牛冰潔， 藍(lán)師義

廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，廣西 南寧 530006

隨機(jī)Loewner演變，簡(jiǎn)稱SLE，是由Schramm（2000）研究環(huán)路消除游走與一致生成樹的尺度極限時(shí)引入的一類平面隨機(jī)曲線的連續(xù)增長(zhǎng)過(guò)程.這個(gè)增長(zhǎng)過(guò)程是由驅(qū)動(dòng)項(xiàng)為一個(gè)時(shí)間改變的一維Brownian運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典Loewner 微分方程的解來(lái)描述.該SLE 過(guò)程與統(tǒng)計(jì)力學(xué)中很多離散統(tǒng)計(jì)模型的尺度極限密切相關(guān).Smirnov（2001）證明了三角形格上的臨界滲流探索過(guò)程的尺度收斂于SLE6；Lawler et al.（2002b）猜測(cè)自回避游走尺度收斂于SLE83，Gwynne et al.（2021）證明了Liouville量子重力曲面上這個(gè)收斂性；Chelkak et al.（2012；2015）證明了Ising 模型尺度收斂于SLE3；Smirnov（2007；2010）證明了q= 2 的團(tuán)簇模型尺度收斂于SLE163；Lawler et al.（2004）證明了環(huán)路消除游走尺度收斂于SLE2以及一致生成樹的Peano曲線尺度收斂于SLE8；以及Schramm et al.（2005；2009）證明了調(diào)和探索過(guò)程與離散高斯自由場(chǎng)分別尺度收斂于SLE4等.同時(shí)，SLE 使得Mandelbrot 關(guān)于Brownian 運(yùn)動(dòng)邊界的Hausdorff 維數(shù)的猜測(cè)（Lawler et al.，2001a）與平面Brownian 運(yùn)動(dòng)相交指數(shù)值的決定（Lawler et al.，2001b； Lawler et al.，2001c； Lawler et al.，2002a）等問(wèn)題的解決是它最成功之一.SLE 具有多個(gè)不同的版本，其中最常見的有下面3 種類型：一是通弦SLE，其跡是單連通區(qū)域內(nèi)從一個(gè)邊界點(diǎn)到另一個(gè)邊界點(diǎn)的一條隨機(jī)增長(zhǎng)曲線；二是徑向SLE，其跡是從單連通區(qū)域的一個(gè)邊界點(diǎn)到該區(qū)域一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的一條隨機(jī)增長(zhǎng)曲線；三是偶極SLE，其跡的演化是從單連通區(qū)域的一個(gè)邊界點(diǎn)到不包含該邊界點(diǎn)的一個(gè)邊界弧段.有關(guān)更多SLE 的基本理論與背景知識(shí)可參見（Kager et al.，2004； Lawler 2005； Marshall et al.，2005）.

對(duì)于上半平面內(nèi)通弦SLEκ，基于它所滿足通弦Loewner 微分方程，Beffara（2008）已經(jīng)導(dǎo)出了上半平面內(nèi)通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達(dá)式.本文將研究偶極SLEκ過(guò)程的相應(yīng)問(wèn)題，即偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計(jì).很自然地，可以按照（Beffara，2008）的方法直接討論帶形區(qū)域內(nèi)偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率問(wèn)題，但這并不起作用，主要原因是利用帶形區(qū)域內(nèi)偶極Loewner微分方程導(dǎo)致計(jì)算量太復(fù)雜.然而，我們發(fā)現(xiàn)若能先求出上半平面內(nèi)偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計(jì)；然后，將帶形區(qū)域共形映射到上半平面上，由偶極SLEκ的共形不變性這個(gè)問(wèn)題可以解決.本文的主要結(jié)果如下.

第一，導(dǎo)出上半平面內(nèi)偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計(jì)，即：

定理1 固定0 <κ< 8，假設(shè)γ是上半平面H 內(nèi)從1 到（-∞，0］的偶極SLEκ過(guò)程{ft(z)}的跡.令點(diǎn)z0∈H，α(z0) ∈( 0，π )是z0的幅角，則對(duì)所有ε > 0，當(dāng)κ∈(0，8)時(shí)有下面表達(dá)式

這里B(z0，ε)表示以z0為圓心ε為半徑的圓盤；符號(hào)?表示每一邊都小于或等于某個(gè)常數(shù)乘以另一邊，它在下文的含義相同.

證明定理1 的方法是先給出上半平面偶極SLEκ過(guò)程所滿足的偶極Loewner 微分方程（見引理1），然后，基于該微分方程按照（Beffara，2008）的方法來(lái)討論.更具體地，對(duì)于0 <κ< 8，令{ }ft表示上半平面H內(nèi)從1到（-∞，0］的一個(gè)偶極SLEκ過(guò)程，且它的殼Kt與跡γt的定義分別見文后的式(7)～(8).設(shè)z0為H內(nèi)的某一個(gè)固定點(diǎn)，且δt為z0與殼Kt之間的歐氏距離.應(yīng)用共形變換與Koebe 1/4定理得到δt的一個(gè)估計(jì)式.同時(shí)，把H Kt共形映射到單位圓盤內(nèi)，且將直線R 上相關(guān)的驅(qū)動(dòng)過(guò)程變換成單位圓周上的一個(gè)驅(qū)動(dòng)過(guò)程其中αs為( )0，2π 內(nèi)的一個(gè)擴(kuò)散過(guò)程.對(duì)αs應(yīng)用Girsanov變換并結(jié)合δt的估計(jì)式，可推出跡γ相交于圓盤的概率與αs在區(qū)間(0，2 )π 內(nèi)存活概率是等價(jià)的，由后者的結(jié)果得到式(1)成立.

