歐陽(yáng)煜, 夏登科, 楚鵬輝

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院, 上海 200444)

起源于航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)技術(shù)在20 世紀(jì)80 年代起逐步應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域,同時(shí)研究者對(duì)建筑結(jié)構(gòu)的健康檢測(cè)開(kāi)展了大量的理論與應(yīng)用研究[1-3], 這些研究成果對(duì)保障結(jié)構(gòu)安全運(yùn)營(yíng)具有十分重要的意義.目前, 梁中裂紋檢測(cè)和損傷識(shí)別方法大致可以分為局部檢測(cè)技術(shù)和整體檢測(cè)技術(shù)[4].根據(jù)損傷識(shí)別中施加于結(jié)構(gòu)的荷載不同, 可將全局損傷識(shí)別方法劃分為基于靜力響應(yīng)的損傷識(shí)別方法[5-8]、基于動(dòng)力響應(yīng)的損傷識(shí)別方法[9-12]以及基于動(dòng)靜力響應(yīng)的混合測(cè)試損傷識(shí)別[13-14].

隨著測(cè)試設(shè)備與技術(shù)的不斷更新和提高, 基于靜力響應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法逐漸成為運(yùn)用廣泛的全局損傷識(shí)別方法, 具有測(cè)量精度高, 操作技術(shù)簡(jiǎn)單, 成本低等優(yōu)點(diǎn)[15-16].梁結(jié)構(gòu)在服役中可能產(chǎn)生各類(lèi)裂紋, 由于梁正截面強(qiáng)度不足或正應(yīng)力過(guò)大, 將導(dǎo)致梁中產(chǎn)生橫向裂紋,如建筑結(jié)構(gòu)的承重梁和PC 斜拉橋等.近年來(lái)在梁橫向裂紋損傷識(shí)別方面, 基于裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的識(shí)別方法得到了廣泛關(guān)注.Caddemi 等[16-17]將開(kāi)裂紋等效為扭轉(zhuǎn)彈簧, 分別提出了梁中單/多裂紋損傷解析識(shí)別方法.Koo 等[18]和Sun 等[19]提出了懸臂型結(jié)構(gòu)的裂紋損傷識(shí)別方法.而考慮軸力二階效應(yīng), 孟哲等[20]提出了懸臂梁支承及裂紋參數(shù)的識(shí)別方法.考慮裂紋縫隙效應(yīng), 汪德江等[21]和楊驍?shù)萚22]提出了梁中開(kāi)閉裂紋損傷識(shí)別方法.基于裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的構(gòu)造特征, 楊驍?shù)萚8,23]通過(guò)擬合分段線性函數(shù), 提出了懸臂梁的裂紋損傷識(shí)別方法.

利用裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的構(gòu)造特征, 本工作提出了基于撓度測(cè)量的任意邊界條件下Euler-Bernoulli 梁裂紋損傷的靜力識(shí)別方法.首先, 將裂紋等效為單向旋轉(zhuǎn)彈簧, 得到了任意邊界條件下裂紋Euler-Bernoulli 梁靜力彎曲撓度的解析通解; 然后, 證明了裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)為分段三次多項(xiàng)式函數(shù), 且分段函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即為裂紋位置, 分段函數(shù)交點(diǎn)處的斜率改變量與裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度有關(guān), 并在此基礎(chǔ)上提出了利用最小二乘法擬合裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的裂紋損傷識(shí)別方法; 最后, 數(shù)值驗(yàn)證了本工作提出的裂紋損傷識(shí)別方法的適用性和可靠性, 考察了撓度測(cè)量誤差、裂紋位置和深度等對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果的影響.

