□ 韋才敏 于 濤 王文華

（1.汕頭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063；2.大連理工大學(xué) 商學(xué)院，遼寧 盤錦 124221）

一、引 言

期權(quán)作為市場(chǎng)上一種常見的金融衍生品，具備套期保值和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)等功能，因此對(duì)其進(jìn)行精確且合理的定價(jià)具有重要的理論與實(shí)踐意義。1973 年,Black 和Scholes[1]在假定股票價(jià)格滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，提出了著名的歐式期權(quán)定價(jià)模型, 奠定了期權(quán)定價(jià)研究的理論基礎(chǔ)。但是隨著經(jīng)濟(jì)和金融業(yè)的快速發(fā)展，投資者的投資需求更加細(xì)化，傳統(tǒng)的歐式期權(quán)顯然已不能滿足實(shí)際金融市場(chǎng)的需求, 這就迫切要求對(duì)期權(quán)的種類進(jìn)行改造與創(chuàng)新?；赝跈?quán)是一種典型的對(duì)路徑依賴的奇異期權(quán)，其敲定價(jià)格取決于期權(quán)有效期內(nèi)的原生資產(chǎn)價(jià)格，期權(quán)持有者選取最低（最高）的原生資產(chǎn)價(jià)格作為敲定價(jià)格, 并以此購入（售出）一定量的原生資產(chǎn)。由于回望期權(quán)可以使期權(quán)的持有者在行權(quán)期間獲得最大的可能收益，這也使得該類期權(quán)的價(jià)格會(huì)高于標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán)。近幾十年來，眾多學(xué)者對(duì)回望期權(quán)進(jìn)行了大量研究[2-5]。

以往關(guān)于期權(quán)定價(jià)的研究大多是在Black-Scholes 模型上建立的，假定股票的對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布，使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述股票價(jià)格的變化過程。然而，一系列實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，當(dāng)前股票價(jià)格會(huì)對(duì)未來價(jià)格產(chǎn)生持續(xù)的影響，即股票價(jià)格會(huì)呈現(xiàn)出長程相關(guān)性和自相似性，具有“尖峰厚尾”的特征[6]。為了便于刻畫該特征，Mandelbrot[7]和Peters[8]將分形的概念引入到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，提出了“分形市場(chǎng)假說”，使用Hurst 指數(shù)H 刻畫對(duì)數(shù)收益率的自相關(guān)性，對(duì)市場(chǎng)收益率的時(shí)間序列進(jìn)行了研究。但是，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不具備鞅的良好性質(zhì)，且會(huì)出現(xiàn)市場(chǎng)套利。因此，在描述股價(jià)變化時(shí)，單一地運(yùn)用幾何布朗運(yùn)動(dòng)或分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)總會(huì)存在以上問題。于是，Shiryaev 等[9]提出了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念，即利用兩者的線性組合形式來刻畫股價(jià)的變化過程，從而避免了這兩類問題的出現(xiàn)。并且，Cheridito[10]證明了在Hurst 指數(shù)H∈ (0.75,1)的條件下，市場(chǎng)是無套利的，可以利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)的鞅性對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行研究。Rao[11]用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化，給出了考慮長記憶性特征的亞式期權(quán)定價(jià)公式。Ahmadian[12]基于標(biāo)準(zhǔn)無套利的論點(diǎn)，研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下亞式彩虹期權(quán)的定價(jià)問題。尤左偉等[13]則建立了在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下可轉(zhuǎn)債的定價(jià)模型，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理得出了可轉(zhuǎn)債定價(jià)公式。趙明清等[14]研究了銀行存款再保險(xiǎn)問題，推導(dǎo)出混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下溢額再保險(xiǎn)的定價(jià)公式，并通過實(shí)證分析驗(yàn)證了模型的實(shí)用性。孫曉霞[15]等證明了在非Lipschitz 條件下, 由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程解的矩估計(jì)和連續(xù)性。

