV 光束質量評價，但以光強相關系數作為評價函數應用于SPGD 波前畸變校正時，因CSV 光束的光強分布會隨傳輸距離變化發(fā)生較大改變，在實際應用中難以獲取真空條件下的光強分布（標準光斑）［10］；以OAM 模式能量占比為評價函數進行波前校正時，由于對CSV 光場進行了螺旋譜分析［11］，導致SPGD 算法收斂時間過長，校正后光束質量難以滿足應用要求。為有效實現基于SPGD 算法的CSV 光束波前畸變SPGD 自適應光學校正，需構建適用于CSV 光束的評價函數。

因此，本文基于CSV 光束傳輸過程中光場分布的角向不變特性，以角向條紋對比度構建了CSV 光束的質量評價函數JD，并結合SPGD 算法進行了波前畸變自適應校正。相較于評價函數光強相關系數和OAM模式能量占比，構建的評價函數JD可以有效提升SPGD 算法的收斂精度和收斂速度，并且在復雜雙環(huán)陣列結構的CSV 光束SPGD 波前畸變校正中仍然有效。

1 CSV 光束傳輸特性及其評價函數

1.1 CSV 光束模型及傳輸特性

如圖1 所示，將N個振幅歸一化的高斯光束以環(huán)形排布在z=0 平面。為相干合成高功率渦旋光束，對該環(huán)形排布的高斯光束陣列施加l0階離散渦旋相位，其光束陣列在任意z處的光振幅［12］為

圖1 N=12，l0=6 時的光束陣列示意圖Fig.1 The schematic diagram of the CSV beam array where N=12，l0=6

式中，R為組束環(huán)半徑，k為波數矢量；(r，φ，z)為距離z處的平面極坐標；是傳輸至距離z處的光斑半徑寬度，ω0為源平面處高斯光束束腰半徑，為共焦參數；R(z)=z+f2/z為z處的曲率半徑；N為子光束數目；θj=2πj/N為第j個高斯光束中心與x軸的夾角；l0為目標拓撲荷。

式中，lp=l0-Np，其中p為任意整數。由式（2）可知，CSV 光束中除存在目標拓撲荷外，還存在拓撲荷數為l0-Np（p≠0）的其它模式，即拓撲荷發(fā)生了擴散，并且各階模式振幅大小正比于所對應拓撲荷階數的貝塞爾函數幅值。其中l(wèi)p階模式振幅為

當目標拓撲荷l0=±N/2 時，CSV 光束中±l0階OAM 模式占比最強，此時光場表達式近似為

1.2 傳統(tǒng)評價函數

為保證SPGD 波前畸變校正的有效性，評價函數不僅要求計算簡便、易于獲取，還應滿足在相位畸變?yōu)榱銜r存在唯一的全局極值［14-15］。分析已有光束質量評價函數應用于CSV 光束的可行性。

1）斯特列爾比

斯特列爾比定義為實際光束的遠場峰值光強與具有同樣功率的理想光束的峰值光強之比［8］，可以表示為

式中，I0(x0，y0)為理想光束的峰值光強大小，I(x0，y0)實際光束的遠場峰值光強，(x0，y0)為峰值光強位置。

SR 不僅可在一定程度上反映光束的能量聚集度，還可以反映光束波前相位誤差的大小。但對于渦旋光束而言，由于其具有空心環(huán)形的強度分布，故難以準確獲得峰值光強位置(x0，y0)。

2）桶中功率

桶中功率表征光束的能量集中度，其定義為在遠場給定尺寸的“桶”中包圍的激光功率占總功率的百分比［9］，即

式中，C為所劃分的“桶”的尺寸大小，I(r，φ)為擾動下的遠場光強分布。由式（2）定義可知，具有相反拓撲荷的渦旋光束光斑尺寸相同，故桶中功率無法直接應用于疊加態(tài)渦旋光束的質量評價。

3）光強相關系數

渦旋光束中模式純凈度與光強相關系數呈正比關系［16］?；诠鈴娤嚓P系數的評價函數定義為［17］

式中，Iid(r，φ)為無湍流傳輸時的遠場光強分布。

由式（7）可知，光強相關系數JC作為評價函數時，需以無湍流時的理想光強分布Iid(r，φ)作為模板函數，用以計算當前光強分布I(r，φ)與Iid(r，φ)的相似性。然而CSV 光束光強分布隨遠場傳輸距離發(fā)生改變，因此在實際應用過程中無湍流傳輸時的遠場光強分布Iid(r，φ)獲取困難。

