周子驥，張 楠

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

脫軌系數(shù)是車輪一側(cè)的橫向力與豎向力的比值,用來判斷輪緣在橫向力的作用下是否會(huì)逐漸爬上軌頭而脫軌。由于輪軌力受軌道不平順等隨機(jī)因素的影響,對(duì)脫軌系數(shù)的研究必須考慮這種外部影響的隨機(jī)性。

車橋耦合振動(dòng)在各種確定性荷載作用下的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟。主要關(guān)注數(shù)值算法、車橋模型優(yōu)化以及各種外部激勵(lì)(如軌道不平順、風(fēng)和地震荷載等)的建模[1-5]。研究車橋系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的主要方法有蒙特卡洛法[6]、極值響應(yīng)面法[7]、增強(qiáng)法[8]、子集模擬[9]、概率密度演化理論[10]、虛擬激勵(lì)法[11]等。Yu等[12-13]采用概率密度演化理論研究了考慮橋梁質(zhì)量、剛度、阻尼隨機(jī)性和軌道隨機(jī)不平順時(shí)的橋梁動(dòng)力響應(yīng)。李小珍等[14]、張志超[15]和He等[16]采用虛擬激勵(lì)法研究了隨機(jī)荷載作用下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。Zhang等[17]利用虛擬激勵(lì)法得到輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差,建立行車安全指標(biāo)的概率分布函數(shù),并對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。Poliakov等[18]結(jié)合多種方法研究了車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng),并對(duì)駕駛安全指標(biāo)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。

在隨機(jī)振動(dòng)理論研究中,通常假設(shè)隨機(jī)響應(yīng)服從正態(tài)分布(特別是車-橋系統(tǒng)),然后利用這一規(guī)律評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全性。然而,脫軌系數(shù)是輪軌橫向力與豎向力之比,其統(tǒng)計(jì)分布尚未得到研究?，F(xiàn)有對(duì)脫軌系數(shù)的概率研究采用統(tǒng)計(jì)方法。此方法可以求脫軌系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征,但是需要大樣本。計(jì)算量過于繁重,而且結(jié)果也表現(xiàn)出波動(dòng)性。脫軌系數(shù)是衡量行車安全的重要指標(biāo)。如果能夠有效地獲得其精確的概率分布函數(shù),將為行車安全研究提供重要的支持。本文采用輪軌豎向密貼和簡(jiǎn)化線性Kaller橫向蠕滑理論關(guān)系建立車-橋輪軌關(guān)系模型。通過虛擬激勵(lì)法和時(shí)程計(jì)算,得到橫向和垂直輪軌力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。利用同分布概率演化法,結(jié)合輪軌力的均值與標(biāo)準(zhǔn)差得到脫軌系數(shù)的近似正態(tài)分布條件及其柯西似分布函數(shù)。通過蒙特卡洛法驗(yàn)證了脫軌系數(shù)高度服從正態(tài)分布,其柯西似分布函數(shù)可以較好的運(yùn)用于統(tǒng)計(jì)研究。最后通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文方法的正確性。

1 車-橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型與輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差的求解

1.1 車-橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型

一般來說,每節(jié)車輛由三種部件組成:車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)。車體與轉(zhuǎn)向架、轉(zhuǎn)向架與輪對(duì)分別由二系懸掛系統(tǒng)和一系懸掛系統(tǒng)連接。每個(gè)懸掛系統(tǒng)都由線性彈簧和黏性阻尼器組成。車體和轉(zhuǎn)向架各有5個(gè)自由度:沉浮(z方向)、橫擺(y方向)、搖頭(ψ角度)、點(diǎn)頭(φ角度)和側(cè)滾(θ角度)。輪對(duì)有3個(gè)自由度:沉浮、橫擺和側(cè)滾。車輛模型在文獻(xiàn)[19]中進(jìn)行了詳細(xì)描述,見圖1。

圖1 車輛模型

采用模態(tài)疊加法建立橋梁動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)橋梁系統(tǒng)作如下假設(shè):①假設(shè)橋梁與軌道共同運(yùn)動(dòng),忽略兩者的相對(duì)位移;②作用在接觸點(diǎn)的力只分配到相鄰的橋梁節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)力的大小取決于輪對(duì)與橋梁節(jié)點(diǎn)之間的距離。

車-橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中:Mv、Cv、Kv為列車系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;Φb為橋梁模態(tài)矩陣;Ωb和ξb分別為橋梁模態(tài)頻率矩陣和阻尼矩陣;Fv、Fb分別為車輛、橋梁系統(tǒng)所受的外荷載向量;Xv、Xb分別為車輛、橋梁系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)向量。

