王伶俐

上海市浦東復(fù)旦附中分校，上海 200120

教育部頒布的《教育信息化2.0 行動(dòng)計(jì)劃》［1］和《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》［2］，都明確了將現(xiàn)代信息技術(shù)融入到教育改革的重要性。當(dāng)前，現(xiàn)代教育技術(shù)正不斷滲透到物理教學(xué)中。然而，目前的研究大多集中于某個(gè)特定軟件在特定教學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用［3-4］。隨著研究的深入發(fā)展，可應(yīng)用于物理教學(xué)的數(shù)學(xué)軟件越來(lái)越多，相關(guān)案例也越來(lái)越繁雜。同時(shí)，盡管數(shù)學(xué)軟件在物理教學(xué)中的研究日益深入，但從事這一領(lǐng)域研究的一線物理教師卻很少。面對(duì)眾多可供選擇的數(shù)學(xué)軟件，大多數(shù)尚未參與此類研究的一線物理教師可能由于不了解各個(gè)軟件的特點(diǎn)而感到手足無(wú)措，難以作出正確的選擇。根據(jù)應(yīng)用于物理教學(xué)中的數(shù)學(xué)軟件所具備的能力、面向的場(chǎng)景和使用的難易程度，可將其分為通用數(shù)據(jù)處理軟件、面向基礎(chǔ)教育者的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件和面向科研工作者的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件。

本文對(duì)這三類數(shù)學(xué)軟件在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀和軟件特點(diǎn)進(jìn)行了對(duì)比分析，旨在幫助物理教師全面了解與物理教學(xué)相融合的數(shù)學(xué)軟件，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上選擇適應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)軟件。

1 通用數(shù)據(jù)處理軟件

Excel 和Origin 是兩款在管理、統(tǒng)計(jì)財(cái)經(jīng)、金融、教育等眾多領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理軟件，它們具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)分析和繪圖功能，且都不需要編程，簡(jiǎn)單易學(xué)。其中，Excel 的操作更容易且應(yīng)用更廣泛。目前，國(guó)內(nèi)將Excel 用于物理教學(xué)的研究中，按其實(shí)現(xiàn)的功能可以分為三類，如圖1 所示。第一類是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的前提下，繪制實(shí)驗(yàn)圖像和擬合函數(shù)，得到可視化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及物理量的具體關(guān)系式。最后，把可視化結(jié)果應(yīng)用在“測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”“探究一定質(zhì)量氣體等溫變化時(shí)壓強(qiáng)與體積的關(guān)系”等實(shí)驗(yàn)中［5］。與傳統(tǒng)的人工數(shù)據(jù)處理和人工作圖法相比，借助Excel 軟件的數(shù)據(jù)處理和作圖效率更高且更準(zhǔn)確。第二類是繪制函數(shù)圖像，可應(yīng)用于“等量同種或異種點(diǎn)電荷中垂線的電場(chǎng)分布［6］”“分壓電路中滑動(dòng)變阻器的選擇［7］”“直流閉合電路輸出功率的動(dòng)態(tài)分析［8］”等物理問(wèn)題中。通過(guò)理論分析，可以得到這些物理問(wèn)題中物理量的關(guān)系式，但函數(shù)關(guān)系式比較復(fù)雜，超出了中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，無(wú)法直接畫(huà)出函數(shù)圖像?？刹捎妹椟c(diǎn)法，先賦予自變量一系列的初始值，再利用Excel 的數(shù)據(jù)計(jì)算功能，生成小樣本的結(jié)果，進(jìn)而繪制函數(shù)圖像。第三類是用“Excel VBA語(yǔ)言”編程實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模擬。例如，用此功能研究“簡(jiǎn)諧波的疊加［6］”和驗(yàn)證“勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系［9］”等。用“Excel VBA 語(yǔ)言”編程可實(shí)現(xiàn)超出Excel 本身菜單欄的拓展功能，但需要用戶在熟練掌握Excel 的基礎(chǔ)上，具備一定的編程能力。這方面的研究仍比較欠缺，有待廣大教育工作者繼續(xù)探索。