4）OAM 模式能量占比

依據螺旋諧波分析方法，可將渦旋光場分解為一系列具有不同拓撲荷數的模式疊加［11］，即

式中，al為第l階拓撲荷模式對應的振幅大小，即

對al徑向積分可得

Pl為第l階OAM 模式的強度大小。因此，以±l階OAM 模式能量占比定義的評價函數可表示為

由式（8）～（11）可知，JO獲取過程包含了復雜的積分運算，所需時間較長。

1.3 角向條紋對比度評價函數構建

鑒于上述光束質量評價方法存在模板函數獲取困難、計算時間長等缺陷，不能較好地滿足CSV 光束的質量評價及其實際應用需求。結合CSV 光束傳輸特性，構建光斑角向條紋對比度評價函數。

由式（2）可得，CSV 光束在距離z處的光強分布為

式中與角度有關的因子為

由式（13）可知，CSV 光束光強隨角度呈明暗周期分布，如圖2 所示，其中紅線標注的區(qū)域表示明條紋區(qū)域，黃線標注的區(qū)域表示干涉暗場分布區(qū)域，并且當l0確定時，該周期分布特性僅與幅角φ的變化有關，與傳輸距離無關。

圖2 CSV 光束角向特性Fig.2 The angular characteristic of CSV beam

在SPGD 算法中，所測CSV 光束的光強分布特性可以用像清晰度函數進行描述［18］。因此，在CSV 光束的SPGD 波前畸變自適應校正中，采用角向條紋對比度結合像清晰度函數的方法進行光束質量評價。其中像清晰度函數表示為

式中，基于干涉條紋的角向周期分布規(guī)律構建的模板函數M(r，φ)為

M1、M2分別表示CSV 光束明、暗條紋所在區(qū)域對應的模板函數，其反映了CSV 光束的周期分布特性；α表示明暗干涉條紋區(qū)域選取的角向范圍大小。在SPGD 校正系統(tǒng)中，分別測量明暗條紋區(qū)域的總光強，即可構建角向條紋對比度評價函數為

2 基于JD評價函數的CSV 光束自適應光學校正

仿真參數設置如下：種子光源波長為1 064 nm，子光束束腰半徑ω0=5 mm，陣列半徑R=30 mm；光束的傳輸距離z=1 km，子孔徑數目N=12，大氣結構常數Cn2=1×10-14m-2/3；在MATLAB 仿真過程中，空間采樣分辨率為512×512。

利用隨機相位屏模型模擬大氣湍流所產生的畸變相位。如圖3 所示，將光束傳輸路徑等分為M段，每一段路徑等效為光束通過一個“薄”相位屏。光束從zm平面?zhèn)鬏數絲m+1平面表示［19-20］為

圖3 湍流相位屏傳輸模型Fig.3 Transmission model of atmosphere phase screens

式中，u(r，zm)、u(r，zm+1)分別為傳輸至zm和zm+1平面處的光場；F為傅里葉變換，F-1為傅里葉逆變換；k為光束的波束矢量，kx，ky分別為在x方向和y方向上的空間波數；φ(r，zm)為根據大氣湍流Kolmogorov 譜的功率譜密度函數得到隨機相位分布［21-22］。

2.1 CSV 光束傳輸特性分析

1 km 處CSV 光束的光強分布和OAM 模式能量分布結果如圖4 所示。其中圖4（a）和（c）是無湍流傳輸時的光強分布和OAM 模式分布。由圖4（a）可知，CSV 光束經自由空間傳輸后，由于相鄰子光束之間會產生光場疊加，因而形成12 條隨角度周期性變化的瓣狀干涉條紋，且能量集中分布于瓣狀條紋中心位置。由圖4（c）可知，加載了l0=6 階離散渦旋相位的CSV 光束中主要包含±6 階OAM 模式，其占比之和為0.982。圖4（b）為受到湍流擾動后的光強分布，由于大氣傳輸波前畸變效應，此時的明暗條紋周期分布規(guī)律被破壞，亮條紋的強度亦不均勻。圖4（d）為受湍流擾動后的CSV 光束中各階模式占比分布，此時±6 階OAM 模式能量向鄰近模式發(fā)生擴散，其占比之和下降至0.167。因此，大氣湍流帶來的波前畸變限制了CSV 光束在遙感探測等領域的應用，故需對CSV 光束進行波前畸變校正。

圖4 遠場光強分布和OAM 模式分布Fig.4 Far-field intensity distribution and OAM mode distribution

2.2 角向區(qū)域選取

JD作為評價函數時，選取的明暗條紋角寬度α將影響SPGD 算法性能。當l0=6 時，α的取值范圍為0°～15°。受限于所設空間分辨率大小，α的最小取值間隔為，即1.41°。在Cn2=1×10-14m-2/3的湍流條件下生成200 組湍流相位屏。以1.41°為步長改變α的取值，并在每一α的取值下依據上述湍流相位屏進行相同的200 次校正實驗，由所測平均結果分析α對SPGD 算法性能的影響。