面對(duì)投資者的多種需求，僅考慮隨機(jī)性的定價(jià)模型已經(jīng)不能滿足實(shí)際金融市場(chǎng)的發(fā)展。同時(shí)，金融市場(chǎng)經(jīng)常會(huì)被一些模糊因素所影響，因此迫切需要在隨機(jī)和模糊環(huán)境下研究期權(quán)定價(jià)的相關(guān)問題。與隨機(jī)性不同的是，模糊性是用來描述當(dāng)投資者不知道股票的確切收益時(shí)，對(duì)是否進(jìn)行投資以及投資份額產(chǎn)生的不確定性。1965年，Zadeh[16]提出的模糊集理論成為刻畫金融市場(chǎng)模糊性的重要理論基礎(chǔ)。Wu[17]給出了模糊集理論在B-S 模型中的應(yīng)用，建立了模糊環(huán)境下歐式期權(quán)的定價(jià)模型，得到了任意期權(quán)價(jià)格的置信度，使得投資者可以按照任何具有可接受的信任程度選擇期權(quán)的價(jià)格。Zhang 等[18]認(rèn)為定價(jià)公式中輸入的數(shù)據(jù)會(huì)隨市場(chǎng)的波動(dòng)而具有不確定性，因此在模糊環(huán)境下討論了期權(quán)的定價(jià)問題，推導(dǎo)出了幾何亞式期權(quán)的模糊價(jià)格公式，并使用插值搜索算法確定置信度，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了模型的合理性與實(shí)用性。秦學(xué)志等[19]研究了三角模糊數(shù)下歐式期權(quán)的定價(jià)問題，構(gòu)建了基于三角模糊數(shù)的歐式期權(quán)模糊定價(jià)模型。為了更好地刻畫投資者對(duì)期權(quán)價(jià)格估計(jì)值的肯定、否定及猶豫程度，張茂軍等[20]首次將三角直覺模糊數(shù)引入歐式期權(quán)中，建立了基于三角直覺模糊數(shù)的二叉樹定價(jià)模型。明雷等[21]給出了三角直覺模糊數(shù)下Black-Scholes模型的期權(quán)解析式，推廣了Yoshida 的相關(guān)結(jié)論，并對(duì)模型的穩(wěn)定性和靈敏性進(jìn)行了分析。

綜上所述，本文結(jié)合已有文獻(xiàn)結(jié)論及其存在的不足之處，在B-S 模型的基礎(chǔ)上，考慮了金融市場(chǎng)存在的長記憶性特征和投資行為的猶豫性，建立了一種新的歐式回望期權(quán)定價(jià)模型。本文的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在：首先，選取標(biāo)的股票初始價(jià)格作為模糊變量，構(gòu)建了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下，歐式回望看漲期權(quán)的模糊定價(jià)模型；其次，論證了期權(quán)的模糊價(jià)格關(guān)于模糊變量的單調(diào)性，并給出了不同情形下期權(quán)的價(jià)格截集，期權(quán)持有者可根據(jù)自身需求及對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇合理的猶豫程度，補(bǔ)充了現(xiàn)有關(guān)于歐式回望期權(quán)定價(jià)文獻(xiàn)的不足；然后，通過理論推導(dǎo)與數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了長記憶性指標(biāo)Hurst 指數(shù)H 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，并揭示出該影響與行權(quán)時(shí)間T 相關(guān)；最后，對(duì)模型中的各個(gè)參量進(jìn)行了數(shù)值分析，給出了期權(quán)價(jià)格截集變化的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，對(duì)模型的可行性和合理性進(jìn)行了驗(yàn)證。

其余部分組織如下：第一節(jié)中，本文介紹了關(guān)于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和三角直覺模糊數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，并將長記憶性和模糊性融入到傳統(tǒng)的歐式回望期權(quán)定價(jià)模型中，給出了期權(quán)的模糊定價(jià)公式，推導(dǎo)出了期權(quán)的價(jià)格截集及Hurst 指數(shù)H 對(duì)定價(jià)模型影響的相關(guān)定理；第二節(jié)中，本文進(jìn)行了數(shù)值分析，對(duì)模型的長記憶性和其他參量對(duì)于期權(quán)價(jià)格截集的影響進(jìn)行了檢驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了解釋，表明與理論推導(dǎo)一致；最后，第三節(jié)是本文的結(jié)論與展望。

二、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式回望期權(quán)的模糊定價(jià)模型

定義1(混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng))[22]在一個(gè)完備的概率空間( Ω, F,P)中，定義混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(α,β)與幾何布朗運(yùn)動(dòng)tB、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系如下，