圖1 Excel 在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用

Origin 是一款科學(xué)繪圖、數(shù)據(jù)分析軟件，其入門難易程度與Excel 相近，均不需要編程基礎(chǔ)，對(duì)初學(xué)者非常友好。知網(wǎng)搜索表明，Origin 應(yīng)用于物理教學(xué)的功能與Excel 的重合度較高。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖、擬合數(shù)據(jù)和繪制函數(shù)圖像三方面進(jìn)行比較，結(jié)果如表1 所示。Excel 和Origin 均可方便、快捷地對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖。在擬合曲線方面，Excel 只有指數(shù)、線性、對(duì)數(shù)、多項(xiàng)式、冪等數(shù)種函數(shù)表達(dá)形式可選，而Origin 擬合時(shí)可自定義函數(shù)類型，靈活性更高、適用范圍更廣。在繪制函數(shù)圖像方面，Excel 可利用描點(diǎn)法生成數(shù)據(jù)后再作圖，而Origin 可直接利用函數(shù)功能作圖，操作步驟更簡(jiǎn)單。同時(shí)，Origin 的作圖功能更加強(qiáng)大，能繪制三維立體圖，圖表樣式更多，模板更豐富，繪圖更美觀。美中不足的是，Origin 的操作難度相對(duì)Excel稍有上升，且為付費(fèi)軟件，使用成本也比Excel更高。

表1 Excel 和Origin 的功能比較

2 面向基礎(chǔ)教育者的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件

幾何畫(huà)板和GeoGebra 都是面向基礎(chǔ)教育者的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，均可以實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和動(dòng)態(tài)展示，表2 從開(kāi)發(fā)時(shí)間、開(kāi)發(fā)國(guó)家、最近更新時(shí)間、是否免費(fèi)、軟件運(yùn)行環(huán)境等進(jìn)行了比較。由對(duì)比結(jié)果可知，幾何畫(huà)板的開(kāi)發(fā)時(shí)間雖然比GeoGebra早10 年，但近年來(lái)發(fā)展遲緩，已停止更新超十年。而GeoGebra 更新迭代的速度非?？欤轮芷谝蕴鞛橛?jì)量單位。另外，GeoGebra 是免費(fèi)的開(kāi)源軟件，可在iOS，Android，Windows，Mac，Chromebook，Linux 等多種系統(tǒng)中運(yùn)行。幾何畫(huà)板是收費(fèi)的商業(yè)軟件，只支持在Windows 系統(tǒng)中使用。綜上，GeoGebra 免費(fèi)易得、運(yùn)行環(huán)境豐富且功能持續(xù)更新，廣受國(guó)內(nèi)外物理教育工作者歡迎。

表2 幾何畫(huà)板和GeoGebra 的基本信息對(duì)比

截至2023 年2 月，在知網(wǎng)中分別對(duì)幾何畫(huà)板和GeoGebra 在中學(xué)物理中的應(yīng)用進(jìn)行文獻(xiàn)檢索，得到文獻(xiàn)數(shù)量隨年份的變化曲線（圖2）。可以看出，2019 年至2022 年間，幾何畫(huà)板的相關(guān)文獻(xiàn)每年在5 篇左右，相對(duì)平穩(wěn)；而GeoGebra 的相關(guān)研究文獻(xiàn)從6 篇增至27 篇，增速迅猛。這表明近年來(lái)國(guó)內(nèi)越來(lái)越多的物理教育工作者關(guān)注到GeoGebra 軟件，其對(duì)物理教學(xué)起著越來(lái)越大的輔助作用。

圖2 幾何畫(huà)板和GeoGebra 發(fā)文總趨勢(shì)圖

通過(guò)文獻(xiàn)梳理，對(duì)GeoGebra 在中學(xué)物理中的主要應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3 所示。表中的“繪圖功能”包括兩部分，一是指獲得物理量的理論解后，利用GeoGebra 繪制圖像；二是已知物理問(wèn)題中一些物理量的幾何關(guān)系，通過(guò)GeoGebra 的幾何功能繪制示意圖［10］。由于某些物理問(wèn)題涉及物理量在一段時(shí)間內(nèi)的變化，故會(huì)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)過(guò)程圖像。在一些文獻(xiàn)中，動(dòng)態(tài)圖像的繪制被稱為“動(dòng)態(tài)模擬”［11］。在這里，自變量為時(shí)間的函數(shù)的繪制也包含在“繪圖功能”中?！皵?shù)值模擬功能”是指在物理建模后、求出解析解之前，使用計(jì)算機(jī)求解方程近似的數(shù)值解，來(lái)模擬實(shí)際物理場(chǎng)景。“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理功能”是指根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制圖像，進(jìn)行曲線擬合的功能。

表3 GeoGebra 在中學(xué)物理中主要應(yīng)用實(shí)例統(tǒng)計(jì)

對(duì)三類功能相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，如圖3 所示。在中學(xué)物理中，GeoGebra 主要應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)和熱學(xué)，最主要的功能體現(xiàn)在繪制圖像方面，占91.3%。在繪制圖像方面，主要用于三種物理情境，一是已獲得物理量理論解，但解析式較為復(fù)雜，如電源輸出功率與外電阻的關(guān)系［12］；二是物理問(wèn)題涉及三維空間，利用GeoGebra 的3D 視圖可以得到清晰明了的可視化結(jié)果，如振動(dòng)和波的疊加、光的干涉、電場(chǎng)線與等勢(shì)面的描繪和理想氣體的三維圖像等［13］；三是通過(guò)GeoGebra的幾何功能繪制示意圖，如動(dòng)態(tài)平衡分析、天體運(yùn)行的軌跡和帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等。

