朱迎谷，張定華，涂紹平，宋俊輝

（上海中車艾森迪海洋裝備有限公司，上海 201306）

0 引言

遙控水下機(jī)器人（remotely operated vehicle， ROV）是從事水下科考、資源開采和打撈救援的必備工具之一，通常要求具有可靠的穩(wěn)定性和適應(yīng)不同場(chǎng)景的水下作業(yè)能力。傳統(tǒng)水下作業(yè)機(jī)器人采用遠(yuǎn)程遙控方式進(jìn)行操作，作業(yè)成本高但效率低下。為此，需要提高水下機(jī)器人自動(dòng)化和智能化水平［1］。

水下機(jī)器人作業(yè)環(huán)境復(fù)雜，不確定因素多，導(dǎo)致難以通過精確數(shù)學(xué)建模來描述其受力情況和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。隨著搭載工具的不同，水下機(jī)器人布局、重心位置及浮心位置等均會(huì)發(fā)生改變，且推進(jìn)器性能偏差或者故障都會(huì)導(dǎo)致水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)耦合特性發(fā)生變化，造成其操作困難或者存在被損壞的風(fēng)險(xiǎn)［2］。對(duì)此，圍繞提高水下機(jī)器人安全性、可靠性、控制魯棒性［3］和人機(jī)協(xié)同操控性能［4］，最終實(shí)現(xiàn)全自主水下作業(yè)［5］目標(biāo)，學(xué)者們提出了眾多適用于不同海況、不同作業(yè)任務(wù)需求的ROV控制算法，比如比例-積分-微分（proportional integral derivative，PID）控制算法、模糊控制算法［6］、模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control， MPC）算法［7］、基于視覺定位反饋的伺服控制算法［8］和非線性魯棒控制算法［9］等。其中，PID控制算法應(yīng)用廣泛、性能穩(wěn)定、魯棒性高，但難以適應(yīng)復(fù)雜工況或在非線性動(dòng)態(tài)情況下表現(xiàn)較差。隨著MPC算法和數(shù)值優(yōu)化算法的進(jìn)一步發(fā)展，具備自適應(yīng)功能的MPC算法成為研究熱點(diǎn)之一［10］。

目前的研究成果主要集中在假定ROV動(dòng)態(tài)過程可以通過線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上［11］，且MPC多采用直接求解方法，控制指令超出了實(shí)際水下機(jī)器人執(zhí)行機(jī)構(gòu)工作能力，或者采用復(fù)雜的優(yōu)化求解算法，但算法執(zhí)行的實(shí)時(shí)性差［7］。為此，本文提出一種考慮水下機(jī)器人典型非線性特性的在線模型辨識(shí)方法，解決了傳統(tǒng)辨識(shí)方法難以應(yīng)對(duì)模型強(qiáng)非線性特性的問題；推導(dǎo)了基于所辨識(shí)模型的多維預(yù)測(cè)控制算法，并通過將控制算法應(yīng)用在仿真模型上，驗(yàn)證了該算法的有效性和先進(jìn)性。

1 水下機(jī)器人數(shù)學(xué)模型

在推導(dǎo)建立水下機(jī)器人數(shù)學(xué)模型之前，先定義地球坐標(biāo)系和水下機(jī)器人坐標(biāo)系，如圖1 所示。圖中，地球坐標(biāo)系原點(diǎn)OE為任意一點(diǎn)位置，機(jī)器人坐標(biāo)系原點(diǎn)OB與水下機(jī)器人重心位置重合。

圖1 坐標(biāo)系定義Fig.1 Definition of coordinate systems

通過分析機(jī)器人受力和運(yùn)動(dòng)過程，建立水下機(jī)器人六自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

式中：η——水下機(jī)器人在地球坐標(biāo)系下位置關(guān)系，包括XE、YE和ZE軸上的位置（x、y和z）、滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ和偏航角Ψ，η=[x y z φ θ ψ]T；J(η) ——從機(jī)器人坐標(biāo)系向地球坐標(biāo)系變換的變換矩陣；V——水下機(jī)器人在機(jī)器人坐標(biāo)系XB軸、YB軸、ZB軸上的速度變量，包括線速度變量（u、v和w）和角速度變量（p、q和r），V=[u v w p q r]T；RB，E——機(jī)器人坐標(biāo)系內(nèi)的線速度對(duì)地球坐標(biāo)系內(nèi)線速度的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；T——機(jī)器人坐標(biāo)系內(nèi)的角速度對(duì)地球坐標(biāo)系內(nèi)角速度的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；Q0，3——維數(shù)為（3，3）的二維零矩陣。

