內(nèi)蒙古赤峰學院數(shù)學與計算機科學學院 王洋洋 (郵編:024000)

內(nèi)蒙古民族數(shù)學教育研究所 李書海 (郵編:024000)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022)》(以下簡稱“課標”)提出:立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展,體現(xiàn)數(shù)學課程育人價值,并且設(shè)置“綜合與實踐”主題,旨在整合數(shù)學與其他學科間的知識,完成跨學科實踐活動,感悟數(shù)學與生活,數(shù)學與其他學科的關(guān)聯(lián),發(fā)展學生學習能力、實踐能力和創(chuàng)新意識[1],用數(shù)學學科視角回答跨學科問題,跨學科融合教學逐漸成為學者們研究的熱點問題.

例題是數(shù)學學習過程中不可或缺的一部分,凝練著知識核心,具有代表性和典型性,對于學生新知識的理解與鞏固、新技能的培養(yǎng)與提升都有非常大的作用.例題展示出了數(shù)學的解題思路,搭建了新知與舊知的橋梁,對于學生學習和探究以及思維能力的發(fā)展都起到積極的促進作用,因此必須要精心設(shè)計,滿足學生的發(fā)展需求.

“課標”將初中數(shù)學學習的主要內(nèi)容劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐[1]四個領(lǐng)域.總的來看,數(shù)與代數(shù)是其它幾個領(lǐng)域?qū)W習的基礎(chǔ),其它幾個領(lǐng)域的學習離不開數(shù)與代數(shù)的支撐.初中數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容廣泛,幾乎貫穿整個初中數(shù)學課程.因此在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的例題中融入跨學科內(nèi)容,既可以提高學生對于知識的運用能力,又可以幫助喚起學生的跨學科意識,感受學科之間的關(guān)聯(lián),培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的思維思考跨學科問題,會用數(shù)學的語言表達跨學科問題的意識和能力.

1 概念界定

1.1 跨學科

最早對于“跨學科”一詞進行使用的是心理學家伍德沃斯[3].而在基礎(chǔ)教育階段,跨學科的理念出現(xiàn)得較早一些,哈佛大學“零點項目”負責人博伊克斯·曼西利亞(Boix Mansilla)探討了中小學跨學科學習實踐,給出了學?？鐚W科學習的含義,即學校的跨學科是將兩個或兩個以上的學科在課程、認知和操作層面上聯(lián)系起來,進而從不同的視角 ( 目標、學習對象、概念和觀念、學習方法、技術(shù)能力等 ) 建立互補或合作聯(lián)系、相互滲透或相互作用的實踐[4].

我國 2022 年版“課標”中所倡導(dǎo)的跨學科主題學習,體現(xiàn)了義務(wù)教育階段課程設(shè)計綜合化和實踐化的特點,超越學科與教科書的邏輯體系,通過跨學科概念將各種相互關(guān)聯(lián)的學科勾連起來,基于真實任務(wù)情境進行問題解決,促進學生體會學科之間相互依賴的關(guān)系,培養(yǎng)他們的高階思維和核心素養(yǎng)[3].對于數(shù)學教科書中的例題的內(nèi)容來說,就是在題干的設(shè)計上使得兩個或者多個學科的內(nèi)容融合,在探索蘊含真實的情境中所蘊含的關(guān)系中,發(fā)現(xiàn)和提出問題,運用數(shù)學和其他學科的知識與方法分析和解決問題[1].

1.2 例題

例題是教科書中涵蓋新知識并帶有詳細解答過程的數(shù)學問題,是數(shù)學樣例的主要表現(xiàn)形式之一.例題一般由數(shù)學問題以及解答步驟構(gòu)成,是對于數(shù)學原理以及概念的具體化表達.例題具有展示問題、描述解決過程、解釋數(shù)學概念與規(guī)則、提高解決問題能力等多項復(fù)合功能[5].本文中的“數(shù)與代數(shù)部分的例題”,指的是“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域”中的例題.