關(guān)于GeoGebra 在中學(xué)物理中的“數(shù)值模擬功能”和“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理功能”的實(shí)例較少。2020年，云南師范大學(xué)金惠吉等利用歐拉法模擬了示波器中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)［14］。后來(lái)，又有學(xué)者模擬了運(yùn)動(dòng)學(xué)中較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，如彈簧擺［15］、天體運(yùn)行［16］等。

3 面向科研工作者的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件

Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 是面向科研工作者的四大專業(yè)數(shù)學(xué)軟件。梳理國(guó)內(nèi)的相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這四大軟件應(yīng)用于大學(xué)物理領(lǐng)域的研究遠(yuǎn)多于應(yīng)用于中學(xué)物理。其中，應(yīng)用于中學(xué)物理研究的發(fā)文趨勢(shì)如圖4 所示。可以看出，Matlab 的發(fā)文數(shù)量明顯多于其他三款軟件。

圖4 Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 軟件的發(fā)文總趨勢(shì)圖

Matlab 在中學(xué)物理中的應(yīng)用實(shí)例統(tǒng)計(jì)如表4 所示，與表3 對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，它與GeoGebra 的主要應(yīng)用實(shí)例有較多重合。值得注意的是，2013 年蔡亮利用Matlab 定量研究了機(jī)車的恒定功率啟動(dòng)問(wèn)題［17］，在數(shù)值模擬方面比GeoGebra 的首次模擬要早。在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方面，Matlab 在中學(xué)物理中的應(yīng)用很少，但在大學(xué)物理中較多。例如，弗蘭克－赫茲實(shí)驗(yàn)［18］、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)［19］和霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理［20］等。除繪圖、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理三種功能外，Matlab 還可用于符號(hào)運(yùn)算，具體實(shí)例有滑塊運(yùn)動(dòng)、小球碰撞、透鏡成像和等效電阻等。

表4 Matlab 在中學(xué)物理中主要應(yīng)用實(shí)例統(tǒng)計(jì)

4 三類軟件的對(duì)比

三類軟件的功能，由強(qiáng)至弱依次為專業(yè)數(shù)學(xué)軟件、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件和一般數(shù)據(jù)處理軟件；可操作性由難至易也是上述排序。下面，從繪圖、數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和符號(hào)計(jì)算功能方面，對(duì)三類軟件進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表5 所示。

表5 三類軟件的功能對(duì)比

5 總 結(jié)

分析了三類數(shù)學(xué)軟件的特點(diǎn)及其在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀，對(duì)數(shù)學(xué)軟件在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用給出如下建議：

（1）在中學(xué)物理教學(xué)中，優(yōu)先采用Excel 和Origin 等通用數(shù)據(jù)處理軟件來(lái)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本小且變量的關(guān)系較為簡(jiǎn)單，Excel 和Origin 等一般數(shù)據(jù)處理軟件可以滿足絕大部分需求。

（2）在中學(xué)物理教學(xué)中，優(yōu)先采用如GeoGebra的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行繪圖（包括函數(shù)圖像和示意圖）。中學(xué)物理中的物理量的函數(shù)關(guān)系大多為初等函數(shù)，可以通過(guò)GeoGebra 輸入相應(yīng)的指令直接生成圖像，比Excel 和Matlab 的操作更為方便。而且，GeoGebra 可根據(jù)幾何關(guān)系直接作圖，明顯優(yōu)于Excel 和Matlab。

（3）在物理競(jìng)賽和大學(xué)先導(dǎo)課等拓展類課程中，物理模型往往涉及偏微分方程等復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程，可利用Matlab 的數(shù)值計(jì)算功能得到近似解，幫助學(xué)生理解真實(shí)的物理過(guò)程。

（4）可利用專業(yè)數(shù)學(xué)軟件的符號(hào)計(jì)算功能求解物理方程，獲得理論解析解。一方面，可利用理論解進(jìn)行對(duì)比演算。另一方面，能將學(xué)生從繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算中解放出來(lái)，將重心放到物理建模過(guò)程上。

（5）可考慮將專業(yè)數(shù)學(xué)軟件的數(shù)值模擬和符號(hào)計(jì)算等功能與GeoGebra 的繪圖功能結(jié)合起來(lái)，充分發(fā)揮這兩款軟件的優(yōu)勢(shì)。