在水下機(jī)器人坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)建模原理，建立水下機(jī)器人六自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型：

式中：M—— 慣性矩陣；CRB（V） —— 離心力（Centrifugal）矩陣；CA（V） ——科里奧利力（Coriolis）矩陣；D（V） ——水阻尼矩陣；G（η）——在機(jī)器人坐標(biāo)系內(nèi)水下機(jī)器人在重力和浮力作用下產(chǎn)生的力和力矩矢量；τ——推進(jìn)器在機(jī)器人坐標(biāo)系下作用在水下機(jī)器人本體上的力和力矩矢量；w——外部干擾力矢量。

在實(shí)際應(yīng)用過程中，水下機(jī)器人需要攜帶各種作業(yè)工具和傳感器，其所受的重力和浮力會(huì)隨之發(fā)生改變，且對(duì)應(yīng)的重心和浮心位置也會(huì)偏移原來位置。為了計(jì)算仿真機(jī)器人重心和浮心的改變對(duì)水下機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的影響，建立如下計(jì)算方程：

式中：B——水下機(jī)器人的浮力；m——水下機(jī)器人的質(zhì)量；g——重力加速度；lx、ly和lz——浮心在機(jī)器人坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)位置。

2 混合模型辨識(shí)算法

雖然線性化模型簡(jiǎn)單，便于控制算法分析設(shè)計(jì)［12］，但難以準(zhǔn)確地描述非線性系統(tǒng)在全狀態(tài)空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性［13］。為了提升基于已知模型所設(shè)計(jì)的模型預(yù)測(cè)控制算法應(yīng)對(duì)非線性系統(tǒng)的魯棒性，本文以水下機(jī)器人姿態(tài)穩(wěn)定控制為研究目標(biāo)，提出一種包含被控對(duì)象典型非線性特性和線性特性混合有源自回歸（autoregressive with extra inputs， ARX）模型的辨識(shí)算法。即根據(jù)事先對(duì)被辨識(shí)對(duì)象非線性特性的了解和分析，建立包含典型線性特性和典型非線性特性的待辨識(shí)模型結(jié)構(gòu)，并通過選擇合適參數(shù)辨識(shí)算法得到上述模型參數(shù)，從而提高所辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性。通過分析上述水下機(jī)器人數(shù)學(xué)模型可知，在模型中存在兩類典型非線性的計(jì)算項(xiàng)：水阻力（力矩）和因機(jī)器人重心、浮心位置偏差而產(chǎn)生的恢復(fù)力（力矩）。因此需建立待辨識(shí)的包含線性項(xiàng)和典型非線性項(xiàng)的多輸入多輸出ARX模型：

式中：X——待辨識(shí)模型的線性狀態(tài)矢量；Z——與水阻尼力矩特性相關(guān)的非線性項(xiàng)矢量；U——模型輸入變量；Λ——與機(jī)器人姿態(tài)角度相關(guān)的非線性恢復(fù)力矩項(xiàng)矢量 ；k——當(dāng)前時(shí)刻；k+1 ——當(dāng)前時(shí)刻的下一個(gè)時(shí)刻；na——模型狀態(tài)的階數(shù)；nb——模型輸入的階數(shù)；Ai、Bj——待辨識(shí)模型的狀態(tài)參數(shù)矩陣、輸入?yún)?shù)矩陣，其中i為狀態(tài)參數(shù)矩陣Ai在模型中的階數(shù)，取值范圍1，…，na，j為輸入?yún)?shù)矩陣Bj在模型中的階數(shù)，取值范圍1，…，nb；C、D、E——待辨識(shí)模型的水阻尼力特性參數(shù)矩陣、恢復(fù)力特性參數(shù)矩陣和干擾項(xiàng)矩陣。

式（4）所示模型各量計(jì)算如下：

將單個(gè)多輸入多輸出模型參數(shù)辨識(shí)問題等效為多個(gè)多輸入單輸出的模型參數(shù)辨識(shí)問題，因此采用如式（6）所示帶遺忘因子的遞歸最小二乘辨識(shí)算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。其中，i=1，2，3，表示該算法中包含3個(gè)多輸入單輸出模型。

和h的定義分別如下：

3 基于多維復(fù)合ARX模型的MPC算法

3.1 基于多維復(fù)合ARX模型的狀態(tài)預(yù)測(cè)

