楊 光， 孫 錦， 趙阿輝， 林海波， 王 琳

（1.華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院 鄭州，450046）

（2.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210098）

（3.華北水利水電大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院 鄭州，450046）

引 言

我國西部地區(qū)已建或在建一批高拱壩，這些巨型工程既帶來了巨大的效益，也引起了嚴(yán)峻的安全問題。由于失事后果的災(zāi)難性，高拱壩安全受到廣泛和密切的關(guān)注［1-2］。變形是高拱壩結(jié)構(gòu)性態(tài)動態(tài)變化的直觀反映，亦是衡量安全狀況的一項(xiàng)重要指標(biāo)。采取有效的變形監(jiān)控措施，有助于技術(shù)人員及時捕捉到異常現(xiàn)象，確保工程安全運(yùn)行［3-5］。

HST 模型［6-7］常用于監(jiān)控拱壩變形變化，其將拱壩變形歸結(jié)為3 個分量：水壓和溫變分量體現(xiàn)了主要荷載作用下的變形瞬時效應(yīng)；時效分量則反映了徐變、蠕變等因素影響下的變形時變效應(yīng)。目前，HST 模型已向縱深發(fā)展［8］，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論被引入，依托HST 的復(fù)合建模、多點(diǎn)建模等新理念也相繼被提出。總體來看，多數(shù)研究著重考察了高拱壩單點(diǎn)變形變化，對變形空間分布、各部位變形間相互影響等隱含特征考慮較少，而這些隱含特征卻包含有高價值的狀態(tài)信息。

受到邊界約束、結(jié)構(gòu)型式、地質(zhì)條件、材料性質(zhì)及荷載的綜合影響，高拱壩變形變化呈現(xiàn)出群體相似特征［9］。與單測點(diǎn)相比，監(jiān)控變形規(guī)律相似的測點(diǎn)群更能如實(shí)反映結(jié)構(gòu)的運(yùn)行狀態(tài)。一些學(xué)者依據(jù)面板數(shù)據(jù)理論，考慮群體變形相似特征，建立了HST 面板模型［10-11］，盡管取得了一定進(jìn)展，但仍存在如下不足：①將測點(diǎn)群內(nèi)個體變形統(tǒng)一解釋為水壓、溫變和時效分量，未刻畫邊界約束等因素的影響，這些因素對個體變形的作用效應(yīng)存在一定差異，難以理論表征；②與HST 配套使用的置信區(qū)間準(zhǔn)則［7，12］依據(jù)典型小概率原理建立，僅可辨識出單測點(diǎn)的異常變形。

針對上述問題，筆者以變形規(guī)律相似的測點(diǎn)群為監(jiān)控對象，將固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)［13］引入到HST中，研究考慮個體差異效應(yīng)的測點(diǎn)群變形分析模型構(gòu)建方法。在此基礎(chǔ)上，借助多元統(tǒng)計(jì)和典型小概率原理，將置信區(qū)間向多維置信橢球推廣，探究測點(diǎn)群變形監(jiān)控準(zhǔn)則，并結(jié)合工程實(shí)例分析，檢驗(yàn)該監(jiān)控方法的性能。

1 監(jiān)控方法

1.1 水壓、溫變和時效面板模型

假設(shè)某高拱壩的所有測點(diǎn)已被劃分為若干個變形變化特征相似的測點(diǎn)群，記為G1，G2，…，Gp，…。設(shè)m為Gp中監(jiān)測點(diǎn)的個數(shù)，x為Gp中某監(jiān)測點(diǎn)，n為監(jiān)測時長，t為監(jiān)測日期，uGp為Gp的變形監(jiān)測序列，ux為x的 監(jiān)測序列，ut，x為x在日期t的監(jiān)測值。依據(jù)面板數(shù)據(jù)格式［14-15］，uGp可表示為