（ii）對(duì)任意H＞0,(α,β)的增量是任意的和混合自相似的，；

（iii）當(dāng)0.5＜H＜ 1時(shí)，(α,β)的增量是長程且正相關(guān)的。

定義2 ( 三角模糊數(shù))[20]設(shè)實(shí)數(shù)集R上的模糊集= (a1,a,a2)，其隸屬度函數(shù)定義如下:

滿足如上定義的模糊數(shù)，即為三角模糊數(shù)。

定義3 （三角直覺模糊數(shù)）[20]=＜ (a1,a,a2);,＞為定義在實(shí)數(shù)集R 上的三角直覺模糊數(shù)( 圖1)，其隸屬和非隸屬函數(shù)定義分別為：

圖1 三角直覺模糊數(shù)

首先，給定具有σ- 流的完備概率空間( Ω,F,P)及對(duì)應(yīng)的域流{Ft,t∈ [0,T]}，假設(shè)模糊變量為標(biāo)的股票的初始價(jià)格，金融市場(chǎng)上的現(xiàn)金市場(chǎng)Mt和股票可以進(jìn)行自由、連續(xù)的交易，允許買空賣空且市場(chǎng)無套利，期權(quán)到期日為時(shí)間T。

其中：μ、σ均為常數(shù)，表示股票收益率和波動(dòng)率。

最后，現(xiàn)金市場(chǎng)Mt滿足：dM t=rM tdt,M0= 1 , 0≤t≤T,r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，不考慮支付交易費(fèi)、稅收及紅利。

（i）利用Δ-對(duì)沖原理，形成投資組合[23]：∏ =V-ΔSt，適當(dāng)選取份額Δ，使得Π 在(t,t+dt)是無風(fēng)險(xiǎn)的，即有dΠ=rΠdt,由公式得

從而（8）可簡(jiǎn)化為：

（iii）歐式回望看漲期權(quán)在T 時(shí)刻的模糊收益為：

邊界條件為：

定理1 歐式回望看漲期權(quán)的模糊定價(jià)公式：

其中

證明：由以上的討論知回望看漲期權(quán)滿足如下條件

將(16)代入(15)后得到

令u(x,t) =eαx+β(T-t)·W(x,t),代入式(17)

令大括號(hào)中的式子恒為0，有

得

采用鏡像法求解，令

又因?yàn)?Φ(x) 滿足方程組

參照文獻(xiàn)[23]知方程(19)的解存在且唯一，由Poisson公式，該方程的解可表為，代回原變量(S,J,t) 及函數(shù)V 即得結(jié)果，證畢。

在得到歐式回望看漲期權(quán)的模糊定價(jià)公式后，為了進(jìn)一步得到期權(quán)的價(jià)格截集，需引入相關(guān)概念：

對(duì)應(yīng)α-截集與β- 截集的定義，股票模糊初始價(jià)格的兩類價(jià)格截集可表示如下:

α- 截 集：，β- 截 集 為：。

參照Yoshida[22] 的相關(guān)研究，令at=cSt，c表示模糊指標(biāo)，則S1:=S t-at、S2:=S t+at。

記Δ=α(1 -uS～) - (1 -β)wS～，當(dāng)Δ ＞ 0時(shí)，；當(dāng)Δ ≤ 0時(shí)，。

定理3 （期權(quán)模糊價(jià)格對(duì)股票模糊初始價(jià)格的單調(diào)性判斷）歐式回望看漲期權(quán)的模糊價(jià)格是關(guān)于標(biāo)的股票模糊初始價(jià)格的單調(diào)遞增函數(shù)。

將以上關(guān)系代入（20）有

由上式可得當(dāng)θ取值較大時(shí)，可使≥0;以下繼續(xù)判定的正負(fù)性，

證畢。

定理4 兩類歐式回望看漲期權(quán)tV的價(jià)格截集：

（1） 當(dāng)Δ ＞0 時(shí)，

其中。

（2） 當(dāng)Δ ≤0 時(shí)，

定理3 證明了股票的模糊初始價(jià)格越高，期權(quán)的模糊價(jià)格也會(huì)越高，故在式(14)中將1I、I2依次替換并代入，得到并代入期權(quán)的模糊定價(jià)公式中，即為期權(quán)的價(jià)格截集，證明從略。