根據(jù)第2節(jié)模型辨識(shí)算法得到的包含非線性項(xiàng)的多輸入多輸出ARX模型表達(dá)式，下面推導(dǎo)MPC算法。MPC 控制算法推導(dǎo)通?；诒豢貙?duì)象的已知線性模型，為降低辨識(shí)模型預(yù)測(cè)控制算法的推導(dǎo)難度，假定在模型預(yù)測(cè)時(shí)間范圍l內(nèi)，模型中的非線性項(xiàng)為常量，則模型方程式（4）等效為

式中：Ξ——常量，與水下機(jī)器人角速度、姿態(tài)角相關(guān)，表示被控對(duì)象的非線性特性和未建模干擾項(xiàng)，Ξ=CZ+DΛ+E。

MPC本質(zhì)是在已知模型基礎(chǔ)上，依據(jù)以往na個(gè)時(shí)刻采集到的狀態(tài)信息和以往nb個(gè)時(shí)刻采集到的控制輸入信息，計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻至未來（l-1）個(gè)時(shí)刻的控制輸出，使得預(yù)測(cè)的未來l個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值滿足預(yù)定的控制目標(biāo)。因此，根據(jù)式（7）可以得到該模型的預(yù)測(cè)狀態(tài)計(jì)算方程：

式中：lx——未來第lx時(shí)刻，且0 ＜lx≤l；?(*|k) ——第*時(shí)刻的狀態(tài)值，如果*＞k，則?(*|k)表示未來*時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值，如果*≤k，則?(*|k) =X(*)，即過去*時(shí)刻的已知被控對(duì)象狀態(tài)；?(*|k) —— 第*時(shí)刻的控制輸入值，如果*≥k，則?(*|k)表示未來*時(shí)刻的控制輸入值，需要通過預(yù)測(cè)控制算法計(jì)算得到，如果*＜k，則(*|k) =U(*)，即過去*時(shí)刻的已知控制輸入值；n?a—— 被控對(duì)象的第狀態(tài)時(shí)刻歷史數(shù)據(jù)數(shù)量；n?b—— 輸入歷史數(shù)據(jù)數(shù)量。

為便于后續(xù)控制算法的推導(dǎo)，設(shè)定和為分別大于na和nb，且大于預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度l的常數(shù)，因此式（7）的模型狀態(tài)、輸入數(shù)據(jù)和模型參數(shù)矩陣滿足如下條件：

通過將式（7）中的歷史數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)分離，得到的預(yù)測(cè)方程表達(dá)形式如下：

由式（8）可知，隨著lx逐漸增加，當(dāng)lx＞nb時(shí)，對(duì)應(yīng)中的因此為零；同理，當(dāng)lx＞na時(shí)，對(duì)應(yīng)的X(k-i+l)為零。所以定義如式（8）所示的和假定?和分別大于na和nb且大于l，可以保證式（9）計(jì)算結(jié)構(gòu)形式在0＜lx≤l的計(jì)算范圍內(nèi)具有通用性。下面依據(jù)式（9）以及已知?dú)v史數(shù)據(jù)X(i) （其中i=k，…，k-na+1）和U(i) （其中i=k，…，k-nb+1），分別推導(dǎo)預(yù)測(cè)未來lx(lx=1，2，3)時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)計(jì)算方法。

未來第1時(shí)刻的預(yù)測(cè)，令lx=1，代入式（10），有

未來第2時(shí)刻的預(yù)測(cè)，令lx=2，代入式（10），則

將式（11）代入式（12）可得到

未來第3 時(shí)刻的預(yù)測(cè)，令lx=3 ，代入式（10）可得到

將式（11）和式（12）代入式（14），整理方程后可以得到如下方程：

未來第lx時(shí)刻的預(yù)測(cè)，通過式（11）、式（13）和式（15）可以發(fā)現(xiàn)，狀態(tài)預(yù)測(cè)值可以通過有規(guī)律的迭代關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，因此可以得到如式（16）所示的通用狀態(tài)預(yù)測(cè)方程。

其中：

3.2 模型預(yù)測(cè)控制的直接求解方法

根據(jù)上述機(jī)器人狀態(tài)預(yù)測(cè)計(jì)算公式，將預(yù)測(cè)結(jié)果用方便控制算法求解的矩陣形式表示，并給出基于直接求解的模型預(yù)測(cè)控制算法。

對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)初始化條件如下：

式中：r——式（18）對(duì)應(yīng)向量?的維數(shù)，即式（4）的狀態(tài)維數(shù)，因此r= 3；s—— 式（18）對(duì)應(yīng)向量U的維數(shù)，即式（4）的控制輸入維數(shù)，因此s= 3。

