穆倩倩,余麗靜*,李 斌

(1.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550018;2.中國(guó)鐵塔股份有限公司貴州省分公司,貴州 貴陽(yáng) 550081)

0 引言

切換系統(tǒng)作為一類(lèi)典型的混雜系統(tǒng),根據(jù)其切換機(jī)制的不同,通常可以分為確定性切換系統(tǒng)和隨機(jī)性切換系統(tǒng)。確定性切換系統(tǒng)可以通過(guò)設(shè)計(jì)切換規(guī)則使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),目前的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。針對(duì)時(shí)變切換系統(tǒng),通過(guò)引入公共不定差分Lyapunov函數(shù)和多個(gè)不定差分Lyapunov函數(shù),分別給出了時(shí)變離散切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的保守性較小的充分條件[1]。Yuqian 通過(guò)推導(dǎo)協(xié)方差矩陣列疊加形式的動(dòng)力學(xué)特性方程,得到了離散時(shí)間線性切換系統(tǒng)在建模隨機(jī)切換下均方穩(wěn)定的充要條件[2]。王眷衛(wèi)設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用于核電廠BUP控制模式的切換方案,用于控制不同模式下的切換與性能分析[3]。隨機(jī)切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)服從隨機(jī)過(guò)程分布,通常用馬爾可夫跳變過(guò)程來(lái)描述。關(guān)于隨機(jī)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題已有很多成果。例如,馬爾可夫跳躍系統(tǒng)中的隨機(jī)穩(wěn)定[4-6],幾乎處處穩(wěn)定[7],全局指數(shù)穩(wěn)定均已被研究。針對(duì)該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)多利用隨機(jī)過(guò)程理論結(jié)合概率分布等分析方法研究系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展,單一切換機(jī)制的系統(tǒng)已很難滿(mǎn)足復(fù)雜系統(tǒng)的建模。例如在具有多個(gè)控制回路的系統(tǒng)中,各子回路由一個(gè)確定性指令對(duì)其控制,而在不同回路中可能存在差異化的隨機(jī)故障、時(shí)延及丟包等問(wèn)題。因此,部分學(xué)者提出了雙切換系統(tǒng)模型用于該類(lèi)復(fù)雜系統(tǒng)的建模。雙切換系統(tǒng)同時(shí)包含了上述兩類(lèi)切換子系統(tǒng),即確定性切換子系統(tǒng)和隨機(jī)切換子系統(tǒng),因此又被稱(chēng)為兩層切換系統(tǒng)。其中,確定性子系統(tǒng)之間的運(yùn)行由確定性切換信號(hào)控制。而隨機(jī)切換子系統(tǒng)之間的切換是隨機(jī)的,不受隨機(jī)信號(hào)控制。因馬爾可夫過(guò)程具有無(wú)后效性,現(xiàn)實(shí)世界中可以用來(lái)描述很多隨機(jī)過(guò)程,所以在雙切換系統(tǒng)的研究中常采用馬爾可夫過(guò)程描述隨機(jī)切換子系統(tǒng)。近年來(lái),雙切換模型正逐漸應(yīng)用于疫情傳染模型、多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、容錯(cuò)系統(tǒng)、具有儲(chǔ)能單元的風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)等[8-9]領(lǐng)域。

雙切換系統(tǒng)依據(jù)隨機(jī)切換子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率是否變化,又可以分為固定雙切換和可變雙切換。若由不同馬爾可夫鏈描述的隨機(jī)子系統(tǒng)其狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率是不變的,則稱(chēng)為固定雙切換;相反的,當(dāng)不同隨機(jī)子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移是可變的,那么則稱(chēng)為可變雙切換。雖然雙切換系統(tǒng)模型在實(shí)際應(yīng)用中具有適應(yīng)性,但針對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)的研究較少。穩(wěn)定性分析作為切換系統(tǒng)研究的關(guān)鍵問(wèn)題,吸引了學(xué)者們的關(guān)注。丁文淞針對(duì)一類(lèi)具有指數(shù)不確定性的雙切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定,通過(guò)設(shè)計(jì)確定性切換律和狀態(tài)反饋控制器,研究其魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題[10]。Song研究了切換馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),利用駐留時(shí)間分析雙切換線性系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性[11]。席敏針對(duì)具有指數(shù)不確定性的離散時(shí)間雙切換線性正系統(tǒng),通過(guò)構(gòu)建Co-positive Lyapunov能量衰減函數(shù),給出了在持續(xù)駐留時(shí)間約束下的魯棒指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的充分條件[12]。