注1：當(dāng)不考慮投資者的猶豫程度，即c= 0時(shí)，歐式回望看漲期權(quán)Vt的價(jià)格區(qū)間退化為一個(gè)數(shù)，I0=St。

這正是確定環(huán)境下，只考慮長記憶性特征的回望看漲期權(quán)的定價(jià)公式。

則平方后

注意到（29）各式中均含有T2HlnT-t2Hlnt,提取公因式即得結(jié)論，證畢。

注2：定理5 表明了T 的取值將會(huì)改變長記憶性指標(biāo)H 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

三、數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在第二節(jié)中主要進(jìn)行了理論推導(dǎo)，包括建立了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式回望期權(quán)的模糊定價(jià)模型，給出了期權(quán)的價(jià)格截集及對(duì)模型的長記憶性特征進(jìn)行了研究等。本節(jié)在此基礎(chǔ)上，將運(yùn)用數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，首先研究Hurst 指數(shù)H 對(duì)期權(quán)模糊價(jià)格的影響；然后對(duì)期權(quán)的價(jià)格截集運(yùn)用控制變量法，分析了模型的穩(wěn)健性，給出了對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。其中：期權(quán)價(jià)格截集的上限價(jià)格用I2表示，下限價(jià)格用I1表示。

(一)基準(zhǔn)模型的參數(shù)數(shù)據(jù)

當(dāng)Δ ＞ 0時(shí)的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)：股票初始價(jià)格S= 25，期權(quán)期限t= 1，T= 2，Hurst 指數(shù)H= 0.76，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.10，股票波動(dòng)率σ= 0.10，α-截集α=0.75，最低價(jià)格J= 23，最大隸屬度= 0.9，β- 截集β=0.2，最小非隸屬度= 0.05，模糊指標(biāo)c=0.05；當(dāng)Δ ≤ 0時(shí)結(jié)論類似。圖中虛線表示期權(quán)上限價(jià)格I2，實(shí)線表示期權(quán)下限價(jià)格I1。

(二)Hurst 指數(shù)H 對(duì)定價(jià)模型的影響

由定理5 知，在期權(quán)的模糊價(jià)格對(duì)H 求導(dǎo)后可提取公因式T2HlnT-t2Hlnt，這表明長記憶性對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響會(huì)受到行權(quán)時(shí)間T 的作用。如圖2 和圖3 所示，本文在此理論基礎(chǔ)上選取了兩種不同的行權(quán)時(shí)間，可得出如下結(jié)論：當(dāng)T＜1 時(shí)，期權(quán)的模糊價(jià)格隨H 的增大而減小，當(dāng)T＞1 時(shí)，期權(quán)的模糊價(jià)格隨H 的增大而增大。

圖2 T =0.5時(shí)，期權(quán)價(jià)格對(duì)H 的偏導(dǎo)

圖3 T =1.45時(shí)，期權(quán)價(jià)格對(duì)H 的偏導(dǎo)

(三)靈敏性和穩(wěn)健性分析

本節(jié)討論了歐式回望期權(quán)的定價(jià)模型中，各個(gè)因素對(duì)期權(quán)價(jià)格截集的影響，并給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

圖4 和圖5 分別展現(xiàn)了無風(fēng)險(xiǎn)利率r和波動(dòng)率σ對(duì)期權(quán)價(jià)格截集的影響。在證明期權(quán)的模糊價(jià)格關(guān)于初始價(jià)格S為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，曾令θ的取值適當(dāng)大，而這就要求無風(fēng)險(xiǎn)利率r的取值不宜過小、波動(dòng)率σ的取值不宜過大。從圖中可知，期權(quán)的上下限價(jià)格隨無風(fēng)險(xiǎn)利率r、波動(dòng)率σ的增大而增大。

圖4 無風(fēng)險(xiǎn)利率r 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖5 波動(dòng)率σ 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖6 驗(yàn)證了定理3 的結(jié)論，表明了歐式回望看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)隨初始股價(jià)S的增大而增大。圖7 反映了在回望看漲期權(quán)中，最低價(jià)格J對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。 由歐式回望看漲期權(quán)的收益函數(shù)可知，股票的最低價(jià)格越大，期權(quán)持有者的收益也就越小，期權(quán)價(jià)格也應(yīng)適當(dāng)減小。而這與圖7中期權(quán)價(jià)格是關(guān)于股票最低價(jià)格的單調(diào)遞減函數(shù)相一致。