1.1.1 水壓面板模型

ux的水壓 面板模型u?x，H可表 示為

依據(jù)式（2），建立uGp的水壓面板模型u?Gp，H，可表示為

其 中：aGp，H=[a1，Ha2，H…am，H]為 系 數(shù) 矩 陣；HGp=為m階分塊矩陣。

1.1.2 溫變面板模型

ux的溫變面板模型記作u?x，S，其表達(dá)式為

基于式（4），構(gòu)建uGp的溫變面板模型u?Gp，S，可表示為

其 中：aGp，S=[a1，Sa2，S…am，S] 為 系 數(shù) 矩 陣；tGp=為m階分塊矩陣。

1.1.3 時效面板模型

ux的時效 面板模型u?x，T為

利用式（6），建立uGp的時效面板模型u?Gp，T，其表達(dá)式為

其 中：aGp，T=[a1，Ta2，T…am，T]為 系 數(shù) 矩 陣；θGp=為m階分塊矩陣。

1.2 HST-FE/RE 面板模型

記aGp為uGp的 固定/隨 機(jī) 效應(yīng)，ax為ux的 固 定/隨機(jī)效應(yīng)，αt，x為ut，x的固定/隨機(jī)效應(yīng)，aGp表示為

HST-FE/RE 面板 模型u?Gp可 表示為

若 對 于 任 意x=1，2，…，m，a1，x=a2，x=…=at，x=…=an，x均成立，則式（9）為固定效應(yīng)構(gòu)型；若對于任意x，y=1，2，…，m，ax和ay為相互獨(dú)立的正態(tài)分布，且滿足期望E(ax)=0，方差VAR(ax)=，則式（9）為隨機(jī)效應(yīng)構(gòu)型。

本 研 究 利 用Hausman 檢 驗(yàn)［13，16］決 策HST-FE/RE 構(gòu)型，采用廣義最小二乘法［17］確定待定系數(shù)矩陣aGp，H，aGp，S，aGp，T和aGp，應(yīng) 用t檢 驗(yàn) 評 價 因 子 重 要性，并使用復(fù)相關(guān)系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差評定模型精度。

1.3 置信橢球監(jiān)控準(zhǔn)則

記HST-FE/RE 面板模型對變形數(shù)據(jù)的擬合序列為，即

殘差序列εGp可表示為

對于任意x，y=1，2，…，m，εx和εy服從一元正態(tài)分布且相互獨(dú)立。依據(jù)多元統(tǒng)計(jì)理論［18-19］，εGp服從m元正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

ωGp為均值矩陣，表示為

ΨGp為協(xié)方差矩陣，表示為

當(dāng)顯著性水平取α?xí)r，存在

置信水平α對應(yīng)的概率密度函數(shù)值記為fα，則存在如下關(guān)系

將協(xié)方差矩陣ΨGp進(jìn)行特征值分解，得到特征向量矩陣R與特征值矩陣Λ，即

R為正交矩陣，存在

可得

其中：rx為λx對應(yīng)的特征向量。

將式（21）代入式（17）中，可得

式（22）的幾何意義為m維概率空間中的置信橢球，球心為ωGp，半軸長為λx f α′，坐標(biāo)方向?yàn)閞x。

依據(jù)典型小概率原理，設(shè)置2 級置信水平α和β，其中α為正常和基本正常的臨界狀態(tài)，β為基本正常和異常的臨界狀態(tài)，則置信橢球監(jiān)控準(zhǔn)則可表示為

本研究算法流程如圖1 所示。

圖1 算法流程Fig.1 Process of the proposed methodology

2 工程實(shí)例

甲高拱壩為混凝土雙曲拱壩，壩頂高程為1 885.0 m，最低建基面高程為1 580.0 m，最大壩高為305.0 m，壩頂寬度為16.0 m，最大跨度為480.0 m，正常蓄水位為1 880.0 m，死水位為1 800.0 m。圖2 為甲高拱壩垂線監(jiān)測點(diǎn)布置圖，32 個垂線監(jiān)測點(diǎn)布置在5#，9#，11#，13#，16# 和19# 壩 段，編 號 為No.1~No.32。

