陳軍勇

(浙江科技學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

基于網(wǎng)絡(luò)通信約束、信息量化與無線傳輸?shù)南到y(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與濾波是無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSN)、網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(NCS)等網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)應(yīng)用中的共有基礎(chǔ)性問題[1-3]。通常，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與濾波作為整個網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的基礎(chǔ)部分，其往往有嚴(yán)格的實(shí)時(因果)性要求，甚至要求具備零延遲特性即每步的信源量化、編碼、傳輸、解碼與估計(jì)過程在一個時間步長內(nèi)完成，這對整個系統(tǒng)的運(yùn)行性能與穩(wěn)定性起著關(guān)鍵性作用[4-5]。

針對一般性的馬爾可夫信源實(shí)時編碼與估計(jì)問題，Witsenhausen 和Walrand 等[6-7]較早地研究了其分別在無噪信道和有噪信道帶無噪反饋環(huán)境下實(shí)時傳輸?shù)木幋a器與解碼器設(shè)計(jì)問題，建立了最優(yōu)編碼器與解碼器的一些基本結(jié)構(gòu)特征。進(jìn)一步，Teneketzis 和Mahajan[8-9]研究了有噪信道且無反饋信息的馬爾可夫信源實(shí)時傳輸最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，確立了有限時間平均失真測度最小化的最優(yōu)實(shí)時編碼與解碼結(jié)構(gòu)策略，同時提供了一種研究各種實(shí)時傳輸變體問題的統(tǒng)一方法。

對于線性動態(tài)系統(tǒng)的實(shí)時編碼與估計(jì)問題，Nair 和Evans[10]證明基于編碼觀測信息的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)問題可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為馬爾可夫信源的最優(yōu)重構(gòu)問題，然而其并沒有提供具體的實(shí)現(xiàn)方案。此外，Nayyar 和Teneketzis[11]研究了多端通信系統(tǒng)的最優(yōu)實(shí)時編碼與解碼函數(shù)設(shè)計(jì)問題，利用編解碼兩端的共有信息獲得了時不變域的有限維充分統(tǒng)計(jì)量。Yüksel[12]針對部分觀測馬爾可夫信源的最優(yōu)因果編碼問題，證明了點(diǎn)對點(diǎn)通信下的估計(jì)-量化分離原理，但在多端通信系統(tǒng)中一般不存在類似的分離原理。

當(dāng)前大部分相關(guān)文獻(xiàn)研究了實(shí)時編碼與估計(jì)系統(tǒng)的編解碼理論最優(yōu)結(jié)構(gòu)問題，但多數(shù)都沒有提供具體的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)方案。由于系統(tǒng)的實(shí)時性限制和量化的非線性操作，其全局最優(yōu)實(shí)現(xiàn)方案一般難以找到。針對線性動態(tài)系統(tǒng)，Msechu 等[13]基于狀態(tài)預(yù)測分布的高斯近似，提出了一種分布式量化卡爾曼濾波算法，但其實(shí)現(xiàn)方案要求消息廣播通道的存在，且缺乏編解碼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性評估?；陬愃频母咚狗植冀?，Leong 等[14]建立了多傳感器觀測下的線性量化濾波方案，且證明了算法在高率量化下的穩(wěn)定性。近年，Stavrou 等[5]基于信息論導(dǎo)出了向量高斯-馬爾可夫信源零延遲編碼與估計(jì)的率失真性能上下界，且分析了點(diǎn)陣量化結(jié)合無記憶熵編碼實(shí)現(xiàn)方案的率失真性能。

正如文獻(xiàn)[12]所指出，對于動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)實(shí)時編碼與估計(jì)問題，當(dāng)前關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)時編碼與估計(jì)的具體設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方案，因此其也是本文的研究重點(diǎn)。本文主要針對線性離散動態(tài)系統(tǒng)，分析和簡化了最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)的等效形式，并基于向量Lloyd-Max 量化原理和量化信源預(yù)測分布的高斯近似，設(shè)計(jì)了遞推形式的動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)算法，其中采用雙邊同步器利用發(fā)送端和接收端的共有信息實(shí)現(xiàn)了編解碼操作的同步。本文主要貢獻(xiàn)在于對最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)作出了一定優(yōu)化，并提出了對應(yīng)的實(shí)現(xiàn)方案與實(shí)現(xiàn)算法，仿真結(jié)果表明優(yōu)于現(xiàn)有方案。最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)的簡化以及所提出實(shí)現(xiàn)方案的遞推運(yùn)行特性，可使網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)節(jié)省大量存儲空間并降低計(jì)算復(fù)雜度，這有利于保證系統(tǒng)的實(shí)時性和有效性，促進(jìn)其在智能信息領(lǐng)域中的潛在應(yīng)用。