通過將式（10）至式（17）合并，被控對(duì)象未來l個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果可以表示成如下矩陣計(jì)算形式：

其中：

假設(shè)期望的未來l個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)向量為，且預(yù)測(cè)狀態(tài)和期望狀態(tài)一致，即則對(duì)應(yīng)的控制輸入需要滿足如下條件：

3.3 模型預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化求解方法

對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言，控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)往往受到其最大值和最小值的限制，而通過式（20）計(jì)算得到的控制指令未考慮控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的限制，因此計(jì)算結(jié)構(gòu)極容易超出實(shí)際控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力。解決控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)受限問題的方法通常有兩種：

1） 設(shè)計(jì)期望狀態(tài)變化過渡過程，減少期望狀態(tài)與實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)的差距，從而通過式（20）得到比較平滑的控制指令；

2） 構(gòu)建優(yōu)化求解問題，將控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)限制條件轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問題的約束條件。

方法1）求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單，只需要設(shè)計(jì)狀態(tài)過渡過程，并將過渡過程通過期望狀態(tài)引入方程即可，但控制效果嚴(yán)重依賴所設(shè)計(jì)的過渡過程，計(jì)算所得的控制指令是否符合控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)限制要求具有較強(qiáng)的不確定性。方法2）能夠在獲得當(dāng)前估計(jì)模型和狀態(tài)的前提下滿足一定性能指標(biāo)的最優(yōu)控制效果，算法具有更好的通用性和穩(wěn)定的控制輸出效果，但計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算量大，難以滿足控制的實(shí)時(shí)性要求。

為了達(dá)到在算法中既考慮控制受限因素又能提高計(jì)算效率的目的，本文在推導(dǎo)最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，將MPC 最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換成二次規(guī)劃問題，這樣能夠顯著提升仿真計(jì)算效率，滿足算法在線仿真計(jì)算要求。具體算法推導(dǎo)過程如下：

1） 根據(jù)MPC控制目標(biāo)，給出最優(yōu)化求解問題，具體如式（22）所示。

式中：Q——狀態(tài)加權(quán)矩陣。

根據(jù)被控對(duì)象辨識(shí)模型式（4），Q是維數(shù)為3×3的對(duì)角陣。該最優(yōu)控制問題被表示為在控制輸入限制范圍內(nèi)搜尋的最優(yōu)解，使?jié)M足預(yù)測(cè)方程約束的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)指標(biāo)最優(yōu)。

2） 將優(yōu)化指標(biāo)表示成矩陣運(yùn)算形式，如式（23）所示。

3） 將式（19）代入該最優(yōu)控制問題指標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)后得到二次規(guī)劃問題，如式（24）所示。

式中：Ui，min——的最小值；Ui，max——的最大值。

4） 通過采用目前業(yè)界公認(rèn)具有很好計(jì)算效率的算子分割二次規(guī)劃方法（operator splitting quadratic program， OSQP）［14］，能夠快速尋找二次規(guī)劃問題最優(yōu)解，從而實(shí)現(xiàn)在線計(jì)算MPC控制輸出。

4 算法仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所述的模型辨識(shí)算法和基于辨識(shí)模型的預(yù)測(cè)控制算法的有效性，開發(fā)了對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真軟件。通過修改模型方程中的lx、ly和lz所代表的水下機(jī)器人浮心位置，仿真驗(yàn)證辨識(shí)模型和辨識(shí)算法能否準(zhǔn)確描述浮心位置變化對(duì)機(jī)器人非線性狀態(tài)耦合特性的影響；在通過方程和所獲得的考慮水下機(jī)器人非線性特性的模型的基礎(chǔ)上，比對(duì)仿真式（24）和式（21）對(duì)應(yīng)的兩種模型預(yù)測(cè)控制算法，驗(yàn)證本文所提出的控制算法的優(yōu)越性；刪除方程中的非線性項(xiàng)，同樣采用方程對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，得到水下機(jī)器人線性辨識(shí)模型，對(duì)比仿真式（24）和式（21）對(duì)應(yīng)的兩種模型預(yù)測(cè)控制算法，驗(yàn)證本文所提控制算法應(yīng)對(duì)模型誤差的魯棒性。