1 裂紋Euler-Bernoulli 梁的靜力彎曲解析通解

如圖1 所示, 設(shè)長(zhǎng)和高分別為L(zhǎng)和h、抗彎剛度為(EI)0的Euler-Bernoulli 矩形截面梁承受橫向載荷q(x) 的作用, 且在x=xi(i= 1,2,··· ,N) 處存在深度為di的橫向開(kāi)裂紋.將x=xi處的裂紋等效為剛度Ki的扭轉(zhuǎn)彈簧, 則裂紋梁的等效抗彎剛度[16-17,20]為

圖1 裂紋梁Fig.1 Cracked beam

式中:δ(x) 和H(x) 分別為Delta 函數(shù)和Heaviside 函數(shù)[8,17,21]; (EI)e為裂紋梁的等效抗彎剛度; 而裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧剛度[8,17,24]為

在橫向載荷q(x) 作用下Euler-Bernoulli 裂紋梁靜力彎曲撓度w(x) 滿足的控制方程為

而裂紋梁的彎矩和剪力分別為

引入如下無(wú)量綱量和參數(shù),

則無(wú)量綱控制方程為

而無(wú)量綱彎矩m(ξ) 和剪力fS(ξ) 分別為

利用Heaviside 函數(shù)H(ξ) 和Delta 函數(shù)δ(ξ) 的性質(zhì), 可得控制方程式(7) 的通解為

式中:Ci(i=1,2,3,4) 為待定常數(shù); 而Q[i](ξ) 定義為

從而, 無(wú)量綱彎矩m和剪力fS以及裂紋ξ=ξi(i=1,2,··· ,N) 處的彎矩mi分別為

通常, 由梁的4 個(gè)邊界條件可給出待定常數(shù)C1,C2,C3和C4滿足的線性代數(shù)方程

式中: [A]為4×4 矩陣;{C}={C1,C2,C3,C4}T; 而為常矢量.從而得到裂紋梁撓度w(x)的解析解.

2 Euler-Bernoulli 裂紋梁的裂紋誘導(dǎo)弦撓度

對(duì)于無(wú)裂紋的完整梁, 即fi= 0(i= 1,2,··· ,N), 由式(9) 及式(12) 可得無(wú)量綱撓度WI(ξ) 為

若梁在區(qū)間[ξa,ξb]?[0,1]中存在l條裂紋, 分別位于ξ=ξi(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l)處, 則區(qū)間[ξa,ξb]上的裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)WC(ξ)[8,17-18,21]為

式中:WD(ξ) 為裂紋損傷誘導(dǎo)撓度, 定義為WD(ξ)=W(ξ)-WI(ξ).

可見(jiàn), 裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)WC(ξ) 是分段三次代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù).當(dāng)區(qū)間[ξa,ξb]中不存在裂紋, 即fi= 0(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l) 時(shí), 裂紋損傷誘導(dǎo)撓度WD(ξ) 和裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)WC(ξ) 為三次光滑曲線; 當(dāng)區(qū)間[ξa,ξb]中存在l條裂紋, 且mi /= 0(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l) 時(shí), 裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)WC(ξ) 為由l+1 條三次多項(xiàng)式函數(shù)組成的分段函數(shù),且分段函數(shù)曲線的交點(diǎn)即為裂紋位置.同時(shí),WC(ξ) 在裂紋ξ=ξi(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l)處, 裂紋誘導(dǎo)弦撓度WC(ξ) 斜率的改變量即橫截面轉(zhuǎn)角的增量為

可見(jiàn), 若ξ=ξi裂紋處的彎矩mi /=0, 則ξ=ξi處裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度f(wàn)i為

進(jìn)而, 由式(6) 得到裂紋深度di(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l).至此, 建立了開(kāi)閉裂紋損傷識(shí)別的理論依據(jù).