2 問題的提出

“課標”提出,培養(yǎng)學生綜合能力,提升學生核心素養(yǎng).隨著時代的發(fā)展,傳統(tǒng)的教育模式下學科之間界限明顯,知識之間關(guān)聯(lián)不強,知識點相對零散,已經(jīng)難滿足當下教育發(fā)展新形勢的要求,因此加深不同學科之間的聯(lián)系是教育發(fā)展大勢所趨,是符合新時代的育人要求的.

教科書是數(shù)學知識的重要載體,是學生進行學習的重要工具,學生大部分的知識都來源于教科書,教師所教授的內(nèi)容也以教科書為依據(jù),因此教科書內(nèi)容的合理編制對于學生來說至關(guān)重要.同時,數(shù)學的學習離不開例題的練習,例題內(nèi)容的設(shè)置直接會影響到學生的學習效果甚至是思維的發(fā)展,因此在例題部分精心設(shè)計、加強學科之間的關(guān)聯(lián)同樣非常有必要.

跨學科教學在初中階段的實施國內(nèi)還處于探索階段,并沒有細化以及進一步落實.相關(guān)的研究現(xiàn)狀為:一是中國和澳大利亞、日本、新加坡等國外初中數(shù)學教科書跨學科內(nèi)容、設(shè)置理念及其比較研究[6-8]; 二是中國初中數(shù)學教材“跨學科”綜合實踐活動的比較研究[9];三是中國初中新手教師對數(shù)學教科書例題的認識及使用情況調(diào)查、教學與學習策略研究[10-14].

上述研究發(fā)現(xiàn),關(guān)于初中教材(2012年審定)數(shù)與代數(shù)部分的例題中跨學科問題還沒有系統(tǒng)分析和研究,這是有待深入研究的問題.

本文對于人教版初中教材(2012年審定)數(shù)與代數(shù)部分的例題中跨學科問題進行分析,并對教科書的編寫以及教師對于教科書的使用提出相應(yīng)的建議.

3 數(shù)與代數(shù)部分跨學科問題例題的分析

3.1 跨學科內(nèi)容例題在教科書中的分布情況

“課標”中將初中(7～9)階段劃分為第四學段,該學段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域主要分為數(shù)與式、方程與不等式以及函數(shù)[2]三個主題.在這一部分中,共有例題155道,分布如下(表1)

表1 例題所屬章節(jié)分布情況

可以發(fā)現(xiàn),在155道例題中,涉及跨學科內(nèi)容的例題共36道,占例題總數(shù)的23.23%,其中不等式與不等式組、一次函數(shù)以及反比例函數(shù)章節(jié)的例題中,涉及跨學科內(nèi)容的例題占比較大,分別達到了42.86%、44.44%、50.00%,有理數(shù)和二次函數(shù)則相對較少,只有18.18%、20%.而整式的乘法與因式分解、二次根式和一元二次方程則為0%.例題共涉及九個學科門類,各個學科的占比如圖1所示.我們可以發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)濟學以及交通運輸所占比重較大,分別達到了27.78%以及19.44%.環(huán)境工程學以及航空航天技術(shù)占比較少,僅為2.78%.整體來看,跨學科融合相關(guān)例題在所有例題當中占比并不是很大,涉及的學科門類并不廣泛.

圖1 例題內(nèi)容學科來源分布情況

通過對于初中數(shù)學教科書例題分析發(fā)現(xiàn)(如表2),數(shù)與式主題中例題最多,函數(shù)次之,方程與不等式最少.但是涉及跨學科內(nèi)容的例題所占比例函數(shù)主題最多,為38.71%,方程與不等式次之,占比為27.27%,數(shù)與式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨學科內(nèi)容的例題分布并不均衡,且不夠深入.

