文／陳俊

從“數(shù)”上看，二次函數(shù)是研究最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。我們常用它來研究最大面積、最大利潤、最小能耗等數(shù)學(xué)問題。從“形”上看，二次函數(shù)的圖像是拋物線——人們常見的曲線之一，拱橋、隧道、美麗的噴泉、鉛球的投擲、跳遠、跨欄等都與拋物線有關(guān)。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第20頁習(xí)題第9 題：怎樣平移函數(shù)y=-x2的圖像，可以得到函數(shù)y=-x2-8x-7的圖像？

【解析】二次項系數(shù)a相同的情況下，二次函數(shù)圖像的平移，其實質(zhì)就是頂點的平移。因此，解決這個問題的關(guān)鍵就是要抓住一個關(guān)鍵點——頂點。

函數(shù)y=-x2的頂點是（0，0），函數(shù)y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9的頂點是（-4，9）。

因為點（0，0）先向左平移4 個單位長度，再向上平移9 個單位長度，可得到點（-4，9），所以函數(shù)y=-x2的圖像也同樣先向左平移4個單位長度，再向上平移9個單位長度，可得到函數(shù)y=-x2-8x-7 的圖像。

利用二次函數(shù)表達式確定頂點，通過頂點的平移，可以確定二次函數(shù)圖像的平移。反之，利用二次函數(shù)圖像的平移，可以確定頂點的平移，從而確定平移后的函數(shù)表達式。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第37頁復(fù)習(xí)鞏固第14 題：把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向下平移1 個單位長度，再向左平移5 個單位長度后，所得的拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，0）。寫出原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式。

【解析】二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，說明頂點也發(fā)生了同樣的平移。我們將平移后得到的頂點坐標(biāo)（-2，0）先向上平移1 個單位長度，再向右平移5 個單位長度，就可以反向平移到變化前的位置（3，1）。由頂點式就可以寫出原來的二次函數(shù)表達式：y=（x-3）2+1=x2-6x+10。

我們通過教材上的這兩個問題，可以知道：二次項系數(shù)a相同的情況下，二次函數(shù)圖像的平移，其實質(zhì)就是頂點的平移。緊扣這個關(guān)鍵點，抓住本質(zhì)，在解決更復(fù)雜的二次函數(shù)平移問題時，就會有思路和方法了。

（2023·浙江溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m 的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線。當(dāng)球飛行的水平距離為6m 時，球達到最高點，此時球離地面3m。已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。

（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）。

（2）對本次訓(xùn)練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？

【解析】（1）拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，3），則我們可以設(shè)拋物線表達式為y=a（x-2）2+3。

∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門。

函數(shù)圖像是由點構(gòu)成的。函數(shù)圖像位置的變化，實質(zhì)就是圖像上點的位置的變化。因此，同學(xué)們可以通過研究點的位置變換與其坐標(biāo)的變化，來研究函數(shù)圖像的變換及其表達式的變化。