摘要：結(jié)合具體案例闡述主題化習(xí)題課的內(nèi)涵，其環(huán)節(jié)一般包括激活經(jīng)驗(yàn)獲得主題、聚焦本質(zhì)建構(gòu)方法、遷移應(yīng)用發(fā)展能力三個(gè)關(guān)鍵步驟，對(duì)教師的專業(yè)能力提出了更高的要求.選擇主題要符合學(xué)生的需求，在實(shí)施教學(xué)時(shí)要突出對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：主題化；習(xí)題課；主題化習(xí)題課

數(shù)學(xué)習(xí)題是學(xué)生鞏固知識(shí)、總結(jié)方法、形成經(jīng)驗(yàn)的載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)不可或缺的一部分.然而，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)習(xí)題課存在習(xí)題不具備典型性、課堂一味強(qiáng)調(diào)大容量訓(xùn)練等問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)習(xí)題課缺乏興趣、思維難以提升.筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，用主題化習(xí)題課研究融合知識(shí)技能的鞏固提升和數(shù)學(xué)思想方法的理解，從單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)化、問題解決思考有序化、數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化三個(gè)視角探索主題化習(xí)題課教學(xué)的一般形式和方法.

1 主題化習(xí)題課的概述

所謂主題化習(xí)題課教學(xué)^［1］，是指在基礎(chǔ)知識(shí)的回顧和整理及基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能訓(xùn)練后，綜合運(yùn)用單元知識(shí)對(duì)某些類別的典型或重要問題進(jìn)行深入研究，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，積累可遷移的解題經(jīng)驗(yàn).筆者將主題化習(xí)題課分為：主題化單元復(fù)習(xí)習(xí)題課、主題化專題復(fù)習(xí)習(xí)題課、主題化拓展性教學(xué)習(xí)題課.

主題化單元復(fù)習(xí)習(xí)題課（以下簡(jiǎn)稱單元習(xí)題課），通常安排在某個(gè)章節(jié)或單元內(nèi)容學(xué)習(xí)之后，學(xué)生通過適量的、有梯度的習(xí)題的解決，梳理出知識(shí)結(jié)構(gòu)，串珠成鏈，體會(huì)其思想方法，達(dá)到單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化的目的.主題化專題復(fù)習(xí)習(xí)題課（以下簡(jiǎn)稱專題習(xí)題課），一般安排在各單元學(xué)習(xí)之后，或是專題復(fù)習(xí)之時(shí)，運(yùn)用“整體—聯(lián)系”的視角，將各個(gè)相關(guān)知識(shí)串線成網(wǎng)；或是運(yùn)用一種思想方法解決一類數(shù)學(xué)問題，做到問題解決思考有序化，它能有效解決教材中各塊知識(shí)螺旋上升的問題.主題化拓展性教學(xué)習(xí)題課（以下簡(jiǎn)稱拓展習(xí)題課）是將課內(nèi)、課外的知識(shí)組織起來，形成一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)的融合，學(xué)生通過運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)或思想解決這類問題，實(shí)現(xiàn)發(fā)展思維、提升素養(yǎng)的目的，做到數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化，它是教學(xué)的有益補(bǔ)充.

2 主題化習(xí)題課的教學(xué)

主題化習(xí)題課教學(xué)能將零散的、碎片化的知識(shí)進(jìn)行整合，有助于學(xué)生提煉解決問題的一般方法，在知識(shí)的再認(rèn)識(shí)過程中加深對(duì)其本質(zhì)的理解，進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通、運(yùn)用自如.筆者在研究的過程中形成了如下教學(xué)思路（如圖1），使得單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)化，問題解決思考有序化，數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化.現(xiàn)分步驟進(jìn)行闡述.