綜上所述,文獻(xiàn)[10]研究了魯棒幾乎處處漸近穩(wěn)定,由于系統(tǒng)包含有指數(shù)不確定性,因此系統(tǒng)利用了狀態(tài)觀測(cè)器,并且對(duì)達(dá)到穩(wěn)定的約束條件要求更高。文獻(xiàn)[11]針對(duì)固定和可變雙切換進(jìn)行了研究,研究任意切換信號(hào)下的指數(shù)穩(wěn)定性,保守性更高。文獻(xiàn)[12]研究的是特殊的線性雙切換正系統(tǒng),要求初始條件和輸入為非負(fù)值,適用范圍將受到影響。因此,不同于以往的研究,本文創(chuàng)新性地考慮了一類(lèi)具有擾動(dòng)的可變雙切換線性系統(tǒng)。由于在雙切換系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移速率是可變的,這導(dǎo)致了馬爾可夫模態(tài)遍歷性不再有效,這給系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析帶來(lái)了挑戰(zhàn)。同時(shí),隨著現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)的日漸復(fù)雜,對(duì)于系統(tǒng)的控制精度要求越來(lái)越高。而在實(shí)際系統(tǒng)中,擾動(dòng)是必不可少的,嚴(yán)重的情況將直接導(dǎo)致系統(tǒng)的發(fā)散和振蕩,因此對(duì)于擾動(dòng)雙切換系統(tǒng)的研究是非常必要和有價(jià)值的。

本文針對(duì)一類(lèi)具有擾動(dòng)的可變雙切換線性系統(tǒng),通過(guò)選取合理的隨機(jī)多李雅普諾夫函數(shù)作為能量函數(shù),基于期望能量最小原則來(lái)設(shè)計(jì)確定性切換信號(hào),并且給出了系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的充分條件。從而保證在切換信號(hào)控制下,即使同時(shí)存在擾動(dòng)和不穩(wěn)定子系統(tǒng),雙切換系統(tǒng)仍然能夠達(dá)到穩(wěn)定。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有擾動(dòng)的雙切換線性系統(tǒng):

(1)

注1 根據(jù)子系統(tǒng)切換機(jī)制不同,將切換序列分為確定切換序列(t部分)和隨機(jī)切換序列(τ部分)。研究中,均假定兩部分的長(zhǎng)度是有限的,即切換時(shí)間間隔是有限的,以保證整個(gè)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該假設(shè)亦符合實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)情況。

1.2 馬爾可夫過(guò)程相關(guān)性質(zhì)

假定確定性切換信號(hào)γ(t)是良定的,馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率定義為:

(2)

1.3 主要定義

在本文中,我們研究了具有擾動(dòng)的可變雙切換線性連續(xù)系統(tǒng)(1)的幾乎處處全局漸近穩(wěn)定。為此,幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的定義如下:

定義1.2 如果以下兩個(gè)條件滿(mǎn)足的話,則系統(tǒng)是幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的:

Sp1)對(duì)于任意的ε>0,存在δ(ε)>0,當(dāng)x0<δ(ε)時(shí),P{supt≥0x(t)<ε}=1;

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將利用概率分析方法和強(qiáng)大數(shù)定律,基于期望能量最小原則設(shè)計(jì)切換信號(hào),研究帶有擾動(dòng)的可變雙切換線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(1)中的幾乎處處全局漸近穩(wěn)定性,并給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

那么,在如下確定性切換策略控制下,可變雙切換線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(1)是幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的。

(3)

接下來(lái),對(duì)于上式(3),利用鄧金公式(Dynkin＇s formula)聯(lián)合定理2.1中的(H3)切換規(guī)則,可以得出下式:

將上述結(jié)論應(yīng)用到整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間段內(nèi)t∈[0,t),

(4)

(5)

注2 由不同馬爾可夫鏈描述的確定子系統(tǒng)在切換時(shí)是不連續(xù)的,因?yàn)椴煌酉到y(tǒng)模式之間的切換由不同的馬爾可夫鏈控制,這導(dǎo)致了馬爾可夫鏈遍歷性失效的問(wèn)題。因此,需要對(duì)馬爾可夫鏈進(jìn)行瞬態(tài)分析。在幾乎處處全局漸近指定穩(wěn)定性條件SP1的證明過(guò)程中,應(yīng)用瞬態(tài)分析很好地解決遍歷性失效問(wèn)題。

