加春燕

（北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，北京 100042）

0 引言

圖像在成像、傳輸、掃描、顯示等過程中，由于攝像機(jī)與物體相對運(yùn)動、系統(tǒng)誤差、畸變、噪聲等各種因素的影響，會不可避免地產(chǎn)生質(zhì)量降級。圖像恢復(fù)就是對降質(zhì)圖像進(jìn)行處理，盡可能提高圖像質(zhì)量。圖像恢復(fù)在交通、軍事、天文、醫(yī)療、人工智能等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1］。

由觀測到的降質(zhì)圖像來重構(gòu)圖像，在數(shù)學(xué)中是一個典型的反問題。由于受到模糊效應(yīng)（如運(yùn)動模糊、散焦模糊）和噪聲（如高斯噪聲、椒鹽噪聲）的干擾，這類問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性往往不能保證，其解通常是不適定的［2］。常用的改進(jìn)辦法是正則化方法，它可以把病態(tài)方程轉(zhuǎn)化為適定性方程來求解，在極小化正則解與理想解差的同時，兼顧圖像的光滑性。目前，在圖像恢復(fù)中應(yīng)用較為廣泛的正則化方法包括Tikhonov正則化方法、總變分（Total Variation，TV）正則化方法等［3］，其中涉及的重要參數(shù)稱為正則化參數(shù)。正則化參數(shù)的作用，主要是控制保真項與光滑項的平衡，如果該參數(shù)過小，則恢復(fù)圖像的光滑性就會很差；但如果該參數(shù)過大，則恢復(fù)圖像會出現(xiàn)過度光滑而失真的問題。因此，正則化參數(shù)的選擇對圖像的恢復(fù)效果有著非常重要的影響。

本文通過分析正則化參數(shù)與圖像先驗信息的關(guān)系，采用無偏預(yù)計風(fēng)險估計方法（Unbiased Predictive Risk Estimation，UPRE）實現(xiàn)正則化參數(shù)的自適應(yīng)選擇，通過數(shù)學(xué)理論證明該方法的可行性，并基于圖像恢復(fù)實驗驗證了該方法的有效性，對于改善圖像恢復(fù)效果具有重要的應(yīng)用價值。

1 正則化參數(shù)在圖像恢復(fù)中的作用

記f為理想的高清圖像，K代表模糊效應(yīng)，η為高斯白噪聲（設(shè)方差為σ2），d是實際觀測到的圖像，則圖像降質(zhì)過程可用數(shù)學(xué)模型來表示

圖像恢復(fù)的目的是從觀測圖像d出發(fā)，借助K和η的某些先驗信息來重構(gòu)圖像，使其逼近理想圖像f。經(jīng)典的TV正則化方法，通過極小化正則函數(shù)來進(jìn)行圖像恢復(fù)

歐拉－拉格朗日方程為

利用式（3），將泛函問題轉(zhuǎn)化為變分問題，有助于數(shù)值解的計算。圖1所示就是不同的正則化參數(shù)代入式（3）計算得到的圖像恢復(fù)結(jié)果。

圖1 不同正則化參數(shù)對應(yīng)的圖像恢復(fù)結(jié)果圖

圖1（a）中實線是理想圖像f，圈線為觀測到的降質(zhì)圖像d。使用TV正則化方法對圖像d進(jìn)行恢復(fù)，當(dāng)正則化參數(shù)α≈0.04，恢復(fù)圖像逼近理想解f（見圖1（b））；當(dāng)α＝0.001，光滑項被抑制，恢復(fù)結(jié)果高度振蕩（見圖1（c））；當(dāng)α≈0.84，光滑項又過度增強(qiáng)，恢復(fù)結(jié)果雖然光滑但遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了真實圖像（見圖1（d））。由此可見，選擇合適的正則化參數(shù)非常重要。

正則化參數(shù)通常憑借主觀經(jīng)驗或大量實驗進(jìn)行人為選取，或者不夠準(zhǔn)確，或者耗時耗力。廣義交互驗證方法（Generalized Cross Validation，GCV）基于統(tǒng)計學(xué)的知識自適應(yīng)選擇正則化參數(shù)，但該方法需要較大數(shù)據(jù)量作為支撐且計算時間較長，因此，有必要探尋一種自適應(yīng)的選擇方法。

2 UPRE方法的理論分析

UPRE方法最初是Mallow在分析線性回歸模型中提出的，后來應(yīng)用于求解反問題和圖像處理。記正則化參數(shù)α對應(yīng)的正則解為fα，希望找到合適的參數(shù)α使得誤差‖fα－f‖最小，然而，由于f未知，可以轉(zhuǎn)而尋求使預(yù)計誤差最小的正則化參數(shù)。