2.1 激活經(jīng)驗(yàn)，獲得主題

此環(huán)節(jié)的重點(diǎn)在于通過精心設(shè)置研究主題，以典型問題引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.在實(shí)施過程中要注意構(gòu)建合適的主題，厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)或所呈現(xiàn)的思想方法，并制定好相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)；依據(jù)目標(biāo)，選擇典型的習(xí)題（或題組），學(xué)生自主解決問題，教師及時(shí)追問，以此達(dá)到激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的目的，所設(shè)置的習(xí)題應(yīng)具備典型性、思考性、啟發(fā)性，并且習(xí)題入口要寬，難度不宜過大.

2.1.1 單元習(xí)題課：激活舊知，思考知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)

單元習(xí)題課，重在激活舊知，啟發(fā)學(xué)生思考零碎的知識(shí)點(diǎn)之間是否有關(guān)聯(lián)，能否建立聯(lián)系.例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后安排的習(xí)題課，設(shè)計(jì)如下引例.

案例1 函數(shù)y=x²-2x-1圖象上有兩點(diǎn)P（x₁，p），Q（x₂，q），且p＞q.請(qǐng)你找出一組符合條件的x₁，x₂的值.

教學(xué)簡(jiǎn)述：學(xué)生通過嘗試，寫出x₁，x₂的值.教師提問“請(qǐng)判斷你所寫的值是否正確，你是怎樣判斷的？”自然獲得代入法.接著，教師通過追問“有沒有一眼望穿的方法？”順勢(shì)歸納出圖象法，并引導(dǎo)學(xué)生將所寫的x₁，x₂進(jìn)行分類，根據(jù)對(duì)稱軸（直線x=1）及p＞q的情況分成對(duì)稱軸左側(cè)、右側(cè)、兩側(cè)三類，由此啟發(fā)學(xué)生思考這三類情況涉及的數(shù)學(xué)知識(shí).

分析：通過此例，一方面，學(xué)生歸納了解決此類問題的常用方法（代入法和圖象法）；另一方面，通過啟發(fā)學(xué)生思考解法背后隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略之間架起來一座橋梁，構(gòu)建了研究主題.

2.1.2 專題習(xí)題課：激活經(jīng)驗(yàn)，思考問題解決的方法

專題習(xí)題課，重在激活經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建解決此類問題的一般方法，形成規(guī)范、有序思考問題的習(xí)慣.例如，在“運(yùn)用對(duì)稱解決一類幾何問題”^［1］習(xí)題課中，設(shè)置如下引例.

案例2 在△ABC中，AB=AC，若P是AB邊上一點(diǎn)，連接CP.請(qǐng)?jiān)贏C邊上找一點(diǎn)Q，連接BQ，使之變?yōu)檩S對(duì)稱圖形，寫出一組條件.

教學(xué)簡(jiǎn)述：通過添加條件（如BP=CQ），變成軸對(duì)稱圖形后，思考是否可以得到有關(guān)相等的角、相等的線段、全等圖形的新結(jié)論.細(xì)思緣由，均源于等腰三角形的對(duì)稱性.進(jìn)一步生成新問題——在①AB=AC，②BQ=CP，③BP=CQ中任選兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成命題，試寫出其中的真命題.

分析：從熟悉的等腰三角形中積累經(jīng)驗(yàn)，可先將不對(duì)稱的圖形，通過添輔助線，變成軸對(duì)稱圖形（如圖2）；觀察通過添輔助線后出現(xiàn)了怎樣的新圖形，從新圖形中發(fā)現(xiàn)了怎樣的結(jié)論或新的解題思路，由此歸納解決這類對(duì)稱圖形問題的一般方法，為運(yùn)用此方法解決問題作準(zhǔn)備.

2.1.3 拓展習(xí)題課：激活思維，思考研究問題的方法

拓展習(xí)題課，重在以知識(shí)點(diǎn)為紐帶，激活思維，構(gòu)建學(xué)習(xí)主題.如在“黃金分割主題化拓展性教學(xué)”^［2］中，由斷臂維納斯雕像抽象出黃金分割的概念、計(jì)算出黃金比后，設(shè)置如下引例.

