姜彥翠， 陳興儒， 羅廣丹， 劉獻(xiàn)禮， 仇 焱

（哈爾濱理工大學(xué)先進(jìn)制造智能化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 哈爾濱，150080）

引 言

數(shù)控機(jī)床是現(xiàn)代生產(chǎn)、制造過程中的重要加工設(shè)備，其性能優(yōu)劣主要是根據(jù)加工工件的尺寸精度和表面加工質(zhì)量來評定的，這些因素均受到數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，主要包括主軸、刀柄及銑刀等部件，各結(jié)構(gòu)和部件間通過結(jié)合面連接而成，預(yù)測其動態(tài)特性，需要建立一個有效而精確的模型，進(jìn)而獲得模態(tài)參數(shù)［1］。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中剛度和阻尼很大比例來自于結(jié)合面，主軸系統(tǒng)動態(tài)特性受到結(jié)合面的接觸特性影響很大。主軸結(jié)合面主要為主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面和主軸-軸承結(jié)合面，而且在銑削工況下，主軸結(jié)合面受到離心力、陀螺力矩和銑削載荷等作用，其接觸特性與靜止?fàn)顟B(tài)和空轉(zhuǎn)狀態(tài)下均有變化。因此，考慮銑削工況結(jié)合面的影響，獲得確切的主軸系統(tǒng)動態(tài)特性，對銑削穩(wěn)定和提高工件表面加工質(zhì)量非常重要。

一些學(xué)者針對主軸結(jié)合面進(jìn)行了研究［2-3］，通過理論分析或?qū)嶒?yàn)測試建立結(jié)合面接觸剛度模型。在主軸系統(tǒng)動態(tài)特性研究中，很多都考慮了主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面的影響。Schimitz 等［4］提出了導(dǎo)納耦合子結(jié)構(gòu)分析法（receptance coupling substructure analysis，簡稱RCSA），通過在結(jié)合面添加彈簧阻尼單元，借以等效結(jié)合面的剛度和阻尼特性，進(jìn)行特征參數(shù)辨識，進(jìn)而預(yù)測刀尖頻響函數(shù)。許多學(xué)者對RCSA 法進(jìn)行了改進(jìn)［5-7］，預(yù)測了不同銑削加工設(shè)備的動態(tài)特性。有別于RCSA 這種半理論法，趙萬華等［8］通過理論分析建立主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面的解析模型，并將其引入主軸系統(tǒng)理論模型中。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［9］考慮了離心力和軸向力對主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面的影響。

此外，主軸-軸承結(jié)合面同樣對主軸系統(tǒng)動態(tài)特性有重要影響。Bert 等［10］基于Timoshenko 梁 理 論建立了主軸-軸承耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型。Li 等［11］預(yù)測了軸承和主軸的力熱特性。文獻(xiàn)［12］建立了包括主軸、刀柄、軸承、軸承座和機(jī)床支架的動力學(xué)模型。文獻(xiàn)［13］針對高速電主軸建立了自由狀態(tài)和工作狀態(tài)下的動力學(xué)模型，并分析了工作狀態(tài)下主軸轉(zhuǎn)速對主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。Long 等［14］研究了主軸-軸承結(jié)合面動力學(xué)特性隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律。Xi 等［15］提出考慮主軸殼體和多種形式軸承組合的主軸系統(tǒng)的動力學(xué)模型，分析了不同轉(zhuǎn)速下主軸系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)，研究了幾種切削載荷下主軸軸承系統(tǒng)的時程響應(yīng)。張正旺等［16］綜合主軸結(jié)合面非線性接觸力，對主軸系統(tǒng)非線性動力學(xué)特征進(jìn)行研究。Xu 等［17］利用子結(jié)構(gòu)耦合法進(jìn)行主軸-刀柄結(jié)合面參數(shù)識別，利用赫茲理論建立主軸-軸承接觸剛度模型，并預(yù)測主軸系統(tǒng)動態(tài)特性。

學(xué)者們對于主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的研究重點(diǎn)主要集中在主軸系統(tǒng)空轉(zhuǎn)狀態(tài)下的主軸結(jié)合面接觸剛度的軟化效應(yīng)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，而筆者則針對銑削工況下高速旋轉(zhuǎn)并受銑削載荷作用的主軸系統(tǒng)進(jìn)行了研究。首先，考慮銑削工況下徑向銑削載荷、軸向銑削載荷、主軸旋轉(zhuǎn)離心力和陀螺力矩，建立了主軸結(jié)合面的解析模型；其次，將其與主軸系統(tǒng)動力學(xué)模型進(jìn)行耦合，得到系統(tǒng)動力學(xué)耦合模型，并通過在銑削過程中機(jī)床主軸系統(tǒng)動態(tài)特性實(shí)驗(yàn)測試，驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性；最后，分析主軸轉(zhuǎn)速、徑向銑削載荷和軸向銑削載荷等因素對主軸結(jié)合面剛度特征和系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