圖5 為200 次校正實驗中JD的平均收斂曲線，當α由1.41°增大至14.1°時，JD收斂極值由0.774 7 遞減至0.471 2，表明α取值越小，JD對于CSV 光束中明暗條紋分布變化越敏感，CSV 光束的質量評價越準確，SPGD 算法的收斂精度越高。SPGD 算法收斂速度隨α變化關系如表1 所示，將收斂步數定義為評價函數由初態(tài)收斂至距極值80%處所經歷的步數。由表1 可知，隨著α增大，計算的所需采樣點數越多，單次迭代所需時間增加的同時收斂步數基本不發(fā)生改變。因此，當增大α時，SPGD 算法的收斂速度下降，可以通過降低α值來有效提升SPGD 算法的收斂速度和收斂精度。后續(xù)實驗中α選取為1.41°。

表1 SPGD 算法收斂速度隨α 變化關系Table 1 Variation of convergence speed with α in SPGD algorithm

圖5 α 取不同值時的JD收斂曲線Fig.5 Convergence curve of JD under different α

2.3 校正結果分析

為研究以JD作為評價函數的SPGD 算法的校正性能，分別選用JO、JC以及JD作為CSV 光束評價函數，結合SPGD 算法進行波前畸變校正，并以校正后的光強分布和±6 階OAM 模式能量占比評價CSV 光束的SPGD 波前畸變校正效果。在Cn2=1×10-14m-2/3的湍流條件下生成200 組湍流相位屏，分別采用三種評價函數進行了相同的200 次重復實驗。

在波前畸變校正實驗中，歸一化后的評價函數隨迭代次數的收斂曲線如圖6 所示。在平均收斂曲線中，校正前JO、JC、JD的取值分別為0.154、0.552、0.575；在校正過程中，三種函數均以單調遞增的方式進行收斂；曲線收斂后的三種評價函數取值分別為0.355、0.851、0.877。比較JO、JC、JD在200 次實驗中收斂極值的波動幅度可知，JO的極值波動幅度為0.606，明顯大于JC的0.239 和JD的0.152，表明采用JO的SPGD 算法穩(wěn)定性差。表2 為采用不同評價函數的SPGD 算法斂速度分析，其中由于JD相較于JC、JO運算更簡便、計算所需采樣點數更少，單次迭代所需時間僅為0.5 ms，相較于JO和JC單次迭代速度分別提升8.2 倍和3.0 倍。計算不同評價函數由初態(tài)收斂至距極值80%處所經歷的步數可知，JO、JC、JD的收斂步數分別為56 步、41 步和36 步；經由MATLAB 計算迭代總時間可知，JD相較于JO、JC收斂速度分別提升12.7 倍和3.4 倍。因此，采用JD作為評價函數可以有效提升SPGD 算法的校正速度。

表2 評價函數收斂速度分析Table 2 Analysis of metric function convergence speed

圖6 JO、JC、JD評價函數的收斂曲線Fig.6 Convergence curve of JO，JC and JD

校正后光強分布和OAM 模式分布如圖7 所示。圖7（a）和（c）為采用JO作為評價函數的校正結果，其中圖7（a）為校正后光強分布，此時光強分布與圖3（b）中校正前光強分布相近似，表明光束的波前相位仍存在較大校正殘差；圖7（d）為校正后OAM 模式分布，以JD評價函數校正后的±6 階OAM 模式能量占比之和由0.167 提升至0.363。圖7（b）、（c）分別為采用JCov、JD作評價函數校正后的光強分布，在圖7（b）、（c）中均可清晰地觀測到干涉條紋的明暗分布成角向周期性分布，同時光強集中分布于瓣狀條紋中心亮斑區(qū)域，表明了JC、JD能夠改善CSV 光束的光強分布。圖7（e）、（f） 分別為采用JC、JD作評價函數校正后的OAM 模式分布，其中JD校正后±6 階OAM 模式能量占比之和為0.229，相較于采用JC的0.224 提升幅度更大，表明JD相較于JC能夠更有效地提升模式純度。

圖7 采用JO、JC、JD作為評價函數的SPGD 波前畸變校正結果Fig.7 The results of SPGD wavefront phase correction using JO，JC and JD as metric function

綜合比較校正后CSV 光束光強分布和OAM 模式能量分布，其中JO能夠顯著提升校正后±6 階OAM 模式能量占比，但其校正后光強分布幾乎沒有得到優(yōu)化，因此以JO作為評價函數的SPGD 算法在波前畸變校正中對于CSV 光束質量改善效果較差；采用JC、JD校正后光束光強分布均存在清晰的干涉條紋分布，但JD校正結果中，±6 階OAM 模式能量占比優(yōu)于JC。因此，以JD作為評價函數的SPGD 算法可以更好地提升CSV光束質量，具有更高的校正精度。