案例3 （1）如圖3，設(shè)AB＝a，BC＝b，記φ=a+ba=ab，則（）.

A.φ²=1+φ

B.φ²=1-φ

C.φ²=5+φ

D.φ²=5-φ

（2）如圖3，B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABFE和正方形BCHG，得到矩形ACME（如圖4）.通過計(jì)算，找出圖4中的黃金矩形.

教學(xué)簡(jiǎn)述：對(duì)于第（1）題，學(xué)生得到φ²＝φ＋1后，教師啟發(fā)，兩邊同除以φ后，得φ=1+1φ，進(jìn)而可得φ=1+11+1φ，φ=1+11+11+……；若寫成假分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)11，21，32，53，85，……；學(xué)生發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列，通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)值接近黃金比的倒數(shù)1.62.對(duì)于第（2）題，學(xué)生通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)矩形HMFG也是黃金矩形，教師通過追問“在矩形HMFG中再得到一個(gè)黃金矩形”，近而體會(huì)無限分割的思想.

分析：通過黃金分割的代數(shù)表達(dá)和其在二維圖形中的幾何表達(dá)設(shè)置引例，關(guān)聯(lián)繁分?jǐn)?shù)斐波那契數(shù)列、黃金矩形等相關(guān)知識(shí)，激活問題解決的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)用有限估計(jì)無限的思想以及無限分割的思想，為引出黃金螺線、斐波那契螺線作鋪墊，以此為數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化作準(zhǔn)備.

2.2 聚焦本質(zhì)，建構(gòu)方法

主題化學(xué)習(xí)不只是學(xué)習(xí)單一的概念、原理，更重要的是基于理解將看似孤立的、靜態(tài)的、分散的學(xué)習(xí)內(nèi)容，內(nèi)在地“組織”起來，形成有一定關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生用“怎樣研究一類數(shù)學(xué)對(duì)象”的大觀念引領(lǐng)知識(shí)體系的重構(gòu)，其核心在相互聯(lián)系中深化對(duì)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，建構(gòu)解決問題的方法.

2.2.1 單元習(xí)題課：?jiǎn)卧R(shí)網(wǎng)絡(luò)化

單元習(xí)題課，重在將零碎的知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，使學(xué)生從整體上理解知識(shí)的本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)體系.

例如，在“解一元二次方程習(xí)題課”^［3］中，將開平方法的步驟中增加一步，由x²＝a，得（x＋a）（x＋a）＝0，則x＝±a，由此可將開平方法和因式分解法統(tǒng)一起來；對(duì)于配方法，將ax²＋bx＋c＝0（a≠0）配成（2ax＋b）²＝b²-4ac≥0后，利用因式分解得（2ax＋b＋b²-4ac）（2ax＋b-b²-4ac）＝0，則2ax＋b＋b²-4ac＝0或2ax＋b-b²-4ac＝0，進(jìn)而獲得一元二次方程的求根公式.這樣，學(xué)生就理解了配方法、公式法和因式分解法一樣，都是通過降次實(shí)現(xiàn)“化歸”.這樣將四種解法統(tǒng)一起來，理解四種解法的內(nèi)在一致性，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化.

2.2.2 專題習(xí)題課：?jiǎn)栴}解決的思考有序化

專題習(xí)題課，重在從不同知識(shí)背景中建構(gòu)出解決問題的一般方法，使問題解決的思考有序化.

在案例2中，已知AB=AC，BQ=CP，未必能推出BP=CQ.因?yàn)橐訠為圓心，以BQ長(zhǎng)為半徑作圓，與AC邊有兩個(gè)交點(diǎn).此時(shí)可繼續(xù)研究，將另一個(gè)交點(diǎn)記為Q′，如圖5，連接BQ′后，觀察產(chǎn)生的新圖形——等腰三角形BQQ′和兩對(duì)相似三角形（△BPF∽△BQA，△FQC∽△APC），此時(shí)就可以求任何一條線段的長(zhǎng)度.引導(dǎo)學(xué)生嘗試添加條件，給出一些線段的長(zhǎng)度，求BF的長(zhǎng).