1 銑削工況主軸系統(tǒng)結(jié)合面接觸特性

1.1 主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面接觸剛度

數(shù)控加工中心主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面由液壓裝置和機(jī)械夾緊裝置進(jìn)行預(yù)緊連接，在此作用下使得結(jié)合面產(chǎn)生接觸剛度和接觸阻尼。銑削狀態(tài)下主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面剛度特征發(fā)生改變，主軸系統(tǒng)受力分析如圖1 所示。其中：Fx，F(xiàn)y和Fz為軸向銑削載荷；Fr為徑向銑削載荷Fr2分別為前后軸承支撐力；F0為主軸與刀柄夾緊的拉桿力；M0為刀柄與銑刀的預(yù)緊力矩。結(jié)合面受預(yù)緊力、軸向銑削載荷Fz和徑向銑削載荷Fr的作用，主軸-刀柄結(jié)合面和刀柄-銑刀結(jié)合面的平均法向力Pn1和Pn2分 別 為

圖1 主軸系統(tǒng)受力分析Fig.1 Force analysis of spindle system

其中：Fn1，F(xiàn)n2分別為主軸-刀柄和刀柄-銑刀結(jié)合面法向力；S1，S2分別為主軸-刀柄和刀柄-銑刀接觸面積；?1，?2，?3分別為刀柄夾角、夾緊件-刀柄夾角和夾 緊 件-螺 母 夾 角；L1，L2分 別 為 主 軸-刀 柄 和 刀柄-銑刀結(jié)合面軸向長度；r1，r2分別為結(jié)合面大半徑和小半徑；μ1，μ2，μ3，μ4分別為主軸-刀柄、夾緊件-銑刀、夾緊件-刀柄及夾緊件-螺母摩擦因數(shù)；r3為銑刀半徑；k0為預(yù)緊力矩系數(shù)；d為預(yù)緊螺母螺紋外徑。

以主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面中某截面為例，其徑向銑削載荷下的彈性變形如圖2 所示。結(jié)合面的接觸正壓力發(fā)生變化，即

圖2 徑向銑削載荷下主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面中某截面變形Fig.2 Deformation of an interface in spindle-tool holder-tool interface under radial milling load

其中：Pr為受到徑向銑削載荷后的結(jié)合面接觸正壓力；Pn為僅在預(yù)緊力作用下的結(jié)合面接觸正壓力；k(δ)為接觸壓力系數(shù)，可由吉村允孝積分曲線變換求得；δrm為徑向銑削載荷作用下結(jié)合面內(nèi)部件變形最大量，δrmFr R2，E為彈性模量，υ為泊松比，R為圓柱結(jié)合面半徑。

對于圓柱形結(jié)合面，由吉村允孝積分法［18］可以得到結(jié)合面的等效彈簧剛度為其中：α0，β0為結(jié)合面的接觸特性參數(shù)，主要受到結(jié)合面處材料性質(zhì)、材料粗糙度等物理特性因素的影響；L為圓柱結(jié)合面的長度。

在銑削工況下，依據(jù)彈性力學(xué)理論，在平面應(yīng)變下，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速為n，則離心力為ρn2R，結(jié)合面間將存在徑向間隙，其大小為

其中：b為主軸外徑。

結(jié)合面的徑向間隙在離心力的作用下發(fā)生變化，進(jìn)而使結(jié)合面接觸正壓力發(fā)生變化，因此結(jié)合面的接觸剛度發(fā)生變化。

通過主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面接觸剛度理論模型分析，得到徑向銑削載荷、軸向銑削載荷和主軸轉(zhuǎn)速對于結(jié)合面剛度的影響，分別如圖3~5 所示。由圖可知：隨著主軸轉(zhuǎn)速的增加，結(jié)合面接觸剛度下降，尤其在較高速時下降更為明顯，即離心力對于結(jié)合面接觸剛度有明顯的弱化作用；徑向銑削載荷對于結(jié)合面接觸剛度同樣表現(xiàn)為弱化作用；軸向銑削載荷對于結(jié)合面接觸剛度表現(xiàn)為強(qiáng)化作用。由結(jié)合面接觸剛度的變化幅度可以看出，對結(jié)合面接觸剛度影響最為明顯的是主軸轉(zhuǎn)速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