圖2 甲高拱壩垂線監(jiān)測點(diǎn)Fig.2 Observation points of the investigated high arch dam

2.1 變形規(guī)律相似的測點(diǎn)群劃分

2014-01-01 至2015-06-30，32 個 測 點(diǎn) 的 徑 向變形及上游水位過程線如圖3 所示，利用文獻(xiàn)［9］的方法劃分變形特征相似的測點(diǎn)群。該方法采用綜合距離衡量變形相似程度，并自下而上劃分測點(diǎn)群，32 個測點(diǎn)的分群過程如圖4 所示。綜合距離與合并次數(shù)的關(guān)系如圖5 所示。由圖4，5 可知，經(jīng)過31 次合并，所有測點(diǎn)成為1 個群。在第30 次合并時，綜合距離發(fā)生突變，變形規(guī)律差異較大的2 個測點(diǎn)群被合并。因此，32 個測點(diǎn)被劃分為3 個變形相似的測點(diǎn)群，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ群。變形規(guī)律相似的測點(diǎn)群如圖6 所示，由圖可知：Ⅰ群大致在拱壩上部；Ⅱ群分布在拱壩中部；Ⅲ群位于靠近壩基與近岸山體的部位。不同測點(diǎn)群的徑向變形對比如圖7 所示，Ⅰ群測點(diǎn)的徑向變形如圖8 所示，可以看出：同群測點(diǎn)的變形量級及變化規(guī)律相似，如PL5-1 和PL5-2；而異群測點(diǎn)的變形特征差異較大，如PL5-1和PL13-5。

圖3 徑向變形及上游水位過程線Fig.3 Time series of radial deformation and upstream water level

圖4 32 個測點(diǎn)的分群過程Fig.4 Grouping process of the 32 observation points

圖5 綜合距離與合并次數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between the comprehensive distance and combination time

圖6 變形規(guī)律相似的測點(diǎn)群Fig.6 Observation point groups with similar deformation behaviors

圖7 不同測點(diǎn)群的徑向變形對比Fig.7 Comparison of radial deformation among observation point groups

圖8 Ⅰ群測點(diǎn)的徑向變形Fig.8 Time series of radial deformation of Group Ⅰ

2.2 Ⅰ測點(diǎn)群變形監(jiān)控

利用Ⅰ群測點(diǎn)（PL9-1，PL9-2，PL11-1，PL11-2，PL13-1 及PL13-2）的 徑 向 變 形（圖8）和 庫 水 位（圖3）監(jiān)測資料，建立HST-FE/RE 面板模型。應(yīng)用STATA 軟件進(jìn)行Hausman 檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，原假設(shè)被拒絕，選用固定效應(yīng)構(gòu)型。HST-FE/RE 模型系數(shù)如表1 所示，Ⅰ群變形監(jiān)測值、擬合值和殘差如圖9 所示，可知復(fù)相關(guān)系數(shù)為99.875%，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.016 34，擬合精度較高。HST-FE/RE 模型變形最大變幅中各分量占比如表2 所示，可知最主要的影響因素為水壓，其次為溫變，最后為時效和固定效應(yīng)。

表1 HST-FE/RE 模型系數(shù)Tab.1 Coefficients of the HST-FE/RE model

表2 HST-FE/RE 模型變形最大變幅中各分量占比Tab.2 Component proportions of maximum amplitude of the HST-FE/RE model

圖9 Ⅰ群變形監(jiān)測值、擬合值和殘差Fig.9 Deformation monitoring values, fitting values and residuals of Group Ⅰ

為檢驗(yàn)HST-FE/RE 面板模型的性能，與文獻(xiàn)［7］中的HST 模型進(jìn)行對比分析。圖10 為HST 和HST-FE/RE 的變形預(yù)測值，經(jīng)計(jì)算，HST 模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)為94.125%，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.053 14，HST-FE/RE 的擬合精度高于HST。圖11 為HST和HST-FE/RE 的變形預(yù)測相對誤差，分別利用HST-FE/RE 和HST 預(yù) 測PL9-1 測 點(diǎn)2015-07-01 至2015-07-31 的徑向變形，最大相對誤差分別為3.28%和12.69%，且HST-FE/RE 的相對誤差過程線更平穩(wěn)。與HST 相比，HST-FE/RE 的預(yù)測性能更佳。