教師也可以增加難度，給出條件“AB=AC=10，BP=4，CQ=2”，讓學(xué)生思考具體的解法.

最后形成解決此類問題的一般思考方式：在對(duì)稱圖形中，嘗試先將不對(duì)稱問題通過添輔助線將之轉(zhuǎn)化成軸對(duì)稱圖形問題，然后觀察產(chǎn)生了哪些新的圖形，從新圖形的解題套路中獲得解題思路.

2.2.3 拓展習(xí)題課：數(shù)學(xué)拓展應(yīng)用生活化

拓展習(xí)題課，重在通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，掌握研究問題的一般方法.例如，在案例3中，學(xué)生體會(huì)到無限分割的思想后，得到斐波那契螺線和黃金螺線（如圖6），同時(shí)展示如圖7的圖片.

培養(yǎng)學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)斐波那契螺線、黃金螺線，建立他們與黃金矩形的廣泛聯(lián)系，同時(shí)也獲得了一類幾何對(duì)象的研究方法.

2.3 遷移應(yīng)用，發(fā)展能力

主題化學(xué)習(xí)還需要將知識(shí)或方法遷移到新的問題情境中加以應(yīng)用，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程，體會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，而不是機(jī)械的記憶、模式化的套用和重復(fù)性的訓(xùn)練.在主題化習(xí)題課中，所使用的問題應(yīng)具有一定的梯度和層次性，幫助學(xué)生充分挖掘問題的核心與本質(zhì)，在變化和應(yīng)用中促使學(xué)生深入思考，在不斷轉(zhuǎn)化過程中把握問題的本質(zhì)，尋找新的解決問題的方法，在問題解決過程中，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解以及方法的掌握，拓展思維的深度和廣度，從而發(fā)展數(shù)學(xué)能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

在單元習(xí)題課“一元二次方程解法習(xí)題課”的遷移環(huán)節(jié)，可給出習(xí)題“解方程x-1＝2”.面對(duì)這樣相對(duì)陌生的問題，學(xué)生需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移.由解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn)可知，解方程最終需要化成“x＝？”的形式，怎樣化歸，學(xué)生自然會(huì)想到兩邊平方.這樣，學(xué)生就將一元二次方程解法中的“通過降次”實(shí)現(xiàn)化歸，正向遷移到“通過兩邊平方”實(shí)現(xiàn)化無理方程為有理方程的化歸，做到思想方法上的遷移.

在專題習(xí)題課“運(yùn)用對(duì)稱解決一類幾何問題”^［1］的遷移環(huán)節(jié)，安排如下習(xí)題：

如圖8，在矩形ABCD中，CE平分∠ACB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，若∠1=∠2，求ABBC的值.

利用矩形ABCD中AD邊的中點(diǎn)F，通過連接BF（如圖9），或取BC中點(diǎn)M，連接DM（如圖10），將之變成軸對(duì)稱圖形，然后觀察，產(chǎn)生新的圖形等腰三角形，即可推得答案，實(shí)現(xiàn)解題策略上的遷移.

在拓展習(xí)題課“黃金分割主題化拓展性教學(xué)”遷移環(huán)節(jié)，安排學(xué)生研究由人馬圖抽象成的正五邊形ABCDE，如圖11.學(xué)生根據(jù)前兩個(gè)環(huán)節(jié)，獲得了研究幾何對(duì)象的經(jīng)驗(yàn)，將此遷移到正五邊形，只需研究正五邊形的角、邊以及線段之間的關(guān)系.學(xué)生經(jīng)過合作，獲得了“F和J是對(duì)角線BE的一對(duì)黃金分割點(diǎn)”“sin 18°·cos 36°＝14”等遠(yuǎn)超老師預(yù)設(shè)的結(jié)論.學(xué)生學(xué)會(huì)了如何研究一個(gè)幾何對(duì)象，實(shí)現(xiàn)了研究方法上的遷移.