3 基于撓度的裂紋損傷識(shí)別方法

由于裂紋誘導(dǎo)弦撓度WC(ξ) 是由若干三次多項(xiàng)式函數(shù)組成的分段函數(shù), 而每個(gè)分段的三次多項(xiàng)式至少需要確定4 個(gè)常數(shù), 因此每個(gè)分段的三次代數(shù)多項(xiàng)式至少需4 個(gè)撓度測(cè)量值才能唯一確定.為識(shí)別區(qū)間[ξa,ξb]中的裂紋, 初步假定裂紋個(gè)數(shù)為l個(gè), 將區(qū)間[ξa,ξb]分為m≥l+1 個(gè)測(cè)量子區(qū)間, 每個(gè)測(cè)量子區(qū)間內(nèi)給定n≥4 個(gè)撓度測(cè)點(diǎn).則如圖2 所示, 區(qū)間[ξa,ξb]的撓度測(cè)點(diǎn)數(shù)量共M=mn+1, 且記測(cè)量點(diǎn)ζr(r= 1,2,··· ,M) 處的撓度測(cè)量值為, 其中和分別為ζ1=ξa和ζM=ξb處的撓度測(cè)量值和

圖2 梁撓度測(cè)量點(diǎn)ζFig.2 Beam deflection measuring points ζ

在測(cè)量點(diǎn)ζr(r=1,2,··· ,M) 處測(cè)得撓度值后,由式(13)得到完整無(wú)裂紋梁在測(cè)點(diǎn)ζr處的撓度WIr, 進(jìn)而由式(14) 可得到測(cè)量點(diǎn)ζr處誘導(dǎo)弦撓度的近似值.由此,尋求近似裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的問(wèn)題歸結(jié)為依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)集合A==1,2,··· ,M}, 尋求最佳分段三次代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)的擬合.基于最佳分段線性函數(shù)的擬合方法[23,25], 建立最佳分段三次多項(xiàng)式函數(shù)的擬合, 具體算法如下.

Step 1: 給定擬合誤差ε>0, 令NL=1,ms=1,mk=4.

Step 2: 根據(jù)測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)Ams(ζms),Ams+1(ζms+1k(ζms+mk,WC(ms+mk)), 利用最小二乘法擬合三次函數(shù)(ξ)=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL.

Step 3: 如果mk=M,輸出裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)(ξ)=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL,并且若NL>1, 計(jì)算函數(shù)

在區(qū)間[ζms-1,ζms]中的交點(diǎn), 從而確定第NL-1 個(gè)裂紋的近似位置, 以及利用式(16) 得到該裂紋的近似等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度, 結(jié)束計(jì)算; 否則, 計(jì)算函數(shù)WNL(ξ) 在點(diǎn)ζ=ζmk+1處的函數(shù)值WCNL(ζmk+1), 并計(jì)算

然而，地方財(cái)力不足的現(xiàn)狀不能必然地導(dǎo)出消費(fèi)稅收入分配機(jī)制改革的合理性。稅制變革應(yīng)剖析其背后的理論依據(jù)。對(duì)此還有必要結(jié)合消費(fèi)稅改革進(jìn)程，探究消費(fèi)稅收入分配機(jī)制調(diào)整的合理性，檢視消費(fèi)稅收入分配機(jī)制調(diào)整與消費(fèi)稅其他改革措施的關(guān)聯(lián)，以期能為理論研討與立法調(diào)整有所裨益。

Step 4: 如果?< ε, 即Amk+1(ζmk+1) 位于弦撓度函數(shù)WCNL(ξ) 上, 則令mk=mk+1, 并返回Step 2; 否則, 輸出弦撓度函數(shù)=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL.

Step 5: 令NL=NL+1,ms=ms+mk,mk=4, 返回Step 2, 繼續(xù)執(zhí)行.

在裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的擬合過(guò)程中, 由于撓度測(cè)量存在誤差e, 導(dǎo)致計(jì)算誤差ε確定較為困難.若ε取值不當(dāng), 可導(dǎo)致識(shí)別到虛假的裂紋, 或遺漏裂紋.所以, 為準(zhǔn)確識(shí)別裂紋, 應(yīng)盡可能控制撓度的測(cè)量誤差e.同時(shí), 應(yīng)進(jìn)行初步的判斷, 盡量使每個(gè)識(shí)別區(qū)間[ξa,ξb]中只存在一條裂, 如通過(guò)逐步二分法識(shí)別區(qū)間[ξa,ξb], 使得識(shí)別區(qū)間最多只存在一條裂紋.