(t))]最小的確定子系統(tǒng)切入,很好地解決了這個(gè)問(wèn)題。

3 應(yīng)用仿真

多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是由多個(gè)回路控制器組成,每個(gè)控制器控制一個(gè)或者多個(gè)被控制對(duì)象。在現(xiàn)代工業(yè)應(yīng)用中,多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工業(yè)系統(tǒng)、多目標(biāo)追蹤系統(tǒng)、飛行控制等多個(gè)領(lǐng)域。當(dāng)前在多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中通過(guò)調(diào)度來(lái)保證子回路之間的協(xié)調(diào),以完成復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)應(yīng)用。調(diào)度是指決定啟動(dòng)或終止每個(gè)回路控制器以及分配他們優(yōu)先級(jí)。調(diào)度策略是否合理將直接對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度,可靠性以及魯棒性造成影響。調(diào)度問(wèn)題是多回路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)控制問(wèn)題的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

針對(duì)多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),依據(jù)其運(yùn)行機(jī)制,建模方法也大不相同。針對(duì)有數(shù)據(jù)包位移的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型,可將其建模為多通道數(shù)據(jù)包無(wú)序MIMO系統(tǒng)。針對(duì)具有噪聲,傳輸時(shí)滯以及系統(tǒng)中存在不確定性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),建模為具有故障恢復(fù)的MIMO離散時(shí)間系統(tǒng)。本節(jié)中將針對(duì)具有擾動(dòng)和丟包的多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為擾動(dòng)可變雙切換模型,多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)中的調(diào)度便由所研究的雙切換系統(tǒng)中的確定性切換信號(hào)來(lái)進(jìn)行控制。首先,控制器生成的控制信號(hào)由確定性切換信號(hào)來(lái)切入到傳輸網(wǎng)絡(luò)中,完成控制信號(hào)和網(wǎng)絡(luò)回路的調(diào)度。若γ(t)=1,則將控制信號(hào)傳入第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)回路中用于控制第一個(gè)被控對(duì)象。

圖1 多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

而在傳輸網(wǎng)絡(luò)中,由于受到擾動(dòng)及其他因素的影響,存在隨機(jī)的數(shù)據(jù)包丟失的情況,將其描述為馬爾可夫過(guò)程,定義隨機(jī)丟包過(guò)程具有如下的兩個(gè)模態(tài):

定義雙切換線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的兩個(gè)子系統(tǒng)分別如下:

通過(guò)定理2.1中給出的條件(H2),利用LMI工具箱可以求解矩陣P如下:

定義系統(tǒng)狀態(tài)初始值為x0=[2,-1],時(shí)間t∈[0,5],并且每隔0.05進(jìn)行采樣。依據(jù)定理2.1(H3)設(shè)計(jì)的切換規(guī)則,計(jì)算每個(gè)子系統(tǒng)的李雅普諾夫能量函數(shù),保證期望能量最小的被控回路始終被調(diào)度,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的穩(wěn)定性。所設(shè)計(jì)確定子系統(tǒng)切換路徑如圖2所示,兩個(gè)被控對(duì)象被有序調(diào)度。在切換路徑的控制下,系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂達(dá)到穩(wěn)定。

圖2 確定子系統(tǒng)切換路徑

雙切換系統(tǒng)包含了馬爾可夫隨機(jī)子系統(tǒng),為了消除其隨機(jī)性對(duì)仿真結(jié)果帶來(lái)的干擾,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用了5次運(yùn)行結(jié)果,觀察系統(tǒng)狀態(tài)軌跡lnx(t)如圖3所示。由圖可以看出,在多次實(shí)驗(yàn)仿真下,系統(tǒng)狀態(tài)軌跡lnx(t)在100個(gè)采樣點(diǎn)后均為負(fù)值并且一直衰減,即系統(tǒng)狀態(tài)能夠在5秒內(nèi)趨于0且具有較好的收斂速度,表明方案對(duì)于系統(tǒng)的可控性好。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

本文研究一類(lèi)具有擾動(dòng)的可變雙切換線性系統(tǒng),利用概率分析方法和隨機(jī)多李雅普諾夫函數(shù)方法,基于馬爾可夫暫態(tài)分析來(lái)解決系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移速率可變問(wèn)題,然后通過(guò)期望能量最小方法設(shè)計(jì)切換信號(hào),保證在所設(shè)計(jì)的切換信號(hào)下,系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處全局漸近穩(wěn)定,并給出了穩(wěn)定的充分條件。最后將該模型應(yīng)用于多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中并給出了仿真算例,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所設(shè)計(jì)方案能滿(mǎn)足系統(tǒng)的調(diào)度需求,使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),所設(shè)計(jì)方案是合理有效的。下一步研究課題可嘗試將此研究成果推廣到可變雙切換非線性系統(tǒng)。