1.2 輪軌接觸關(guān)系

由于虛擬激勵(lì)法只適用于線性系統(tǒng),采用輪軌豎向密貼和橫向簡(jiǎn)化Kaller線性蠕滑關(guān)系建立了車輛橋梁輪軌關(guān)系模型。對(duì)于中國(guó)常用的普通車輪半徑而言,簡(jiǎn)化線性蠕滑模型與線性蠕滑模型之間的誤差僅為0.13%～4.43%[3]。

1.3 輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差的求解

(2)

式中:Γ(t)為作用力指示向量,按照靜力等效原理將輪軌力分配到相鄰的橋梁節(jié)點(diǎn)上;G(t)為調(diào)制函數(shù)矩陣,G(t)=diag[g(t-t1);g(t-t2);…;g(t-tn)],g(·)為調(diào)制函數(shù),tn為n個(gè)輪對(duì)的上調(diào)時(shí)間;V(t)為時(shí)間滯后矩陣,由輪對(duì)相對(duì)位置決定,V(t)=diag[e-iωt1… e-iωtj… e-iωtn];S(ω)為軌道不平順功率譜密度函數(shù);ω為頻率;t為時(shí)間;i為虛數(shù);n為輪對(duì)總數(shù)。

(3)

式中:h(t-τ,τ)為第τ時(shí)刻脈沖響應(yīng)函數(shù)。

系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)功率譜矩陣Suu(ω,t)為

Suu(ω,t)=u(ω,t)*·u(ω,t)T

(4)

式中:Suu(ω,t)為虛擬響應(yīng)的功率譜;上標(biāo)*為取共軛。由于軌道不平順之間不存在相關(guān)性,因此不存在響應(yīng)的互譜。

最后,根據(jù)隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度矩陣,求得系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的均方根為

(5)

式中:σu(t)為響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差;Δω為頻率增量;m為系統(tǒng)頻率截?cái)鄶?shù);ωi為頻率劃分。

輪軌接觸力的標(biāo)準(zhǔn)差可以通過虛擬激勵(lì)法得到[20]。本文考慮了輪對(duì)慣性力。因此,由軌道不平順產(chǎn)生的隨機(jī)力和力矩可表示為

(6)

Fz(w,t)=Γ(t)G(t)V(t)×

(7)

Fθ(w,t)=Γ(t)G(t)V(t)×

(8)

式中:Fy(ω,t)、Fz(ω,t)、Fθ(ω,t)分別為橫向、豎向輪軌力、扭轉(zhuǎn)力矩矩陣;Kz1、Cz1分別為一系懸掛系統(tǒng)豎向剛度與阻尼;Mw為輪對(duì)質(zhì)量;Cc為簡(jiǎn)化線性蠕滑阻尼;Sa、Sv、Sc分別為軌道方向、高低與水平不平順功率譜;b1為軌距的一半。

當(dāng)研究輪軌力時(shí),u(ω,t)取系統(tǒng)輪軌力的虛擬響應(yīng),然后通過式(5)可求得輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 脫軌系數(shù)的同分布概率演化法

車輛隨時(shí)間的變化其對(duì)應(yīng)的橋梁位置也在變化,因此車-橋系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。軌道不平順性是零均值高斯過程,因此對(duì)于線性輪軌接觸模型,橫、豎向輪軌相互作用力在各時(shí)刻均服從正態(tài)分布。脫軌系數(shù)為兩個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的比值。假設(shè)x、y分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,a、b為非負(fù)常數(shù)。當(dāng)常數(shù)a<2.5、b>4,則(x+a)/(y+b)近似服從高斯正態(tài)分布[21]。

(9)

輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差與豎向力的均值恒大于0,但橫向力的均值在不同時(shí)刻存在正負(fù)值的情況,因此式(9)可寫為

(10)

對(duì)于近似正態(tài)分布的滿足條件而言,比較嚴(yán)格。對(duì)于更一般的情況,當(dāng)y+b恒大于零時(shí),(x+a)/(y+b)服從的概率分布函數(shù)為

(11)

式中:m為隨機(jī)數(shù);P為概率分布函數(shù);Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

當(dāng)uy≥0時(shí)

(12)

當(dāng)uy<0時(shí)

(13)

其概率密度函數(shù)可由公式(11)求得

(14)

式中:φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)。

3 算例計(jì)算及結(jié)果分析

根據(jù)式(11),脫軌系數(shù)的柯西似分布概率密度函數(shù)可以直接由橫、豎向輪軌相互作用力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差得到。首先驗(yàn)證脫軌系數(shù)滿足近似正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)條件,然后利用蒙特卡洛法測(cè)試不同車速、不同軌道不平順譜、不同橋梁撓跨比下脫軌系數(shù)樣本是否服從(或近似服從)正態(tài)分布和柯西似分布。對(duì)于脫軌系數(shù)服從正態(tài)概率密度函數(shù)的檢驗(yàn)采用Kolmogorov-smirnov檢驗(yàn)(K-S檢驗(yàn))[22]?？挛魉品植紮z驗(yàn)由式(14)畫出擬合曲線,觀察擬合情況。