4 數(shù)值算例

接下來(lái)數(shù)值模擬本工作提出的梁中開(kāi)裂紋損傷識(shí)別方法的有效性和可靠性.由于不可避免地存在撓度測(cè)量誤差, 因此為數(shù)值模擬測(cè)量撓度, 假定撓度測(cè)量值[8,20]近似為

式中:e為測(cè)量誤差;R() 為[-1,1]中的均勻分布隨機(jī)數(shù).

為描述損傷參數(shù)識(shí)別精度, 定義裂紋i位置識(shí)別誤差eloc和等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度識(shí)別誤差ef分別為

式中:和分別為裂紋i識(shí)別的近似位置和裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧近似柔度.

設(shè)固支Euler-Bernoulli 矩形截面裂紋梁長(zhǎng)高比L/h=10, 且承受無(wú)量綱均布載荷Q0=1的作用, 區(qū)間ξ ∈[ξa,ξb]分為m= 5 個(gè)測(cè)量子區(qū)間, 每個(gè)測(cè)量區(qū)段撓度測(cè)點(diǎn)n=5, 故[ξa,ξb]上共有M=26 個(gè)撓度測(cè)量點(diǎn), 且裂紋損傷參數(shù)識(shí)別數(shù)值算法中的計(jì)算誤差ε=0.01.

4.1 固支梁存在一個(gè)裂紋

圖3 當(dāng)ξ1=0.5 時(shí), 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導(dǎo)弦撓度WCFig.3 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ1 =0.5

表1 給出了不同測(cè)量誤差e和不同裂紋深度d/h下識(shí)別的裂紋近似位置和裂紋等效旋轉(zhuǎn)彈簧近似柔度分別與其精確位置ξ1和精確裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度f(wàn)1的識(shí)別誤差, 其中eloc和ef分別為裂紋識(shí)別近似位置和裂紋等效旋轉(zhuǎn)彈簧近似柔度的識(shí)別誤差.可見(jiàn),裂紋越淺, 測(cè)量誤差越大, 識(shí)別精度越低; 裂紋位置的識(shí)別精度遠(yuǎn)高于裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度識(shí)別精度; 隨著裂紋深度增加和測(cè)量誤差的減小, 裂紋位置的識(shí)別精度和裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度識(shí)別精度都逐漸提高, 且在測(cè)量誤差達(dá)到1%時(shí), 裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度識(shí)別精度相對(duì)較差.

表1 當(dāng)ξ1=0.5 時(shí), 不同測(cè)量誤差e 下裂紋損傷參數(shù)的識(shí)別誤差Table 1 Identification errors of crack damage parameters for different measurement errors e when ξ1=0.5

4.2 固支梁存在兩個(gè)裂紋

下面考慮裂紋個(gè)數(shù)對(duì)裂紋損傷參數(shù)識(shí)別的影響.設(shè)固支梁在ξ1= 0.35 和ξ2= 0.6 處存在深度為d1=d2=d的裂紋, 其他條件同上.圖4 和5 分別給出了撓度測(cè)量誤差e分別為0.05%, 0.1%, 0.5%和1%, 裂紋深度d/h分別為0.10, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35 和0.40 時(shí), 在測(cè)量區(qū)間[ξa,ξb]= [0,0.5]和[ξa,ξb]= [0.4,0.9]內(nèi)的固支裂紋梁裂紋誘導(dǎo)弦撓度曲線.可見(jiàn), 在保證裂紋識(shí)別區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)裂紋的前提下, 裂紋個(gè)數(shù)不影響裂紋梁誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的性質(zhì).