綜上，JD作為評價函數可有效提升SPGD 算法的校正性能，使其具有更高的收斂精度和更快的收斂速度。

2.4 雙環(huán)陣列結構的CSV 光束波前相位校正

在實際應用中，為獲取更高的輸出功率，CSV 光源陣列通常為更加復雜的多環(huán)嵌套結構［5］。為驗證評價函數JD在復雜光源陣列中的有效性，構建了如圖8 所示的雙環(huán)陣列結構CSV 光源，并結合SPGD算法進行波前畸變自適應校正。研究表明，CSV 光束中OAM 模式分布與光源陣列結構填充因子f=ω0/[Rsin(n/N)]相關［23］。因此，為保證雙環(huán)陣列結構的CSV 光束同單環(huán)結構的OAM 模式分布相同，應使內外環(huán)具有相同的填充因子，故將雙環(huán)陣列結構參數設置為：ω01=3 mm，ω02=5 mm，R1=18 mm，R2=30 mm；內外環(huán)均加載6 階拓撲荷的離散渦旋相位。以該光源結構進行1 km 大氣傳輸的仿真結果見圖9。

圖8 雙環(huán)陣列結構示意圖Fig.8 The schematic diagram of dual-ring array

圖9 雙環(huán)陣列CSV 光束的遠場光強分布和OAM 模式分布Fig.9 Far-field intensity distribution and OAM mode distribution of CSV beam with dual-ring array

1 km 處CSV 光束的光強分布和OAM 模式能量分布結果如圖9 所示。圖9（a）、（c）分別為理想條件下的光強分布和OAM 模式分布，此時光強分布具有清晰可見的周期性瓣狀干涉條紋，且能量匯集于瓣狀光斑中心位置，表明了雙環(huán)陣列的CSV 光束光場分布與單環(huán)具有相同的角向周期性。圖9（b）、（d）為受大氣湍流擾動后的光強分布和OAM 模式分布，對比圖9（a）、（c）可知，經過大氣傳輸后，CSV 光束的光強分布角向規(guī)律性消失，明條紋之間相互重疊并成環(huán)形分布，以致角向條紋對比度下降；±6 階OAM 模式能量占比之和由0.982 大幅跌至0.189，±6 階OAM 模式能量向鄰近模式發(fā)生擴散。

雙環(huán)CSV 光束經SPGD 算法校正后光強分布和OAM 模式分布如圖10 所示。其中圖10（a）、（d）為采用JO作為評價函數進行SPGD 波前校正后的結果，對比圖9（b）、（d）可知，JO作為評價函數進行SPGD 波前校正可以有效提升雙環(huán)CSV 光束中±6 階OAM 模式能量占比，但其對于CSV 光束的光強分布幾乎沒有明顯改善。采用JC、JD作為評價函數進行波前相位校正后的光強分布比較結果如圖10（b）、（c）所示，其中CSV 光束光強分布在校正后具有清晰的明暗條紋分布規(guī)律并且能量匯聚于瓣狀光斑中心，因此JC、JD能夠改善CCV光束的光強分布。采用JC、JD進行SPGD 波前校正后的OAM 模式能量分布見圖10（e）、（f），其中采用JC、JD作評價函數進行校正后±6 階OAM 模式能量占比之和分別為0.229、0.238。分析可知，在更加復雜的CSV陣列結構中，采用JD作為評價函數的SPGD 算法仍可有效進行波前畸變校正。

圖10 雙環(huán)陣列CSV 光束波前相位校正結果Fig.10 The results of wavefront phase correction for CSV beam with dual-ring array

3 結論

為提升經過大氣傳輸后的CSV 光束質量，以CSV 光束的傳輸特性為基礎，構建了角向條紋對比度評價函數JD，結合SPGD 算法對CSV 光束的波前畸變進行了校正。仿真結果表明，相較于光強相關系數JC、OAM 模式能量占比JO，以JD作為評價函數的SPGD 算法在過程中具有更高的收斂精度和更快的收斂速度，其在單環(huán)結構CSV 光束波前校正結果中，CSV 光束的角向條紋對比度由0.575 提升至0.877；模式能量占比由0.167 提升至0.229；相較于JO、JC，收斂速度分別提升了12.7 倍和3.4 倍。此外，在復雜雙環(huán)陣列結構的CSV 光束中，以JD作為評價函數的SPGD 算法仍可在CSV 光束的波前畸變自適應校正中有效改善CSV 光束的光強分布以及±6 階OAM 模式能量占比，從而提升CSV 光束質量。所提出的評價函數JD可以較好地滿足CSV 光束的質量評價及其實際應用的需求。