李增耀

【摘要】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中一個較難的內(nèi)容，每年高考都會涉及到，通常作為數(shù)學(xué)題目中最難的一部分.對于很多考生而言，圓錐曲線是一個困擾他們的難點，他們只能在第一問中做對，而在第二問中通常只能得到兩三分.學(xué)生和老師需要以高考真題來掌握圓錐曲線的常規(guī)解題方法，以突破這一重要的復(fù)習(xí)備考內(nèi)容.本文以2023年新課標(biāo)二卷的第21題圓錐曲線為基礎(chǔ)，通過三個不同的審題角度，總結(jié)了五種解題方法，并深度剖析了該題目中涉及的一般圓錐曲線壓軸問題的三類解題方法.分析高考真題，通過深入解讀一道題，找到解決其他問題的通用方法和規(guī)律，對研究具有一定意義和價值.在文末，作者通過對比分析三個角度的五種解法，研究它們的優(yōu)劣勢，深入挖掘本質(zhì)，以此激發(fā)廣大教師和學(xué)生對圓錐曲線大題核心方法（如非對稱韋達(dá)定理、齊次化解法和極點極線等方法）的更深理解.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；非對稱韋達(dá)定理；齊次化

1? 高考原題呈現(xiàn)

2023新課標(biāo)Ⅱ卷T21：雙曲線C中的m為坐標(biāo)原點，左焦點為（-25，0），離心率為5.

（1）求C的方程.

（2）記C的左右頂點分別為A1，A2，過點－4，0的直線與C的左右交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上.

2? 多角度地多解法探究

（1）設(shè)雙曲線方程為x2b2=1（a>0，b>0），由焦點坐標(biāo)可知c=25，

則由e=ca=5可得a=2，b=c2－a2=4，雙曲線方程為x216=1.

對第（2）問的解答，可從以下思路著手.

2.1? 思路1：非對稱韋達(dá)定理

方法1? 非對稱韋達(dá)定理之半配湊

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線過的定點為B（－4，0）.

由已知得：直線MN的斜率kMN≠0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my－4，因為雙曲線的漸近線為方程為y=±2x，所以－12.

聯(lián)立x216=1，x=my－4， 得4m2－1y2－32my+48=0，得Δ=64（4m2+3）>0，y1+y2=32m4m2－1，y1y2=484m2－1，

則直線MA1的方程為y=y1x1+2x+2，直線NA2的方程為y=y2x2－2x－2，

聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得：

x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=y2my1－2y1my2－6

=my1y2－2y2my1y2－6y1

=my1y2－2y1+y2+2y1my1y2－6y1（半配湊）

=m·484m2－1－2·32m4m2－1+2y14m2－1－6y1

=－16m4m2－1+2y14m2－1－6y1=－13，

由x+23可得x=－1，即xP=－1，所以，點P在定直線x=－1上.

方法2? 非對稱韋達(dá)定理之和積互換

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線過的定點為B（－4，0）.

由已知得：直線MN的斜率kMN≠0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my－4，且－12.

聯(lián)立x216=1，x=my－4， 得4m2－1y2－32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）>0，y1+y2=32m4m2－1，y1y2=484m2－1，且my1y2=32（y1+y2）（和積互換），

則，直線MA1的方程為y=y1x1+2x+2，直線NA2的方程為y=y2x2－2x－2，

聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得：

x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=y2my1－2y1my2－6

=my1y2－2y2my1y2－6y1=32y1+y2－2y232y1+y2－6y1

=3y1+y2－4y23y1+y2－12y1=3y1－y2－9y1+3y2=－13，

由x+23可得x=－1，即xP=－1，所以，點P在定直線x=－1上.

2.2? 思路2：齊次化處理，不聯(lián)系體系

方法3? 第三定義和非平移齊次化

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線過的定點為B（－4，0）.

由kNA1kNA2=y2（x2+2）y2（x2－2）=y22x22－4=4x22－16x22－4=4—①（第三定義推廣），

設(shè)直線MN的方程為m（x+2）+ny=1（注意直線的形式），

變形曲線方程x216=1為［（x+2）－2］216=1（配湊斜率），

即4（（x+2）－2）2－y2－16=04（x+2）2－16（x+2）－y2=0，

齊次化處理，得4（x+2）2－16（x+2）（m（x+2）+ny）－y2=0，兩邊同除（x+2）2，得

4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，又因為kMA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2），

所以kMA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2）kMA1，kNA1，是方程4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，kMA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2）的兩根，即－k2－16nk+4－16m=0k2+16nk－4+16m=0，所以kMA1kNA1=k1.k2=16m－4.又因為直線MN過B－4，0，所以，m=－12，

所以kMA1kNA1=k1.k2=－12—②

由①②得：kMA1kNA2=－3，即kMA1kNA2=ypxp+2xp－2=xp－2xp+2=－3，解之得xP=－1，所以點P在定直線x=－1上.