圖4 當(dāng)ξ1=0.35 時(shí), 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導(dǎo)弦撓度WCFig.4 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ1 =0.35

圖5 當(dāng)ξ2=0.6 時(shí), 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導(dǎo)弦撓度WCFig.5 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ2=0.6

表2 和3 分別給出了不同測(cè)量誤差e和不同裂紋深度d/h下識(shí)別的裂紋近似位置和裂紋等效旋轉(zhuǎn)彈簧近似柔度分別與其精確位置ξ1,ξ2和精確裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度f(wàn)1,f2的識(shí)別誤差.對(duì)比表1 可知, 在保證裂紋識(shí)別區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)裂紋的前提下, 裂紋個(gè)數(shù)對(duì)開(kāi)裂紋參數(shù)的識(shí)別精度影響有限.

表2 當(dāng)ξ1 =0.35 時(shí), 不同測(cè)量誤差e 下裂紋損傷參數(shù)的識(shí)別誤差Table 2 Identification errors of crack damage parameters for different measurement errors e when ξ1 =0.35

同時(shí), 數(shù)值模擬結(jié)果表明, 在識(shí)別區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)裂紋的前提下, 裂紋識(shí)別區(qū)間[ξa,ξb]的選取不影響誘導(dǎo)弦撓度曲線的性質(zhì), 即裂紋誘導(dǎo)弦撓度曲線為分段三次多項(xiàng)式函數(shù), 只影響其大小, 并且對(duì)裂紋位置及等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度的識(shí)別結(jié)果影響有限.可見(jiàn), 本工作提出的開(kāi)裂紋損傷識(shí)別方法具有較好的魯棒性.

5 結(jié) 論

本工作提出了基于裂紋誘導(dǎo)弦撓度的Euler-Bernoulli 梁橫向裂紋靜力損傷識(shí)別方法.首先, 將裂紋等效為線性扭轉(zhuǎn)彈簧, 利用Delta 函數(shù)和Heaviside 函數(shù), 得到了任意邊界條件下裂紋Euler-Bernoulli 梁靜力彎曲撓度的解析通解; 然后, 推導(dǎo)出裂紋誘導(dǎo)弦撓度的表達(dá)式, 發(fā)現(xiàn)裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)為分段三次多項(xiàng)式函數(shù), 并基于裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的性質(zhì), 利用最小二乘法擬合裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù), 提出了基于撓度測(cè)量的裂紋位置和裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度的數(shù)值識(shí)別方法; 最后, 數(shù)值驗(yàn)證了本工作提出的裂紋損傷識(shí)別方法的適用性和可靠性, 考察了撓度測(cè)量誤差、裂紋位置和深度等對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果的影響, 得到如下結(jié)論.

(1) 基于裂紋誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)的裂紋位置和裂紋損傷程度識(shí)別方法避免了基于有限元的裂紋識(shí)別方法的非線性方程組的求解, 且裂紋數(shù)量及裂紋識(shí)別區(qū)間的選取對(duì)裂紋損傷識(shí)別結(jié)果的影響有限, 具有較強(qiáng)的魯棒性.

(2) 當(dāng)區(qū)間只含有一條裂紋時(shí), 誘導(dǎo)弦撓度函數(shù)曲線由兩段三次多項(xiàng)式函數(shù)曲線構(gòu)成, 裂紋位置為兩段曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo), 且裂紋處裂紋誘導(dǎo)弦撓度斜率改變量隨著裂紋深度的增加而增大.

(3) 裂紋位置的識(shí)別精度高于裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧柔度的識(shí)別精度.同時(shí), 為控制識(shí)別誤差,應(yīng)嚴(yán)格控制測(cè)量精度.

(4) 對(duì)于連續(xù)梁, 裂紋誘導(dǎo)弦撓度仍為分段三次多項(xiàng)式形式, 因此本工作提出的方法適用于連續(xù)梁的裂紋損傷識(shí)別.