表2 例題所屬主題分布情況

3.2 跨學科內(nèi)容例題在教科書中呈現(xiàn)的案例

案例1(七年級下冊第九章不等式與不等式組第二節(jié)一元一次不等式例2)

去年某市空氣質(zhì)量良好(二級以上)的天數(shù)與全年天數(shù)(365)之比達到60%,如果明年(365天)這樣的比值要超過70%、那么明年空氣質(zhì)量良好的天數(shù)比去年至少要增加多少?

該例題出自于七年級下冊第九章第二節(jié)中,在這之前,學生學習了不等式的相關(guān)概念,為加強對知識的進一步理解和運用,本例題結(jié)合實際生活情境,將空氣質(zhì)量問題與數(shù)學結(jié)合,從跨學科實例中抽象出數(shù)學模型,引導(dǎo)學生在實際情境中運用不等式知識解決相關(guān)的問題.在本題中,主要將數(shù)學學科與化學(空氣成分)和環(huán)境工程學相結(jié)合,一方面讓學生初步認識用建立“數(shù)學模型化”的方法分析和解決具體問題,從而進一步提高學生學習數(shù)學興趣,并通過例題體驗和理解將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程和方法.另一方面可以引起學生們對于當前空氣質(zhì)量好與壞及其產(chǎn)生原因的思考,產(chǎn)生相關(guān)問題的好奇心,同時感受良好的空氣對于人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾?進而喚起學生的環(huán)保意識.

案例2(九年級下冊第二十六章第二節(jié)真實問題與反比例函數(shù)例3)

小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1 200 N和0.5 m.

(1)動力F與動力臂I有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當動力臂為1.5 m時,撬動石頭至少需要多大的力?

(2〉若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂I至少要加長多少?

這是一道結(jié)合情景解決反比例函數(shù)的問題,學生在本章第一節(jié)已經(jīng)對于反比例函數(shù)有了初步了解,并且在八年級下冊的物理課上,學生對于杠桿原理、阻力、阻力臂,動力、動力臂有了一定的了解,在此基礎(chǔ)之上,學生就可以根據(jù)已有知識經(jīng)驗,找出數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)學模型,進而解決實際問題.這道題將數(shù)學以及物理的學科知識進行融合,結(jié)合學生已有的數(shù)學以及物理知識解決了實際問題,一方面加深了學生對于數(shù)學知識的鞏固和運用,另一方面還可以幫助學生構(gòu)建完整的知識體系,體會學科間的密不可分性.

3.3 跨學科內(nèi)容例題在教科書中分布的廣度以及深度

在這些跨學科例題當中,共涉及9個學科門類,且大多是將數(shù)學與另外一個單一學科融合在一起,涉及兩個學科門類級以上的學科共3道,在這部分例題中,學科間的交叉融合并不深入,僅僅將其作為解決數(shù)學問題的情境支撐,整體來看,在初中數(shù)與代數(shù)部分,跨學科融合的廣度以及深度都有待提高.

4 教科書例題編寫的建議

4.1 在例題設(shè)置的內(nèi)容方面

人教版初中數(shù)學教科書關(guān)于數(shù)與代數(shù)部分涉及跨學科內(nèi)容的例題在總例題中的占比并不多,而且可能受課本篇幅的限制,例題的內(nèi)容都很簡單,與其他學科雖然有一定的聯(lián)系,但是并不深入,在學生學習的過程中,也很難同時注意到數(shù)學學科與其他學科知識的聯(lián)系,也就很難達到發(fā)展學生思維的目的.以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,教科書中的例題編寫不僅要設(shè)置跨學科的內(nèi)容,也要注重背景的介紹以及適當?shù)耐卣?結(jié)合學生的認知規(guī)律和現(xiàn)有水平,設(shè)置相應(yīng)的探究活動,引導(dǎo)學生創(chuàng)造性地理解學科間的關(guān)系,感受不同學科的美妙之處.