采用的軌道不平順譜分別為中國(guó)譜、德國(guó)低干擾譜和德國(guó)高干擾譜,采用速度為270、300、330 km/h。當(dāng)使用中國(guó)譜時(shí),車速為330 km/h,而當(dāng)考慮德國(guó)高干擾譜或橋梁大變形時(shí),車速為270 km/h。軌道不平順譜和列車參數(shù)見文獻(xiàn)[3];橋梁采用3跨32 m簡(jiǎn)支梁橋,其參數(shù)見表1。通過改變橋梁的抗彎慣性矩來改變橋梁的撓跨比。列車施加在橋上的力和力矩見圖2。

表1 橋梁參數(shù)

圖2 作用在橋梁上的力向量示意(單位:cm)

3.1 近似正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)條件

由上節(jié)可知,當(dāng)|uy/σy|<2.5和uz/σz>4時(shí),脫軌系數(shù)近似服從正態(tài)分布。通過虛擬激勵(lì)法計(jì)算輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差,通過時(shí)程計(jì)算得到輪軌力的均值(忽略軌道不平順),計(jì)算結(jié)果見圖3、圖4。

圖3 單側(cè)橫、豎向輪軌力的均值

圖3為正常情況下和對(duì)橋梁橫、豎向抗彎慣性矩進(jìn)行折減后大撓度情況下橫、豎向輪軌力的均值。圖4為不同工況下橫、豎向輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差。其中,德低代表德國(guó)低干擾譜、德高代表德國(guó)高干擾。由圖4可知,輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差均有時(shí)變特性,因此本文采用的方法可以應(yīng)用于時(shí)變問題的求解。

增大橋梁動(dòng)撓度主要影響橋梁的均值,對(duì)輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差影響很小。從計(jì)算結(jié)果可以看出,即使是最不利的情況,即,uz/σz=5.59和|uy/σy|=0.07,也滿足近似正態(tài)分布的條件。因此,可以認(rèn)為高速鐵路脫軌系數(shù)近似服從正態(tài)分布。

3.2 脫軌系數(shù)的柯西似分布與近似正態(tài)分布的檢驗(yàn)

首先對(duì)脫軌系數(shù)樣本進(jìn)行高斯性測(cè)試。采用蒙特卡洛法生成10 000個(gè)樣本。對(duì)每個(gè)時(shí)間步的數(shù)據(jù)進(jìn)行柯西似分布與正態(tài)分布檢驗(yàn),判斷脫軌系數(shù)是否服從正態(tài)分布與柯西似分布。計(jì)算時(shí)間步為1 575,因此每個(gè)工況檢驗(yàn)次數(shù)也為1 575;顯著性水平設(shè)為0.01。選出各種工況下統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不合格的數(shù)據(jù),繪制概率密度檢驗(yàn)圖。當(dāng)不通過數(shù)量大于3個(gè),則隨機(jī)選取3個(gè)樣本。如果當(dāng)前工況的檢驗(yàn)均通過,則繪制列車到達(dá)橋梁跨中處的脫軌系數(shù)的測(cè)試數(shù)據(jù)檢驗(yàn)圖。

3.2.1 不同車速工況

對(duì)車速為270 km/h的工況進(jìn)行K-S正態(tài)概率密度函數(shù)檢驗(yàn),所有樣品均通過測(cè)試。列車到達(dá)橋梁跨中處的脫軌系數(shù)檢驗(yàn)見圖5。從圖5可知,柯西似分布函數(shù)與計(jì)算數(shù)據(jù)直方圖基本吻合。

同樣,在車速為300 km/h的情況下,所有樣本均通過了K-S正態(tài)概率密度函數(shù)檢驗(yàn)。列車到達(dá)橋梁跨中處的脫軌系數(shù)檢驗(yàn)見圖6,由圖6可知,柯西似分布函數(shù)基本上與計(jì)算數(shù)據(jù)直方圖一致。

圖6 v=300 km/h德國(guó)低干擾譜的概率密度檢驗(yàn)

然而,當(dāng)車速為330 km/h時(shí),有三個(gè)樣本的K-S正態(tài)概率密度檢驗(yàn)失敗。繪制這三個(gè)樣本的脫軌系數(shù)檢驗(yàn)圖,見圖7。由圖7可知,樣本在均值處明顯穿越了正態(tài)概率密度函數(shù)曲線。但是計(jì)算數(shù)據(jù)仍然非常接近正態(tài)分布。對(duì)于柯西似分布函數(shù),其在樣本均值處的擬合明顯優(yōu)于正態(tài)概率密度。