第二，給出帶形區(qū)域內(nèi)偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計(jì)，即：

其中B(z0，ε)表示Sπ內(nèi)以z0為圓心ε為半徑的圓盤；符號(hào)?的含義如同在定理1.

證明定理2的方法是通過(guò)共形映射將帶形區(qū)域內(nèi)的偶極SLEκ變成上半平面內(nèi)的偶極SLEκ.然后，根據(jù)偶極SLEκ的共形不變性由定理1 的結(jié)果，得到帶形區(qū)域內(nèi)偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率表達(dá)式(2)成立.這將上平面內(nèi)通弦SLEκ過(guò)程相應(yīng)的概率估計(jì)推廣到了偶極SLEκ的情形.

值得指出，雖然證明定理1 與定理2 的方法類似于（Beffara，2008）的技術(shù)，但是，由于所考慮的方程和區(qū)域不同于（Beffara，2008），因此，所涉及的很多細(xì)節(jié)是不一樣的.

1 預(yù)備知識(shí)

簡(jiǎn)要介紹本文涉及的通弦與偶極SLEκ的基本概念，更詳細(xì)的相關(guān)背景知識(shí)可參見（Bauer et al.，2005；Lawler，2005；Kemppainen，2017）等.

1.1 通弦SLEκ

上半平面內(nèi)的通弦SLEκ：令H ?{z∈C ：Imz> 0}表示上半平面，這里C 是復(fù)平面.設(shè)κ> 0是一個(gè)實(shí)參數(shù)，Bt(0 ≤t< +∞)是實(shí)軸R 上從B0= 0 開始的一維標(biāo)準(zhǔn)Brownian 運(yùn)動(dòng).對(duì)任意z∈Hˉ{0}，考慮Loewner微分方程

其中z從上半平面H內(nèi)趨近于0.已經(jīng)知道γ幾乎肯定是一條從原點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的連續(xù)路徑.

任意區(qū)域內(nèi)的通弦SLEκ：假設(shè)D?C 是任意一個(gè)單連通區(qū)域，則Riemann 映射定理給出，存在一個(gè)共形映射?：D→H.設(shè)?t是Loewner方程(3)的解，初始條件為?0(z)=?(z)，z∈D，則過(guò)程{?t：t≥0}稱為在映射?下單連通區(qū)域D內(nèi)的通弦SLEκ.易知?t=gt°?，其中g(shù)t是方程(3)的解.如果γt是過(guò)程{gt}的跡，則過(guò)程{?t}的跡是?-1(γt)，它是D內(nèi)一條從D的一個(gè)邊界點(diǎn)到另一個(gè)邊界點(diǎn)的路徑.

1.2 偶極SLEκ

帶形區(qū)域內(nèi)的偶極SLEκ：考慮帶形區(qū)域Sπ={z∈C ：0 < Imz< π}.則Sπ內(nèi)的偶極SLEκ定義為下面偶極Loewner微分方程的解

已經(jīng)知道，Sπ內(nèi)偶極SLEκ的跡γt是從0到邊界Rπ的一簇隨機(jī)曲線.

注1 Beffara（2008）已經(jīng)給出了通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達(dá)式；在本文將討論偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計(jì)（定理1與定理2）.

2 幾個(gè)引理

其中Bt如同前面是一個(gè)一維的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng).

證明 由Koebe 1/4定理可推出該引理成立，具體可參見推論3.19（Lawler，2005）.證畢

如同前面，設(shè)Bt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Brownian 運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)t= σ{Bs：0 ≤s≤t}是由Brownian 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的濾子.假設(shè)Mt是下面隨機(jī)微分方程的非負(fù)解：

并記λ為它的特征值.則這個(gè)擴(kuò)散過(guò)程Xt在時(shí)間t之前不碰到邊界的概率為

符號(hào)?的含義如同前面.

3 相交概率估計(jì)

上半平面內(nèi)通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達(dá)式已經(jīng)在（Beffara，2008）中給出.在這一節(jié)基于偶極Loewner微分方程(9)并結(jié)合引理1～4，首先給出了定理1的證明.其次，應(yīng)用帶形區(qū)域Sπ與上半平面H 之間的共形變換，由偶極SLEκ共形不變性與定理1的結(jié)果，可以推出定理2成立.

將應(yīng)用引理3 導(dǎo)出滿足方程(19)的αs與滿足方程(20)的αs具有相同分布.所以，下面只需考慮前者就足夠了.

事實(shí)上，根據(jù)方程(19)得

這結(jié)合式(25)與ω0的定義可推出式(2)成立.因此，完成了這個(gè)定理的證明.證畢