4.2 在例題設(shè)置的位置方面

初中階段的數(shù)與代數(shù)部分,是學生理解數(shù)學符號,以及感悟數(shù)學符號表達事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容,是學生初步形成抽象能力、推理能力、感悟用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的重要載體[1].

在數(shù)與式部分,要設(shè)置豐富的問題情境以及一些跨學科相關(guān)的探究活動,引導(dǎo)學生主動構(gòu)建不同學科間的聯(lián)系,這樣既可以引發(fā)學生學習興趣,讓學生們主動思考和學習,也可以讓學生感受到學科間的關(guān)聯(lián).在學生初步形成量感之后,對于數(shù)與式有了更深的認識,則可繼續(xù)結(jié)合具體實例深入學習.對于函數(shù)以及方程專題來說,則應(yīng)當編制不同類型的跨學科例題來理解數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律,了解常量和變量變化的意義,加深與其他學科的聯(lián)系,抽象出存在于其中的數(shù)學模型,探索不同的未知量之間的關(guān)系.增強學生知識的運用以及遷移能力.

4.3 在例題設(shè)置的廣度以及深度方面

學生的學習具有整體性和一貫性,因此例題的內(nèi)容設(shè)置也要呈現(xiàn)一定的系統(tǒng)性.人教版教科書跨學科問題例題中,涉及了九個一級學科門類,相對來說種類較少,且多為數(shù)學與一門其他學科的融合,是窄而淺的,只是簡單設(shè)置情境,沒有引發(fā)學生對于其他學科內(nèi)容的深度思考,學生還是將注意力完全放在解決數(shù)學問題上,掌握公式、定理,機械化的解決數(shù)學問題,這樣是沒有辦法進一步發(fā)展學生的創(chuàng)新創(chuàng)造能力的.因此數(shù)與代數(shù)部分例題的編寫要加大數(shù)學與其他學科的聯(lián)系,而不僅僅是將跨學科內(nèi)容作為數(shù)學學習的一個背景,并且考慮將多個學科同時融入例題當中,提高數(shù)與代數(shù)跨學科問題例題的廣度,當然,也不是涉及的學科門類越多越好,也要考慮到是否合適,使學生以超學科的態(tài)度進行學習和探究,才能更好的提升學生的核心素養(yǎng).

4.4 在例題設(shè)置的類型方面

除了重視數(shù)學與其他學科的交叉融合之外,現(xiàn)代教育對于數(shù)學文化融入數(shù)學教學也日益重視,通過對于數(shù)學學科與一些人文學科的融合,比如數(shù)學文化以及數(shù)學史,使得學生可以在這當中感悟數(shù)學家們鍥而不舍的探究精神,產(chǎn)生對于數(shù)學家們的崇拜之情,并在這個過程中感受到數(shù)學的高峰并不是不可攀登,進而培養(yǎng)學生們的探索精神以及學好數(shù)學的信心.因此,在例題的編寫部分,也要充分重視數(shù)學文化內(nèi)容的滲透對于學生數(shù)學學習的重要作用,將數(shù)學文化的內(nèi)容融入到例題的編寫中去,使例題更加鮮活,更加生動,引導(dǎo)學生感受到數(shù)學的文化美.

4.5 教師對于教材的使用

教師是教學的實踐者,應(yīng)該不斷的更新自己的教育理念,意識到學科融合是教育發(fā)展的大勢所趨,并將其滲透到教學的全過程當中去.因此,教師應(yīng)當深入研讀教科書,有意識引導(dǎo)學生深入挖掘例題中的跨學科知識,拓寬學生的知識面,培養(yǎng)學生的跨學科意識.對于例題中跨學科內(nèi)容有些欠缺的部分,教師需要針對所講授的內(nèi)容適當進行拓展,引導(dǎo)學生在更加豐富的情境中解決數(shù)學問題.在這個過程中,培養(yǎng)學生跨學科的應(yīng)用意識和實踐能力,提高學生核心素養(yǎng).