1 問題描述

考慮圖1 所示的網(wǎng)絡(luò)化實(shí)時狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)，其中動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)由傳感器進(jìn)行實(shí)時觀測，然后測量信息(集)通過一定方式的量化與編碼，并經(jīng)由無噪聲無線數(shù)字信道發(fā)送至遠(yuǎn)程接收端，然后解碼并估計(jì)出動態(tài)系統(tǒng)的實(shí)時狀態(tài)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化實(shí)時狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)

本文考慮如下所示的線性離散動態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和觀測方程描述為:

式中:系統(tǒng)狀態(tài)Xk∈?p，初始狀態(tài)X0～N(x0，M0)，系統(tǒng)矩陣A∈?p×p，驅(qū)動噪聲Uk∈?p為獨(dú)立零均值高斯隨機(jī)序列，其協(xié)方差矩陣為Q。傳感器觀測Yk∈?q，觀測矩陣H∈?q×p，觀測噪聲Vk∈?q為獨(dú)立零均值高斯序列，其協(xié)方差矩陣為C。另外，{Uk，Vk}相互獨(dú)立，且(A，H)可測。

本文要求網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中量化編碼與解碼估計(jì)過程具有嚴(yán)格的實(shí)時性，即整個處理過程在一個時間步長內(nèi)完成。設(shè)網(wǎng)絡(luò)通道傳輸比特率為R位/bits，定義二進(jìn)制量化輸出為Zk∈? ＝{0，1，…，2R-1}。不失一般性，對于發(fā)送端，在任意k≥1 時刻，其實(shí)時量化輸出Zk可用如下量化函數(shù)表示，即:

式中:Fk(·)為實(shí)時量化函數(shù)，Y1:k＝{Y1，Y2，…，Yk}，Z1:k＝{Z1，Z2，…，Zk}。對于接收端，在每個時刻k，在保證實(shí)時性的前提下，解碼/估計(jì)器可利用當(dāng)前接收到的全部量化輸出作出對當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)Xk的最優(yōu)估計(jì)，即:

式中:Sk(·)為實(shí)時估計(jì)函數(shù)。

我們采用均方誤差(MSE)作為估計(jì)性能準(zhǔn)則，定義K個時刻的估計(jì)MSE 之和為:

在本文中，我們主要研究如何設(shè)計(jì)最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)器，以極小化均方誤差D(K)。注意到式(2)和式(3)所示的量化與估計(jì)函數(shù)要求發(fā)送端和接收端存儲過去的所有觀測數(shù)據(jù)或量化數(shù)據(jù)。對于資源受限的傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)K較大或無限時，這將帶來嚴(yán)重的存儲負(fù)擔(dān)，使得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)變得非常困難或不可實(shí)現(xiàn)。

針對上述問題，在保證估計(jì)性能最優(yōu)化以及算法容易實(shí)現(xiàn)的前提下，本文首先需要對原始的實(shí)時量化與估計(jì)方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換和優(yōu)化，然后研究具體的實(shí)時量化與估計(jì)算法，并對其估計(jì)性能進(jìn)行分析和評估。

2 量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

本節(jié)討論在沒有任何估計(jì)性能損失的情況下，給出簡化的最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)。

對于系統(tǒng)模型，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波理論[15]，定義:

其分別為基于未量化觀測Y1:k對狀態(tài)Xk的最優(yōu)MSE 估計(jì)和對應(yīng)的誤差協(xié)方差陣。

根據(jù)估計(jì)-量化分離原理[12]，本文優(yōu)化問題可以等效轉(zhuǎn)換為對標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)量化與重構(gòu)問題，且代價(jià)函數(shù)式(4)可重寫為:

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波理論[15]，定義:

其分別表示基于未量化觀測Y1:k-1對Xk的最優(yōu)MSE 預(yù)測估計(jì)和對應(yīng)的預(yù)測誤差協(xié)方差陣。同時，Mk滿足如下黎卡提方程:

式中:增益矩陣函數(shù)G(M)定義為:

Mk的收斂值M∞可通過求解如下漸近矩陣方程得到，即:

上述式(14)、式(15)和式(16)雖然給出了等效的最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)，但要獲得具體的實(shí)時量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案并不容易。由于量化與估計(jì)操作的高度非線性，精確評估條件概率測度p(｜Z1:k-1)非常困難。因此，常用方式是作一定的分布近似，例如近似為高斯分布。由于高斯分布統(tǒng)計(jì)特性僅由均值和協(xié)方差描述，因此更容易尋求具體的實(shí)時量化與估計(jì)算法，且量化與估計(jì)操作只需額外存儲有限個信息量，這使得整個網(wǎng)絡(luò)化估計(jì)系統(tǒng)更易實(shí)現(xiàn)。

3 動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)

本節(jié)首先介紹標(biāo)量Lloyd-Max 量化器的基本原理，并導(dǎo)出高斯信源的量化基本特性。然后，基于標(biāo)量Lloyd-Max 量化特性并在p(｜Z1:k-1)的高斯分布近似下，給出一種向量狀態(tài)實(shí)時動態(tài)Lloyd-Max量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案。

3.1 標(biāo)量Lloyd-Max 量化器

Lloyd-Max 量化器[16-17]是一種最小均方失真量化器。對于給定分布的連續(xù)隨機(jī)信源x～p(x)，量化比特率為r位，量化規(guī)則如圖2 所示，則量化輸出:

圖2 量化器結(jié)構(gòu)圖

Lloyd-Max 量化器以分區(qū)質(zhì)心為重構(gòu)值，相鄰重構(gòu)值的中點(diǎn)為閾值，即重構(gòu)值:

若隨機(jī)信源x服從高斯分布，不失一般性，設(shè)x～N(0，1)，其概率密度函數(shù)用φ(x)表示，則易得:

且條件方差

3.2 動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案

上節(jié)導(dǎo)出了標(biāo)量高斯信源Lloyd-Max 量化器的一些基本特性，本節(jié)給出向量系統(tǒng)動態(tài)Lloyd-Max量化與估計(jì)的實(shí)時在線更新原理與遞推實(shí)現(xiàn)方案。

根據(jù)貝葉斯最優(yōu)估計(jì)原理[15]，有:

且估計(jì)誤差協(xié)方差陣為:

量化誤差協(xié)方差陣為:

同理，根據(jù)估計(jì)-量化分離原理[12]，可知:

為實(shí)現(xiàn)實(shí)時量化、編碼與估計(jì)，系統(tǒng)運(yùn)行時必須同步編碼器與解碼器。根據(jù)前述最優(yōu)實(shí)時量化結(jié)構(gòu)式(14)和式(15)，在任意時刻k，發(fā)送端和接收端可以基于過去的共有信息Z1:k-1得到編碼器與解碼器的同步規(guī)則。對于向量Lloyd-Max 量化器，我們需要獲得量化信源預(yù)測分布p(｜Z1:k-1)?；诖耍覀兲岢鰣D3 所示的動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案。在任意時刻k，首先運(yùn)行標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器得到狀態(tài)估計(jì)，然后其經(jīng)向量Lloyd-Max 量化與編碼并發(fā)送到接收端，以解碼并生成最終的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。注意其中在發(fā)送端和接收端分別設(shè)置了同步器(雙邊同步器)，兩者均基于過去的共有信息Z1:k-1獲得一致的預(yù)測分布p(｜Z1:k-1)，以設(shè)計(jì)一致的向量Lloyd-Max 量化、編碼與解碼規(guī)則。

圖3 動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案

基于圖3 所給出的實(shí)現(xiàn)方案，下面推導(dǎo)具體的向量Lloyd-Max 量化與估計(jì)及同步算法。如前所述，由于量化與估計(jì)操作的高度非線性，同步器精確實(shí)時評估p(｜Z1:k-1)非常困難，計(jì)算量相當(dāng)大，不便于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。因此，根據(jù)高斯-馬爾可夫關(guān)系式(12)，我們可采用如下高斯分布近似，即:

相似的高斯近似參見文獻(xiàn)[13-14]，數(shù)值結(jié)果顯示該類近似具有較高的準(zhǔn)確度和有效性，尤其對于高比特率量化，此時量化誤差協(xié)方差陣Φk-1趨近于零，預(yù)測分布p(｜Z1:k-1)主要由高斯驅(qū)動噪聲Δk決定。

前面我們給出了標(biāo)量Lloyd-Max 量化器的一些基本特征，而對于向量源的量化，我們需要作一定變換。對任意時刻k，基于前面的高斯分布近似，在給定Z1:k-1下信源為多維相關(guān)高斯分布，因此根據(jù)最優(yōu)向量量化原理[18]，可對其先作線性變換使其轉(zhuǎn)換為分量獨(dú)立高斯分布源，即:

分別采用p個獨(dú)立的標(biāo)量Lloyd-Max 量化器，其中(n)和(n)分別表示向量和的第n個分量。需要注意的是，在給定的量化比特率R位下，在的各分量之間存在一個最優(yōu)量化比特分配方案以使總的量化均方誤差最小。設(shè)rk(n)為分量(n)的量化比特率，則有。根據(jù)文獻(xiàn)[18]，最優(yōu)量化比特率滿足如下條件，即:

接著尋找標(biāo)準(zhǔn)差最高的分量分配第二位，并按照式(34)進(jìn)行修正，如此循環(huán)直至所有比特分配完畢。

由于系統(tǒng)中共存在p個獨(dú)立的標(biāo)量Lloyd-Max量化器，因此整個量化輸出可表示為:

在任意時刻k給定Z1:k-1下，當(dāng)接收端收到量化輸出Zk，首先可根據(jù)式(20)和式(21)對歸一化分量進(jìn)行估計(jì)，對(n)的最優(yōu)MSE 估計(jì)為:

且條件方差:

且條件方差:

且條件協(xié)方差矩陣:

式中:Cov(·)表示協(xié)方差陣。

最后，根據(jù)式(22)、式(28)和式(42)，對Xk的最優(yōu)MSE 估計(jì)為":

且由量化誤差協(xié)方差陣和式，有:

又由式(25)即可得估計(jì)誤差協(xié)方差陣:

綜上，式(44)和式(46)給出了關(guān)于Xk的實(shí)時最優(yōu)MSE 估計(jì)及誤差協(xié)方差陣的最終表示形式。

3.3 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方案分析

對于本文提出的動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案，整個系統(tǒng)運(yùn)行過程由卡爾曼濾波、線性變換、比特分配、歸一化、量化/編碼、無線傳輸、解碼/估計(jì)組成。由于對預(yù)測分布p(｜Z1:k-1)的高斯近似即式(26)和(27)，其均值Υk和協(xié)方差陣Ωk分別僅由前一時刻的估計(jì)-1和量化誤差協(xié)方差陣Φk-1決定，因此整個動態(tài)量化與估計(jì)過程實(shí)際為一個遞推過程，當(dāng)前時刻的量化與估計(jì)操作僅與前一時刻的量化與估計(jì)結(jié)果有關(guān)，且在當(dāng)前時間步長內(nèi)完成，實(shí)現(xiàn)零步長延遲。量化與估計(jì)過程的遞推運(yùn)行也使整個網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)可以節(jié)省大量存儲空間并減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)，確保系統(tǒng)的實(shí)時性和有效性。

4 仿真結(jié)果與分析

考慮如下的二維目標(biāo)實(shí)時跟蹤系統(tǒng)，其狀態(tài)和觀測方程描述為:

式中:狀態(tài)向量Xk＝(sk，)T，sk和分別為目標(biāo)位置和速度，T為采樣周期，Uk為驅(qū)動噪聲，Yk為傳感器的觀測量，Vk為觀測噪聲。

本文采用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真，假定系統(tǒng)初始狀態(tài)服從X0～N((0，5)T，0.2I2)，采樣周期T＝0.1，驅(qū)動噪聲Uk～N(0，2)，觀測噪聲Vk～N(0，1)。為簡化，本文提出的動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)算法用DLMQE 表示。仿真中全部MSE 結(jié)果通過105次獨(dú)立模擬運(yùn)行平均得到。