圖6 初始價(jià)格S 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖7 最低價(jià)格J 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

從圖8 可以看出，可行度 對(duì)歐式回望看漲期權(quán)上下限價(jià)格的影響是相反的；意味著 越大，歐式回望看漲期權(quán)的定價(jià)區(qū)間越小，即越小。這滿足了不同投資者的需求，對(duì)于相對(duì)保守的投資者，他們可以使用較高的可行度，但最大收益會(huì)較低；而對(duì)于那些較為激進(jìn)投資者來說，他們可能會(huì)有更多的收益，但同時(shí)也伴隨著更大的風(fēng)險(xiǎn)。圖9反映了最大隸屬度對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，隸屬度用來描述不確定量的隸屬程度，隨著最大隸屬度的增加，投資者的猶豫程度會(huì)減小，即變大，但不應(yīng)過大，否則便失去了期權(quán)價(jià)格區(qū)間的估計(jì)作用；且當(dāng)時(shí)，期權(quán)的上下限價(jià)格相等，故此時(shí)的取值也不應(yīng)小于0.75。

圖8 可行度α 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖9 最大隸屬度 sw～ 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖10 反映了模糊指標(biāo)c 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，表明該參量對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響為線性的。由于c=，c 越大，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的能力越高，可選擇進(jìn)行投資的區(qū)間也應(yīng)越大，在圖中表現(xiàn)為期權(quán)價(jià)格截集的區(qū)間長度I2-I1越大，因此投資者可根據(jù)自身需求進(jìn)行合理的投資。

圖10 模糊指標(biāo)c 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

四、結(jié)論

歐式回望期權(quán)是一種典型的強(qiáng)路徑依賴期權(quán)，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確合理的定價(jià)是具有重要理論和實(shí)踐意義的。與已有文獻(xiàn)的不同之處在于，本文從隨機(jī)性和模糊性兩方面刻畫了金融市場(chǎng)存在的不確定性，并且運(yùn)用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述了股票價(jià)格的長記憶性特征，建立了基于三角直覺模糊數(shù)的歐式回望期權(quán)定價(jià)模型，該模型更具有普遍性和現(xiàn)實(shí)意義。取得的主要結(jié)論如下：一，假定股票的價(jià)格變化滿足混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并將標(biāo)的股票的初始價(jià)格設(shè)為模糊變量，結(jié)合已有文獻(xiàn)推導(dǎo)出了歐式回望期權(quán)的模糊定價(jià)公式。二，論證了期權(quán)的模糊價(jià)格是關(guān)于標(biāo)的股票模糊初始價(jià)格的單調(diào)遞增函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上給出具體的期權(quán)價(jià)格截集公式。投資者可以根據(jù)自身需求，對(duì)可行度α及模糊指標(biāo)c 進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，確定期權(quán)價(jià)格區(qū)間。比如投資者可選擇較大的猶豫程度，相應(yīng)的投資區(qū)間也會(huì)較大，風(fēng)險(xiǎn)和收益都會(huì)更高。三，研究了模型的長記憶性特征，從理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)上證明了Hurst 指數(shù)H 對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響將會(huì)受到行權(quán)時(shí)間T 的作用。四，對(duì)影響期權(quán)價(jià)格截集的其他參數(shù)，如：無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率和模糊指標(biāo)等進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相結(jié)合，從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度表述了不同參數(shù)對(duì)歐式回望看漲期權(quán)價(jià)格的影響。最后，在該領(lǐng)域還有很多問題可以進(jìn)一步研究，例如金融市場(chǎng)中存在著一些突發(fā)狀況，會(huì)使股票價(jià)格發(fā)生大的上下跳躍，因此可以考慮在分?jǐn)?shù)跳躍- 擴(kuò)散過程上建立歐式回望期權(quán)和障礙期權(quán)的定價(jià)模型；同時(shí)模糊性的研究也可以拓展到其他金融衍生品等。