圖3 徑向銑削載荷和主軸轉(zhuǎn)速對結(jié)合面剛度的影響Fig.3 Influence of radial milling load and spindle speed on joint surface stiffness

圖4 軸向銑削載荷和主軸轉(zhuǎn)速對結(jié)合面剛度的影響Fig.4 Influence of axial milling load and spindle speed on joint surface stiffness

圖5 軸向銑削載荷和徑向銑削載荷對結(jié)合面剛度的影響Fig.5 Influence of axial milling load and radial milling load on joint surface stiffness

1.2 主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度

主軸系統(tǒng)中使用的軸承在銑削工況下，要同時受到軸向銑削載荷、徑向銑削載荷以及主軸高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下產(chǎn)生的離心力和陀螺力矩等影響，此時需要對其內(nèi)圈和外圈進(jìn)行平衡。軸承受載產(chǎn)生徑向相對位移和軸向相對位移，軸承第t個滾動體的方位角表達(dá)式為

其中：z為軸承中滾動體的數(shù)目。

滾動體幾何關(guān)系如圖6 所示，根據(jù)其中的變形關(guān)系，分析獲得軸承內(nèi)外圈的位移平衡方程為

圖6 滾動體幾何關(guān)系Fig.6 Geometric relationship of rolling elements

其中：Uit，Vit分別為內(nèi)外圈曲率中心軸向距和徑向距。

根據(jù)赫茲理論得到接觸載荷和內(nèi)外圈接觸變形位移之間的關(guān)系式，即

其中：Kit為內(nèi)圈赫茲接觸常數(shù)；Kot為外圈赫茲接觸常數(shù)。

主軸系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的滾動體受力分析如圖7所示，此時軸承滾動體的受力平衡方程為

圖7 滾動體受力分析Fig.7 Force analysis of rolling elements

其中：Qit，Qot為滾動體與內(nèi)外圈接觸載荷；αit，αot為滾動體與內(nèi)外圈接觸角；Mgt為陀螺力矩；Fct為離心力；D為滾動體直徑。

式（8）中，若應(yīng)用外圈控制理論，則λit=0，λot=2；若應(yīng)用內(nèi)圈控制理論，則λit=1，λot=1。當(dāng)應(yīng)用的控制理論不同時，滾動體所承受的離心力和陀螺力矩存在一定差異，但結(jié)果差異量微小，結(jié)合面剛度特性變化基本相同。

對軸承進(jìn)行整體的受力分析如下

其中：Ri為內(nèi)滾道曲率中心圓半徑；ri為內(nèi)滾道半徑；Frx為前、后主軸-軸承結(jié)合面受到的徑向載荷（見圖1），x=1，2。

聯(lián)立式（7）~（10），應(yīng)用Newton-Raphson 迭代法求解得到Ut，Vt，δit和δot的結(jié)果。通過坐標(biāo)變換獲得軸承內(nèi)圈不同自由度的受力平衡式，并累計所有滾動體與內(nèi)外圈接觸力，所得合力對位移求導(dǎo)，得到主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度矩陣。

根據(jù)理論模型運(yùn)算結(jié)果，得到軸向銑削載荷、徑向銑削載荷及主軸轉(zhuǎn)速對主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度影響分別如圖8~10 所示?？梢钥闯觯寒?dāng)軸向銑削載荷增加時，主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度緩慢升高，在大約800 N 后逐漸穩(wěn)定；當(dāng)徑向銑削載荷增加時，主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度逐漸降低，在大約500 N 以后加速下降；當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速增加時，主軸-軸承結(jié)合面的接觸剛度隨之降低，且轉(zhuǎn)速越大，降低越明顯。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)速增大，離心力和陀螺力矩隨之改變，導(dǎo)致軸承外圈接觸載荷逐漸增大，主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度隨之發(fā)生變化。

圖8 軸向銑削載荷對主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度影響Fig.8 Influence of axial milling load on contact stiffness of the spindle-bearing interface

圖9 徑向銑削載荷對主軸-軸承結(jié)合面接觸剛度影響Fig.9 Influence of radial milling load on contact stiffness of the spindle-bearing interface

1.3 銑削工況下主軸系統(tǒng)動力學(xué)模型

主軸系統(tǒng)有限元模型如圖11 所示，其中主軸、刀柄和銑刀等部件等效為Timoshenko 梁單元，結(jié)合面等效為彈簧阻尼單元。將主軸系統(tǒng)部件質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K、阻尼矩陣C和主軸-刀柄-銑刀結(jié)合面剛度矩陣Kc、阻尼矩陣Cc、主軸-軸承結(jié)合面剛度矩陣Kw、阻尼矩陣Cw耦合，邊界條件主要應(yīng)用彈性約束，主軸前端法蘭盤部分與機(jī)床主軸箱之間的聯(lián)接作用彈性支承模擬，獲得理論模型為