圖7 v=330 km/h德國(guó)低干擾譜的概率密度檢驗(yàn)

3.2.2 不同軌道譜工況

中國(guó)譜和德國(guó)高干擾譜工況的計(jì)算結(jié)果分別見圖8和圖9。對(duì)于中國(guó)譜,所有樣本的K-S正態(tài)概率密度函數(shù)檢驗(yàn)均通過,列車到達(dá)橋梁跨中處的脫軌系數(shù)檢驗(yàn)見圖8,由圖8可知,柯西似分布函數(shù)基本與計(jì)算數(shù)據(jù)直方圖一致。

圖8 v=330 km/h中國(guó)譜的概率密度檢驗(yàn)

圖9 v=330 km/h德國(guó)高干擾譜的概率密度檢驗(yàn)

當(dāng)使用德國(guó)高干擾譜時(shí),測(cè)試失敗總數(shù)為48。隨機(jī)選取三個(gè)時(shí)刻的脫軌系數(shù)樣本進(jìn)行概率密度曲線擬合,見圖9。在均值附近有少量樣本穿越正態(tài)概率密度函數(shù)曲線。盡管如此,樣本擬合總體趨勢(shì)仍然高度服從正態(tài)分布。對(duì)于柯西似分布,在樣本均值處,其擬合效果明顯優(yōu)于正態(tài)分布函數(shù)。因此,柯西似分布函數(shù)更適合用于脫軌系數(shù)的概率分布研究。

3.2.3 橋梁大撓度工況

橋梁大撓度情況下的計(jì)算結(jié)果,所有計(jì)算樣本均通過K-S正態(tài)概率密度函數(shù)檢驗(yàn)。列車到達(dá)橋梁跨中處的脫軌系數(shù)檢驗(yàn)見圖10。

圖10 橋梁大撓度工況的概率密度檢驗(yàn)

所有檢驗(yàn)結(jié)果見表2。未能通過檢驗(yàn)數(shù)最多的工況為德國(guó)高干擾譜工況,失效數(shù)目為48,占檢測(cè)總數(shù)的3%左右。其次是車速為330 km/h時(shí),德國(guó)低干擾譜工況,失效樣本數(shù)為3。結(jié)合圖4(b)可知,采用德國(guó)高干擾譜時(shí),豎向力標(biāo)準(zhǔn)差最大;其次是車速為330 km/h的德國(guó)低干擾譜工況。uz/σz越小,則失效樣本越多,符合本文理論研究。本文的德國(guó)高干擾譜工況,車速已經(jīng)超過了德國(guó)規(guī)范要求,且德國(guó)高干擾譜不適用于高速鐵路。因此對(duì)于高速列車而言,其輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)超過本文的德國(guó)高干擾譜工況。列車速度運(yùn)行越快,采用的軌道不平順樣本越光滑,因此可以說明對(duì)于高速鐵路而言,列車的脫軌系數(shù)高度服從正態(tài)分布。其次,本文的柯西似分布函數(shù)對(duì)脫軌系數(shù)樣本的擬合要優(yōu)于正態(tài)分布函數(shù)。因此,柯西似分布函數(shù)更適合于脫軌系數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)研究。

表2 正態(tài)分布檢驗(yàn)結(jié)果

3.3 測(cè)試數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

取文獻(xiàn)[3]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)脫軌系數(shù)概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合研究。輪軌力的測(cè)試數(shù)據(jù)見圖11,脫軌系數(shù)概率密度函數(shù)的擬合結(jié)果見圖12。由圖12可知,測(cè)試數(shù)據(jù)大致服從正態(tài)分布和柯西似分布?？紤]測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)的不可控因素與測(cè)試誤差,可認(rèn)為本文研究的理論方法與試驗(yàn)結(jié)果是一致的。

圖11 輪軌力的測(cè)試數(shù)據(jù)

圖12 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)擬合

4 結(jié)論

本文采用同分布概率演化法闡述脫軌系數(shù)的概率分布函數(shù)。通過蒙特卡洛法驗(yàn)證脫軌系數(shù)高度服從正態(tài)分布,其柯西似分布能夠準(zhǔn)確的擬合脫軌系數(shù)樣本。最后,通過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了理論方法的正確性。得到以下結(jié)論:

1)對(duì)于行駛在橋梁上的高速鐵路列車,其脫軌系數(shù)高度近似服從高斯正態(tài)分布。

2)通過比較脫軌系數(shù)的正態(tài)概率密度函數(shù)和柯西似分布概率密度函數(shù),發(fā)現(xiàn)柯西似分布函數(shù)對(duì)脫軌系數(shù)樣本的擬合效果較好,更適合于脫軌系數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)研究。