定義預(yù)計誤差pα

pα雖然無法直接計算，但可以通過一定方法估算出來。UPRE方法的原理就是最小化預(yù)計誤差pα的均方范數(shù)，也稱為預(yù)計風(fēng)險。

定義預(yù)計風(fēng)險

定義UPRE函數(shù)

式（6）中，σ2是噪聲η的方差值。假設(shè)正則解fα線性依賴于觀測圖像d，二者關(guān)系表述為fα＝Rαd，其中Rα常被稱為正則化矩陣，對應(yīng)的影響矩陣記為Aα＝KRα，trace（Aα）是計算Aα的跡。

采用“跡定理”（Trace Lemma）證明UPRE函數(shù)的期望與預(yù)計風(fēng)險的期望相同，把求期望運(yùn)算轉(zhuǎn)化為跡運(yùn)算。

設(shè)u∈H，H為一個確定的Hilbert空間，v是離散的高斯白噪聲，其方差為σ2，B是一個有界線性算子，B*為B的伴隨矩陣，則

利用“跡定理”證明

證明過程如下，其中I代表單位矩陣。

由式（9）、式（10）可知，式（8）成立。由此，UPRE函數(shù)的期望與預(yù)計風(fēng)險的期望相同，最小化預(yù)計風(fēng)險便可轉(zhuǎn)化為最小化UPRE函數(shù)。將UPRE函數(shù)U（α）的最小值點稱為最佳正則化參數(shù)，記為α*，則

3 UPRE方法的實驗驗證

UPRE方法要找到UPRE函數(shù)U（α）的全局最小值點，因此不適合采用一些諸如牛頓法的局部優(yōu)化方法。此外，對于特定的正則化方法，如截斷奇異值分解（Truncated Singular Value Decomposition，TSVD）方法，相應(yīng)的U（α）可能會有跳躍點，故涉及導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法也不可行［4］。直接求U（α）的全局最小值點在計算上比較復(fù)雜，但由于α變動較小時相應(yīng)的正則解變動也很小，故只需要計算近似的最小值點。在數(shù)值計算中，通常預(yù)先確定最小值點α*所在的范圍，使問題得到簡化。

實現(xiàn)UPRE方法的一般步驟如下：①分析模糊算子K的譜特點及噪聲η的統(tǒng)計信息，確定α*所在的范圍［αmin，αmax］；②選取適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格剖分αmin＜α1＜…＜αmax，其中第i個正則化參數(shù)取值記為αi（i＝1，2，…，n），網(wǎng)格剖分應(yīng)當(dāng)滿足Δlnαi＝lnαi＋1－由此可知相鄰兩個正則化參數(shù)之間有倍數(shù)關(guān)系，通常網(wǎng)格點不用太多，20個左右為宜；③基于UPRE函數(shù)U（α）的定義式（6），計算各個U（αi）的值；④選取U（αi）中的最小值點作為α*的近似；⑤把α*代入TV正則化方法中進(jìn)行圖像恢復(fù)［5］。

為了驗證UPRE方法的正確性和有效性，對圖2（a）所示的一幅256×256 Px的清晰圖像進(jìn)行運(yùn)動模糊并添加高斯白噪聲（見圖2（b）），之后用UPRE方法迭代得到最佳正則化參數(shù)α*＝0.023，再代入TV正則化方法進(jìn)行圖像恢復(fù)，結(jié)果如圖2（c）所示，既保留了原圖的部分細(xì)節(jié)如面部棱角和頭發(fā)彎曲度等，又具備一定的光滑性。與之形成鮮明對比的是圖2（d）和圖2（e）。圖2（d）正則化參數(shù)α＝0.002，由于α太小導(dǎo)致結(jié)果不光滑；圖2（e）正則化參數(shù)α＝0.23，由于α太大導(dǎo)致結(jié)果過度光滑而細(xì)節(jié)失真。從恢復(fù)效果看，采用UPRE方法得到的最佳正則化參數(shù)，能夠很好地恢復(fù)圖像并提高圖像質(zhì)量。

圖2 采用UPRE方法的圖像恢復(fù)效果及對比圖

4 結(jié)論

針對正則化參數(shù)選擇中過于依賴主觀經(jīng)驗和大量實驗的缺點，提出了一種自適應(yīng)選擇正則化參數(shù)的方法，即UPRE方法。該方法通過最小化UPRE函數(shù)來保證正則解逼近理想解，函數(shù)的最小值點即為最佳正則化參數(shù)。將UPRE方法應(yīng)用到圖像恢復(fù)中，通過數(shù)值實驗驗證了該方法的有效性。UPRE方法得到的最佳正則化參數(shù)能較好地維持圖像保真項與圖像光滑項之間的平衡，增強(qiáng)了恢復(fù)圖像的清晰度和細(xì)節(jié)；因此，UPRE方法有助于改善圖像恢復(fù)效果，能夠在圖像恢復(fù)相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行推廣使用。