4.1 線性與非線性模型辨識(shí)仿真對(duì)比分析

辨識(shí)算法仿真條件為：采樣周期為0.1 s，遺忘因子為0.975，na=2，nb=1，對(duì)應(yīng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如圖2所示，其中pe、qe、re分別表示水下機(jī)器人狀態(tài)p、q、r的估計(jì)狀態(tài)。

圖2 考慮非線性特性下的參數(shù)辨識(shí)效果Fig .2 Parameter identification effect considering nonlinear characteristics

由圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）可知，辨識(shí)算法在完成500 步運(yùn)算之后，所有模型參數(shù)基本趨于穩(wěn)定。由圖2（d）可知，基于所辨識(shí)模型參數(shù)和式（4）計(jì)算得到的機(jī)器人估計(jì)狀態(tài)與對(duì)應(yīng)的基于式（2）的機(jī)器人仿真狀態(tài)基本一致，說明該考慮機(jī)器人非線性特性的模型辨識(shí)方法能準(zhǔn)確地描述水下機(jī)器人狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化過程。

為了對(duì)比在待辨識(shí)模型中考慮非線性特性和不考慮非線性特性的模型辨識(shí)效果，刪除式（4）中的非線性項(xiàng)CZ、DΛ和E，得到不考慮非線性特性的待辨識(shí)模型，即線性模型：

同樣，采用式（16）對(duì)式（25）中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。由于式（25）中沒有式（4）對(duì)應(yīng)的非線性計(jì)算項(xiàng)，因此在式（6）中定義的變量和h也需要做如下修改：

即刪除非線性對(duì)應(yīng)的參數(shù)和狀態(tài)。線性模型辨識(shí)結(jié)果如圖3所示。

圖3 不考慮非線性特性下的參數(shù)辨識(shí)效果Fig .3 Parameter identification effect ignoring nonlinear characteristics

由圖3（c）可知，第3 組模型辨識(shí)參數(shù)在計(jì)算到800步時(shí)仍然沒有趨于穩(wěn)定。對(duì)比圖2（b）和圖3（b）對(duì)應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在采用相同辨識(shí)算法式（6）的情況下，線性模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的變動(dòng)幅度要明顯大于考慮非線性模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的。同樣，對(duì)比圖2（d）和圖3（d）可以發(fā)現(xiàn)，在考慮非線性特性的情況下，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)估計(jì)值與水下機(jī)器人狀態(tài)仿真值的跟蹤效果要優(yōu)于不考慮非線性特性情況下的。因此，以上對(duì)比情況表明，在模型中加入被辨識(shí)對(duì)象的典型非線性特性有利于提高模型的辨識(shí)精度。

4.2 不同浮心位置下的模型非線性參數(shù)辨識(shí)

由第2 節(jié)所介紹的辨識(shí)算法設(shè)計(jì)過程可知，為辨識(shí)水下機(jī)器人重心、浮心變化對(duì)模型的影響，在辨識(shí)模型中增加了D參數(shù)矩陣以及與之相對(duì)應(yīng)的Λ=[sinθcosθsin?cosθcos?]T非線性狀態(tài)輸入，因此當(dāng)lz=-0.5、lx=0、ly=0 時(shí)，重心位于浮心正下方0.5 m的位置，對(duì)應(yīng)參數(shù)結(jié)果如下：

D參數(shù)矩陣的第1 行第2 列對(duì)應(yīng)的元素和第2 行第1 列對(duì)應(yīng)的元素明顯大于矩陣中的其他元素，可知水下機(jī)器人的滾轉(zhuǎn)角速度和俯仰角速度更容易受到姿態(tài)影響；而第3行參數(shù)數(shù)值均較小，說明水下機(jī)器人的偏航角速度基本不受其姿態(tài)的影響。辨識(shí)結(jié)果與模型式（3）的建模理論結(jié)果相符。

當(dāng)lz=-0.5、lx=0.2、ly=0.2時(shí)，對(duì)應(yīng)參考結(jié)果如下：

從該參數(shù)矩陣可知，同樣，水下機(jī)器人的滾轉(zhuǎn)角速度主要受cosθsin?和cosθcos?影響，俯仰角速度主要受sinθ和cosθcos?影響，偏航角速度主要受sinθ和cosθsin?影響，與式（3）模型相符。此結(jié)果說明本論文所引入的與機(jī)器人姿態(tài)角相關(guān)的非線性項(xiàng)能夠準(zhǔn)確描述模型參數(shù)變化。