方法4? 第三定義和平移齊次化

證明： 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線過的定點為B（－4，0）.

由kMA1kMA2=y1（x1+2）y1（x1－2）=y12x12－4=4x12－16x12－4=4—①（第三定義推廣），

將坐標(biāo)系向右平移兩個單位，得到新的雙曲線為：（x+2）216=1，

設(shè)直線MN在新坐標(biāo)系中得方程為：mx+ny=1，過的定點為B′－6，0，（注意：平移后直線的形式和定點坐標(biāo)變化），變形雙曲線為4（x+2）2－y2－16=04x2+16x－y2=0，齊次化處理，得4x2+16x（mx+ny）－y2=0，兩邊同除x2，得4+16m+nyx2=0，又因為kMA2=y1x1，kNA2=y2x2，所以kMA2，kNA2，是方程4+16m+nyx2=0的兩根，即k2－16nk－4－16m=0，所以kMA2kNA2=k1.k2=－16m－4.又因為直線MN過B′－6，0，所以m=－16，所以kMA2kNA2=k1.k2=－43—②，

由①②得：kMA1kNA2=－3，即kMA1kNA2=ypxp+2xp－2=xp－2xp+2=－3，解之得xP=－1，故點P在定直線x=－1上運動.

2.3? 思路3? 極點極線秒解

方法5? 極點極線秒解方法

在凹四邊形MA1NA2中，直線過得定點B′－6，0對應(yīng)得極線即為點P的軌跡，將B′－6，0的坐標(biāo)帶入得：－4x16=1x=－1.

3? 結(jié)語

文中得思路1得方法是對于圓錐曲線該類型問題的常規(guī)方法.通過本例可知：對于圓錐曲線中得非對稱式子，其解法方法1般包括：半配湊、和積互換等，如：本例中涉及到非對稱式子x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=my1y2－2y2my1y2－6y1的處理，方法一中采用半配湊.即將式子中的分子中的非對稱式子my1y2－2y2my1y2配湊為－2y1+y2+2y1，即得到my1y2－2y2my1y2－6y1=my1y2－2y1+y2+2y1my1y2－6y1，再代入韋達(dá)定理求解.

方法2中采用和積互換.即通過韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積的關(guān)系my1y2=32y1+y2，將非對稱式子中的my1y2替換為32（y1+y2），進(jìn)而轉(zhuǎn)換為對稱式，代入韋達(dá)定理求解.

思路2則更多側(cè)重于題目中涉及的斜率關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線第三定義的性質(zhì)，以兩直線的斜率之積為定值做為解題的切入點，最后采用齊次化的方法求解.方法3中采用非平移齊次化的方法進(jìn)行求解.該方法的核心是：

第1步構(gòu)造出斜率的形式.該過程重在對圓錐曲線的方程進(jìn)行變形，同時巧設(shè)直線方程.如本例中將曲線方程x216=1變形為（x+2）－2216=1即得到：4（（x+2）－2）2－y2－16=04（x+2）2－16（x+2）－y2=0，并設(shè)直線MN的方程為m（x+2）+ny=1.

第2步則是進(jìn)行齊次化：如本例的方法3中，兩邊同除（x+2）2，得4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，進(jìn)而進(jìn)行求解.

在第4種方法中，作者使用了平移齊次化的方法來解答問題.該方法與不使用平移齊次化的方法不同，它在進(jìn)行齊次化之前會對坐標(biāo)軸或圖象進(jìn)行平移，目的是使某個點經(jīng)過平移后，其坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)原點.考生在解題過程中容易出錯的地方是直線所過的定點會對應(yīng)發(fā)生變化，這樣就避免了方法3中相對復(fù)雜的構(gòu)造斜率的過程.

筆者在文中的第3個思路中，著重運用了有關(guān)極點極線的高級知識，以便快速地得出結(jié)果.這正是高考成績的核心所在.再結(jié)合題目要求，按照直曲聯(lián)立等常規(guī)來書寫過程.

總之，筆者經(jīng)過對2023年新課標(biāo)二卷圓錐曲線壓軸題的多種解法深入分析，得出普遍適用、高效的解題方法，專門用于解決類似的圓錐曲線問題.這些非對稱處理思路在處理過程中避免了繁瑣的計算步驟.齊次化地解法是指在本問思路2中采用的解決方法，也稱為不聯(lián)立解法.通過簡化考生長期以來望而生畏的直曲直線與曲線的聯(lián)立過程，可顯著降低計算量，進(jìn)而提高解題效率.思路3利用射影幾何中的極點極線概念，能夠快速得出結(jié)果，有助于考生快速得分，并與常規(guī)解題過程相結(jié)合.總的來說，我希望作者的筆者希望本研究能夠為未來遇到這類問題的師生們提供一些參考.