3 主體化習(xí)題課的教學(xué)思考

3.1 主題的選擇要契合學(xué)生的需要

在確定主題化習(xí)題課學(xué)習(xí)主題時(shí)應(yīng)充分考慮學(xué)生的需要，明確哪些主題能將看似孤立的、分散的知識(shí)按照一定的結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合在一起，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通；哪些主題能幫助學(xué)生揭示其背后的通性通法，高效地解決某一類問題；哪些主題能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性.例如，學(xué)生在學(xué)完一元二次方程的四種解法后，需要選擇適當(dāng)?shù)慕夥焖偾蠼夥匠?，需要體會(huì)四種解法的內(nèi)在一致性，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化.再如，學(xué)生學(xué)完等腰三角形、矩形、菱形、正方形等軸對(duì)稱圖形之后，需要利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，快速轉(zhuǎn)化條件形成解題有序思考路徑.又如，學(xué)生學(xué)完黃金分割，需要利用黃金比串連起分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列、黃金矩形等相關(guān)知識(shí)，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)人文、建筑、藝術(shù)中蘊(yùn)含的“黃金”之美，形成研究一類新的幾何對(duì)象的一般方法.教師如果善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這些需要，那么利用適量的、典型的、有啟發(fā)性的習(xí)題.即可構(gòu)建起邏輯連貫、前后一致的學(xué)習(xí)主題.

3.2 教學(xué)的實(shí)施要突出思維的培養(yǎng)

學(xué)生思維能力的培養(yǎng)貫穿整個(gè)主題化習(xí)題課的教學(xué).在教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生有序思考的能力，不一味機(jī)械地重復(fù)操練，讓學(xué)生“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.例如，在揭示一元二次方程四種解法內(nèi)在一致性的單元習(xí)題課中，學(xué)生知道四種解法均是通過“降次”的方法實(shí)現(xiàn)化歸之后，教師通過設(shè)置問題“x+1＝2怎樣解”，通過追問“解方程最終要化成什么形式”“通過怎樣的方法能化成這樣的形式”來啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生明確也可通過“兩邊平方”實(shí)現(xiàn)將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，進(jìn)一步體會(huì)化歸思想.又如，學(xué)生掌握了研究幾何對(duì)象的一般方法后，通過自主研究正五邊形，獲得了比教師預(yù)設(shè)的更多的結(jié)論.如圖11中，可以利用JE，AJ重新構(gòu)造正五邊形，新構(gòu)造的正五邊形與原正五邊形的邊長(zhǎng)之比是5-12，而且可以一直構(gòu)造下去.這一成果離古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)和證明無理數(shù)僅一步之遙.更重要的是，在解題過程中先讓學(xué)生充分思考，做到“學(xué)生先行、交流在中、教師斷后”，幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，達(dá)到會(huì)一題通一片的效果，培養(yǎng)有序思考能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 教學(xué)的深入取決于教師專業(yè)素養(yǎng)

主題化習(xí)題課的設(shè)計(jì)與實(shí)施需要教師有系統(tǒng)、整體地分析內(nèi)容及駕馭課堂的能力，需要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)主題，幫助學(xué)生連貫、深入、有序地研究和思考問題；需要選擇、改編或者原創(chuàng)典型的、適量的、有啟發(fā)性的習(xí)題，在更高認(rèn)知層次上形成解決一類問題的一般方法，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).這些均需要教師有較高的專業(yè)素養(yǎng).教師應(yīng)不斷加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和思考，將主題化習(xí)題課教學(xué)推向深入.

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