4.3 基于非線性辨識(shí)模型的預(yù)測(cè)控制算法對(duì)比分析

根據(jù)以上模型辨識(shí)結(jié)果和所設(shè)計(jì)的MPC控制算法，采用相同的采樣計(jì)算周期，設(shè)定機(jī)器人初始角速度為［0.5 0.1 -0.1］，設(shè)定期望的角速度為［0 0 0］，預(yù)測(cè)周期為30，控制指令最大、最小值分別為1和-1。分別仿真機(jī)器人模型的開環(huán)狀態(tài)、基于式（20）的MPC 閉環(huán)控制狀態(tài)和基于本論文控制算法的閉環(huán)控制狀態(tài)，對(duì)應(yīng)仿真結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

圖4 基于復(fù)合模型辨識(shí)的預(yù)測(cè)控制效果比較Fig.4 Comparison of MPC performance based on the hybrid model

由圖4可知，兩種基于考慮非線性特性ARX模型的MPC 控制器能夠顯著提高機(jī)器人系統(tǒng)振動(dòng)收斂速度，從而提升系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性；但由于式（20）沒有考慮輸入限制因素，預(yù)測(cè)控制算法給出的控制指令超過了機(jī)器人指令輸入范圍。通過引入基于模型的預(yù)測(cè)控制，能夠明顯抑制機(jī)器人角速度的振蕩，而且通過將MPC求解問題轉(zhuǎn)換成考慮輸入限制的優(yōu)化搜索問題，對(duì)應(yīng)控制指令嚴(yán)格控制在機(jī)器人最大值和最小值之間，控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的MPC控制算法。

4.4 基于線性辨識(shí)模型的預(yù)測(cè)控制算法對(duì)比分析

在不改變其他條件的基礎(chǔ)上，刪除方程非線性項(xiàng)CZ、DΛ和E?；谝陨暇€性模型及其辨識(shí)得到的參數(shù)矩陣，分別根據(jù)式（21）和式（24），仿真兩種模型預(yù)測(cè)控制算法的控制效果，結(jié)果如圖5所示。

由圖5（a）和圖5（b）可知，由于所采用的線性辨識(shí)模型無法準(zhǔn)確描述水下機(jī)器人的非線性耦合特性，所以通過方程辨識(shí)得到的線性模型與水下機(jī)器人非線性仿真模型存在較大的建模誤差，且式（20）給出預(yù)測(cè)控制輸出沒有考慮水下機(jī)器人執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性，因此該控制算法不僅沒有提升機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，甚至還破壞了原有系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而采用本文提出的基于優(yōu)化求解的預(yù)測(cè)控制算法，雖然控制效果不如基于考慮非線性特性的辨識(shí)模型對(duì)應(yīng)控制算法的，但由于其將控制指令始終限制在1和-1之間，仍能夠起到穩(wěn)定系統(tǒng)、優(yōu)化動(dòng)態(tài)特性的作用，控制效果如圖5（c）和5（d）所示。

因此，基于該仿真結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

1） 基于模型的MPC 算法對(duì)模型精度要求高，對(duì)于非線性模型，采用傳統(tǒng)基于線性模型的MPC算法無法達(dá)到穩(wěn)定系統(tǒng)、優(yōu)化動(dòng)態(tài)性能的控制效果；2） 將模型MPC問題轉(zhuǎn)化成考慮輸入范圍的最優(yōu)化求解問題，能夠提高模型MPC算法針對(duì)建模誤差的魯棒性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在建立水下機(jī)器人全狀態(tài)非線性模型基礎(chǔ)上，通過分析模型典型非線性特性因素，建立了包含水下機(jī)器人典型非線性特性的辨識(shí)模型；采用帶遺忘因子的遞歸最小二乘算法實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)的在線辨識(shí)。通過仿真，將本文提出的模型辨識(shí)方法和傳統(tǒng)線性模型辨識(shí)方法進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文所提非線性模型辨識(shí)方法的優(yōu)越性。在辨識(shí)得到的典型非線性特征的多輸入多輸出模型基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步推導(dǎo)建立了多維MPC 算法，通過將MPC 算法求解問題轉(zhuǎn)化成考慮模型輸入限制的最優(yōu)二次規(guī)劃問題，并采用分割二次規(guī)劃算法進(jìn)行最優(yōu)二次規(guī)劃問題求解，提高了該MPC算法執(zhí)行效率，實(shí)現(xiàn)了算法的在線仿真。最后，通過將文中介紹的兩種MPC方法進(jìn)行仿真比較，顯示了本文所提出控制算法在提高被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特性和應(yīng)對(duì)模型誤差等方面的優(yōu)越性。