圖11 主軸系統(tǒng)有限元模型Fig.11 Finite element model of spindle system

其中：F為力向量。

主軸系統(tǒng)阻尼矩陣采用比例阻尼確定

其中：α1，β1為比例系數(shù)［8-9］。

應(yīng)用子空間迭代法求解獲取主軸系統(tǒng)動力學(xué)模型數(shù)值結(jié)果，得到銑削工況下的主軸系統(tǒng)的固有頻率和頻響函數(shù)。

2 銑削工況下主軸系統(tǒng)模型驗(yàn)證

采用一種銑削工況下的數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)動態(tài)測試方法來驗(yàn)證所建立模型的正確性，該方法以銑削載荷信號作為激勵，主軸系統(tǒng)銑削振動加速度信號作為響應(yīng)，通過測試數(shù)據(jù)分析與處理，獲得銑削工況下主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性［19-20］。這種方法一般要求激勵信號為隨機(jī)信號，而實(shí)際銑削載荷信號中必然含有周期信號，因此需剔除銑削載荷信號中周期信號引起的振動響應(yīng)諧頻。

由銑削載荷信號和振動響應(yīng)信號獲得銑削工況下系統(tǒng)頻響函數(shù)，采用奇異譜分析法對該頻響函數(shù)進(jìn)行奇異譜分析，選擇奇異值分量占比最大者作為主成分，將頻響函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)后，該階奇異值對應(yīng)的特征分量即可描述頻響函數(shù)的頻率固有特性，達(dá)到消除諧頻及干擾信號影響的效果，進(jìn)而提取動力學(xué)信息，獲取銑削工況下的機(jī)床主軸系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。奇異譜分析法具體過程如下。

1） 建立軌跡矩陣。實(shí)驗(yàn)采集原數(shù)據(jù)長為N，滑動窗口長為LP，KP=N-LP+1，采用列分割方式對軌跡矩陣進(jìn)行處理，第ip列數(shù)據(jù)為ip~Lp+ip-1，其中ip為列數(shù)，ip=1，2，…，KP，軌跡矩陣為

2） 奇異值分解。主要包括以下步驟：①計算XXT的特征值λi（i=1，2，…，N；λ1>λ2>…>λN）和特征向量ui；②計算右奇異向量原軌跡矩陣可表示為

3） 分組。主要是將有效數(shù)據(jù)與要剔除的諧頻進(jìn)行分組，選取前r個奇異值作為主成分進(jìn)行后續(xù)重構(gòu)等處理。

4） 重構(gòu)信號。依據(jù)上述分組結(jié)果將對應(yīng)的奇異向量進(jìn)行重構(gòu)

實(shí)驗(yàn)使用VDL-1000E 型數(shù)控加工中心，使用戴杰二刃整體硬質(zhì)合金球頭銑刀，加工工件Cr12MoV（HRC58），利用Kistler9257B 測力儀測試銑削載荷信號，利用PCB 加速度傳感器測試銑削振動響應(yīng)信號，靈敏度為10.42 mV/g。實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖12 所示。

圖12 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.12 Experimental setup

通過3 組銑削實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，參考制造企業(yè)實(shí)際銑削工藝，確定銑削實(shí)驗(yàn)工藝參數(shù)如表1 所示。

表1 銑削實(shí)驗(yàn)工藝參數(shù)Tab.1 Technological parameters of milling experiment

實(shí)驗(yàn)與仿真對比分析如圖13 所示，銑削狀態(tài)下的主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)比靜止?fàn)顟B(tài)下更貼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。主軸系統(tǒng)固有頻率對比如表2 所示，由表2 可以看出，銑削狀態(tài)下的主軸系統(tǒng)固有頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間誤差明顯低于靜止?fàn)顟B(tài)下主軸系統(tǒng)固有頻率的誤差。3 組工藝參數(shù)銑削過程中，系統(tǒng)前3 階固有頻率分別降低11.45%，10.88%和11.72%，銑削狀態(tài)下的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差比靜止?fàn)顟B(tài)下的誤差平均降低11.35%，證明銑削工況下主軸系統(tǒng)動力學(xué)模型能更準(zhǔn)確地反映銑削狀態(tài)下主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以作為銑削狀態(tài)下主軸系統(tǒng)動態(tài)特性預(yù)測模型。