圖10 HST 和HST-FE/RE 的變形預(yù)測值Fig.10 Deformation prediction results of the HST and HSTFE/RE

圖11 HST 和HST-FE/RE 變形預(yù)測相對誤差Fig.11 Deformation prediction relative errors of the HST and HST-FE/RE

依據(jù)HST-FE/RE 建模結(jié)果，輸出矩陣εGp，計(jì)算矩陣ΨGp和ωGp，分別將α和β設(shè)置為0.05 和0.01，可在6 維概率空間中構(gòu)建2 個置信橢球，置信橢球在坐標(biāo)面上的投影如圖12 所示，其中：實(shí)線為正常和基本正常的臨界狀態(tài)；虛線為基本正常和異常的臨界狀態(tài)。依據(jù)置信橢球準(zhǔn)則，監(jiān)控Ⅰ群測點(diǎn)2015-07-01 至2015-07-31 的徑向變形變化處于正常范圍內(nèi)，其徑向變形監(jiān)控如圖13 所示。

圖12 置信橢球在坐標(biāo)面上的投影Fig.12 The projections of confidence ellipsoids on coordinate planes

圖13 2015-07-01 至2015-07-30 徑向變形監(jiān)控Fig.13 Radial deformation monitoring from 2015-07-01 to 2015-07-30

2.3 討 論

1） 在監(jiān)控測點(diǎn)群變形變化時，僅用水壓、溫變和時效3 個常規(guī)分量難以對模型進(jìn)行解釋。由于考慮了個體差異效應(yīng)，HST-FE/RE 的性能優(yōu)于HST。本研究建立的HST-FE/RE 面板模型適用于分析高拱壩短期變形變化，對于長期變形可以采用分段建模的方式解決。

2） 置信橢球準(zhǔn)則是置信區(qū)間準(zhǔn)則在多維概率空間中的推廣，相較于置信區(qū)間準(zhǔn)則，置信橢球準(zhǔn)則對典型小概率變形的辨識更為嚴(yán)格。若測點(diǎn)群變形狀態(tài)發(fā)生變化，例如：正?！菊；蚧菊！惓?，則表明高拱壩變形群體相似特征發(fā)生了不同程度的改變。

3 結(jié) 論

1） 布置于高拱壩的測點(diǎn)可劃分為若干個變形規(guī)律相似的群體，在刻畫測點(diǎn)群變形變化時，僅采用水壓、溫變和時效分量是不夠的，需將測點(diǎn)群變形的個體差異效應(yīng)考慮在內(nèi)。

2） 在建立水壓、溫變和時效面板模型的基礎(chǔ)上，引入FE 和RE 表征個體差異效應(yīng)，據(jù)此提出了HST-FE/RE 面板模型。綜合應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)理論和典型小概率原理，建立了置信橢球準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)了測點(diǎn)群變形變化同步監(jiān)控。

3） 工程實(shí)例分析顯示：HST-FE/RE 和HST 變形擬合復(fù)相關(guān)系數(shù)分別為99.875%和94.125%，剩余標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.016 34 和0.053 14，HST-FE/RE的擬合精度比HST 高；HST-FE/RE 的相對誤差波動比HST 更為平穩(wěn)，最大值分別為3.28% 和12.69%，預(yù)測性能優(yōu)于HST；作為置信區(qū)間準(zhǔn)則在多維概率空間中的推廣，置信橢球準(zhǔn)則對典型小概率變形的辨識更為嚴(yán)格。因此，將HST-FE/RE 和置信橢球準(zhǔn)則相結(jié)合監(jiān)控高拱壩變形變化是可行的，其性能優(yōu)于常規(guī)方法。