圖4 給出了本文提出的DLMQE 算法在兩種量化比特率下的理論和實(shí)際MSE 曲線以及其下界即標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器(KF)的MSE。圖4 中DLMQE和KF 的理論MSE 分別通過計(jì)算tr(＾Mk)的理論平均值和tr(Mk｜k)得到，而實(shí)際MSE 通過仿真過程中狀態(tài)估計(jì)實(shí)際誤差計(jì)算得到。

圖4 DLMQE 理論和實(shí)際MSE 及其下界

從圖4 可以看出，對于理論和實(shí)際MSE 曲線，其均隨時間增加趨近于穩(wěn)定，且量化比特率越大，DLMQE 算法估計(jì)性能亦越好。事實(shí)上，若量化比特率趨近于無窮大，則DLMQE 算法中量化誤差將趨近于零，此時DLMQE 將完全等價(jià)于KF。

圖5 給出了DLMQE 算法在不同量化比特率下的理論和實(shí)際MSE 曲線對比。從圖5 可以看出，理論MSE 曲線和實(shí)際MSE 曲線非常接近，即使對于量化比特率僅為1 位的情形，兩者之間也很好匹配。這反映了本文基于量化信源預(yù)測分布的高斯近似所提出的DLMQE 算法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖5 DLMQE 理論和實(shí)際MSE 對比

進(jìn)一步，為驗(yàn)證本文所提出算法的估計(jì)性能，定義如下漸近平均MSE 失真，即

對于無量化的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器，則有D∞＝M∞｜∞。

表1 給出了不同估計(jì)方案下的D∞數(shù)值計(jì)算結(jié)果。注意為進(jìn)行性能對比，我們還計(jì)算了現(xiàn)有的量化卡爾曼濾波器(QKF)[13-14]的D∞值，其中量化的是觀測新息而不是狀態(tài)估計(jì)量，缺乏最優(yōu)性。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器(KF)的D∞值也一并列出，其與量化比特率無關(guān)，作為所有量化估計(jì)器的D∞下界。

表1 漸近平均MSE 失真D∞比較

從表1 可以看出，隨著量化比特率增加，DLMQE 和QKF 的D∞值均減小，即估計(jì)性能越好。在相同的量化比特率下，本文提出的DLMQE 的D∞值均小于現(xiàn)有的QKF，這說明了DLMQE 算法估計(jì)性能的優(yōu)越性。此外，與圖5 中的理論和實(shí)際MSE曲線對比結(jié)果類似，從表1 中的數(shù)值結(jié)果亦可以看出D∞的理論值和實(shí)際值非常接近，即使對于低比特率區(qū)域。這進(jìn)一步證實(shí)了對量化信源預(yù)測分布進(jìn)行高斯近似的有效性和準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

本文研究了網(wǎng)絡(luò)化線性離散動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)問題。根據(jù)估計(jì)-量化分離原理，原優(yōu)化問題可以等效轉(zhuǎn)換為一階高斯-馬爾可夫信源的最優(yōu)量化與重構(gòu)問題，進(jìn)而分析了最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)的等效簡化形式。然后，基于Lloyd-Max量化原理和量化信源預(yù)測分布的高斯近似，設(shè)計(jì)了遞推形式的向量動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)實(shí)現(xiàn)方案，其中采用雙邊同步器利用發(fā)送端和接收端的共有信息實(shí)現(xiàn)了編解碼操作的同步。最優(yōu)實(shí)時量化與估計(jì)結(jié)構(gòu)的簡化以及方案實(shí)現(xiàn)過程的遞推運(yùn)行，使系統(tǒng)可以節(jié)省大量存儲空間并降低計(jì)算復(fù)雜度，有利于保證系統(tǒng)的實(shí)時性和有效性。MATLAB 仿真結(jié)果表明，本文提出的動態(tài)Lloyd-Max 量化與估計(jì)算法(DLMQE)估計(jì)性能優(yōu)于現(xiàn)有的量化卡爾曼濾波器(QKF)，且即使對于較低的量化比特率區(qū)域，DLMQE 算法依然有效。