表2 主軸系統(tǒng)固有頻率對比Tab.2 Comparison of natural frequency of spindle system

圖13 實(shí)驗(yàn)與仿真對比分析Fig.13 Comparative analysis of experiment and simulation

3 銑削工況下主軸系統(tǒng)動態(tài)特性分析

3.1 銑削工況下的主軸系統(tǒng)固有頻率分析

銑削工況下，考慮徑向、軸向及主軸轉(zhuǎn)速的主軸系統(tǒng)固有頻率分別如圖14~16 所示。由圖可知：當(dāng)徑向銑削載荷由0 增加到1 kN，由于徑向銑削載荷對結(jié)合面剛度特征的弱化效應(yīng)，1 階、2 階和3 階固有頻率分別降低了5.45%，5.37%和6.33%；當(dāng)軸向銑削載荷由0 增加到1 kN，由于軸向銑削載荷對結(jié)合面剛度特征的強(qiáng)化效應(yīng)，1 階、2 階和3 階固有頻率分別升高了4.28%，3.78% 和1.85%；當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速由0 增加到12 kr/min 時，由于離心力和陀螺力矩對結(jié)合面剛度特征的弱化效應(yīng)，1 階、2 階和3 階固有頻率分別降低了16.02%，7.35% 和5.54%。可以看出，對主軸系統(tǒng)固有特性影響最為明顯是主軸轉(zhuǎn)速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

圖14 考慮徑向銑削載荷的主軸系統(tǒng)固有頻率Fig.14 Natural frequency of spindle system considering radial milling load

圖15 考慮軸向銑削載荷的主軸系統(tǒng)固有頻率Fig.15 Natural frequency of spindle system considering axial milling load

圖16 考慮主軸轉(zhuǎn)速的主軸系統(tǒng)固有頻率Fig.16 Natural frequency of spindle system considering spindle speed

3.2 銑削工況下的主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)分析

考慮徑向銑削載荷、軸向銑削載荷及主軸轉(zhuǎn)速的頻響函數(shù)分別如圖17~19 所示?？梢钥闯觯簭较蜚娤鬏d荷增加時，各階固有頻率降低，且低階固有頻率振動幅值明顯增加；軸向銑削載荷增加時，各階固有頻率略有增加，其中2 階固有頻率振幅明顯下降；主軸轉(zhuǎn)速增加時，各階固有頻率降低，主軸轉(zhuǎn)速越大，降低速率越大，其中1 階固有頻率振幅略有下降，2 階固有頻率振幅明顯升高。

圖17 考慮徑向銑削載荷的頻響函數(shù)Fig.17 Frequency response function considering the radial milling load

圖18 考慮軸向銑削載荷的頻響函數(shù)Fig.18 Frequency response function considering the axial milling load

圖19 考慮主軸轉(zhuǎn)速的頻響函數(shù)Fig.19 Frequency response function considering the spindle speed

4 結(jié) 論

1） 建立銑削工況下的主軸結(jié)合面解析模型并分析其剛度特征，結(jié)果表明：隨著主軸轉(zhuǎn)速的增加，結(jié)合面接觸剛度下降，較高速時下降更明顯，即離心力對結(jié)合面接觸剛度有明顯弱化作用；徑向銑削載荷對結(jié)合面接觸剛度同樣表現(xiàn)為弱化作用；軸向銑削載荷對結(jié)合面接觸剛度表現(xiàn)為強(qiáng)化作用。其中，影響最為明顯的是主軸轉(zhuǎn)速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

2） 將結(jié)合面接觸特性解析模型與主軸系統(tǒng)有限元動力學(xué)模型耦合，建立銑削工況下軸承-主軸-刀柄-銑刀系統(tǒng)的有限元動力學(xué)耦合模型，并利用一種銑削狀態(tài)下主軸系統(tǒng)動力學(xué)測試方法，對理論模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，靜止?fàn)顟B(tài)下對比銑削工況下的預(yù)測結(jié)果誤差平均降低11.35%。

3） 轉(zhuǎn)速會顯著影響主軸系統(tǒng)固有頻率和頻響函數(shù)，銑削載荷也會對固有頻率和頻響函數(shù)產(chǎn)生不同程度的影響，主要體現(xiàn)在低階模態(tài)。研究結(jié)果為銑削狀態(tài)下主軸系統(tǒng)動態(tài)特性和銑削穩(wěn)定性準(zhǔn)確預(yù)測奠定理論基礎(chǔ)，為保證銑削過程穩(wěn)定和工件表面加工質(zhì)量提供理論支持。