吳莎， 吳奎霖

貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 貴州 貴陽 550025

自從Hilbert第16 個問題被提出以來，極限環(huán)個數(shù)的問題就成為平面微分系統(tǒng)定性理論研究的熱點問題之一.我們研究具有小擾動項的多項式可積系統(tǒng)：

其中M(x，y)是對應(yīng)H(x，y)的積分因子.用環(huán)性表示多項式系統(tǒng)在小擾動下分支出的最大極限環(huán)個數(shù).研究Abel積分I(h)孤立零點個數(shù)問題涉及弱化的Hilbert第16問題.系統(tǒng)（1）的后繼函數(shù)可表示為

其中d(h，θ)定義在流的一個橫截線段上，這個流由哈密頓函數(shù)H=h給出.稱Mk(h)為k階Melnikov 函數(shù).未擾可積系統(tǒng)(1)ε=0的周期環(huán)域在擾動下產(chǎn)生極限環(huán)個數(shù)的上界等于d(h，ε)中第一個非零的Melnikov函數(shù)Mk(h)的零點個數(shù).

在文獻(xiàn)（Zoladek， 1994）里，中心在原點的平面二次系統(tǒng)分為以下幾類：

1 預(yù)備知識

我們借助切比雪夫系統(tǒng)性質(zhì)證明主要結(jié)果.首先介紹了切比雪夫系統(tǒng)的定義以及相關(guān)的一些結(jié)論.

定義1 令f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x)是開區(qū)間L?R上的解析函數(shù).

（a）如果任何非平凡線性組合

在L上至多有n- 1個孤立零點，則(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個切比雪夫系統(tǒng)（簡稱，T-系統(tǒng)）.

（b）如果對于任意的k= 1，2，…，n，(f0(x)，f1(x)，…，fk-1(x))是L上的一個切比雪夫系統(tǒng)，則稱(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個完全切比雪夫系統(tǒng)（簡稱， CT-系統(tǒng)）.

（c）如果對于任意的k= 1，2，…，n，所有非平凡線性組合

在L上至多有k- 1 個孤立零點（計算重數(shù)），則稱(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個廣義的完全切比雪夫系統(tǒng)（簡稱， ECT-系統(tǒng)）.

顯然，ECT-系統(tǒng)是CT-系統(tǒng)，反之不成立.ECT-系統(tǒng)考慮零點重數(shù)，但CT-系統(tǒng)不考慮零點重數(shù).下面介紹ECT-系統(tǒng)的一些性質(zhì).

定義2 令f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x)是開區(qū)間L?R 上的解析函數(shù).(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))在x∈L處的連續(xù)朗斯基行列式為

引理1（Borwein et al.， 1995） (f0，f1，…，fn-1)是L上的一個ECT-系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的k=0，1，…，n- 1，

2 定理1的證明

圖1 系統(tǒng)（3）的局部相圖Fig.1 The local phase diagram of system （3）

其中

接下來借助數(shù)學(xué)軟件來證明以下引理.

通過計算我們知道：ψ0(0)是ψ0(v)在(0，1)上的最大值；當(dāng)v≈0.570 0 時，ψ1(v)在(0，1)上有最小值7.399 3 × 1021；對于ψ2(v)，由Sturm定理可知其在(0，34 - 1)上沒有零點.所以，對于任意u∈(0，34 -1)，3 個朗斯基行列式W[L0(v，z)，L1(v，z)，L2(v，z)]，W[L1(v，z)，L2(v，z)]，W[L2(v，z)]在(0，34 - 1)上無零點.從而可知{?0(v)，?1(v)，?2(v)}是開區(qū)間(0，34 - 1)上的一個ECT-系統(tǒng).

定理1的證明 由引理2，引理4和引理5可得定理1.