孫 剛,張 威,來 燃,章 濤

(中國民航大學天津市智能信號與圖像處理重點實驗室, 天津 300300)

0 引 言

機載陣列雷達一般處于下視工作狀態(tài),面臨比地基雷達更為嚴重的地雜波問題,目標信號常常被淹沒在強雜波背景中,而且由于平臺運動,不同方位的雜波呈現(xiàn)出空時耦合特性,目標檢測能力受到嚴重影響[1]?？諘r自適應(yīng)處理(STAP)通過空域和時域二維聯(lián)合自適應(yīng)濾波,有效濾除機載雷達地雜波,實現(xiàn)動目標檢測[2]。采用STAP技術(shù)抑制雜波并檢測出運動目標后,需要對目標的空時二維參數(shù)進行估計[3],為后續(xù)目標定位、跟蹤和識別提供有效的參數(shù)信息。傳統(tǒng)的動目標參數(shù)估計方法主要是基于最大似然準則的二維參數(shù)搜索方法,這種方法的估計精度與搜索步長有關(guān),運算量較大[4]。

近年來,稀疏恢復成為信號處理領(lǐng)域的研究熱點[5-7]。稀疏恢復利用信號的稀疏先驗,通過構(gòu)造合適的信號稀疏模型,可從少量觀測樣本中高精度恢復出原始的稀疏信號,為機載陣列雷達目標參數(shù)估計提供新的研究方向[8]?；谙∈杌謴偷膭幽繕藚?shù)估計方法利用目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域上的稀疏特性,通過合適的稀疏恢復方法對目標信號進行重構(gòu),進而估計出目標的空時二維參數(shù)。文獻[4]使用基追蹤(BP)算法對無雜波回波數(shù)據(jù)進行稀疏恢復,實現(xiàn)了運動目標參數(shù)估計。文獻[8]采用正交匹配追蹤(OMP)方法對雷達回波數(shù)據(jù)進行稀疏恢復,實現(xiàn)了目標多普勒頻率的估計。

目前大多數(shù)基于稀疏恢復的動目標參數(shù)估計方法將目標參數(shù)空間對應(yīng)的空時平面離散地劃分為有限個網(wǎng)格點來構(gòu)建空時導向矢量字典,當目標真實參數(shù)沒有落在空時平面網(wǎng)格點上,即存在字典失配時,稀疏恢復性能下降[9-13]。為此,文獻[10-12]提出基于失配校正模型的稀疏貝葉斯學習(OGSBI)方法。然而,上述針對字典失配問題的參數(shù)估計方法所使用的誤差補償模型基于一階泰勒級數(shù)近似得到,當字典網(wǎng)格間隔較大時,模型近似誤差增大。文獻[14]提出利用全變分范數(shù)直接在連續(xù)參數(shù)空間上對稀疏信號進行精確重構(gòu),解決了稀疏恢復中的字典失配問題。文獻[15]提出了基于原子范數(shù)最小化(ANM)的稀疏恢復方法,并將ANM等價轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃(SDP)問題的求解,實現(xiàn)頻譜稀疏信號的精確恢復和頻率的超分辨率估計。文獻[16-17]通過將觀測數(shù)據(jù)矢量化處理以及對塊Toeplitz矩陣的范德蒙德分解,提出了解決二維頻率估計問題的ANM方法,為字典失配情況下的動目標參數(shù)估計提供了嶄新的思路。本文針對參數(shù)稀疏恢復中的字典失配問題,利用目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性,提出了一種基于原子范數(shù)的無網(wǎng)格動目標參數(shù)估計方法。仿真結(jié)果表明,本文方法在字典失配情況下的參數(shù)估計性能優(yōu)于已有基于字典網(wǎng)格的稀疏恢復參數(shù)估計方法。

1 信號模型

考慮采用均勻線陣的機載陣列雷達,如圖1所示。陣列天線由M個陣元組成,陣元間距d=λ/2,λ為雷達工作波長。載機平臺高度為H,且沿y軸運動,速度為vp,θ、φ分別為散射點P的俯仰角和方位角。雷達在一個相干處理間隔(CPI)內(nèi)發(fā)射K個脈沖,脈沖重復頻率為fr。假設(shè)待檢測單元內(nèi)最多存在一個目標,則該距離單元對應(yīng)的空時快拍數(shù)據(jù)xpri∈MK×1可以寫成

圖1 機載雷達陣列幾何結(jié)構(gòu)

xpri=xt+xc+xn

(1)

式中:xt為目標分量;xc為雜波分量;xn為噪聲分量;表示復數(shù)空間。xt可表示為

xt=γta(ft)=γtad(fd,t)?as(fs,t)

(2)

式中:γt表示目標回波復幅度;a(ft)∈MK×1,表示目標空時導向矢量;?表示Kronecker積。空域?qū)蚴噶縜s(fs,t)∈M×1定義為

as(fs,t)=[1,ej2πfs,t,…,ej2π(M-1)fs,t]T

(3)

時域?qū)蚴噶縜d(fd,t)∈K×1定義為

ad(fd,t)=[1,ej2πfd,t,…,ej2π(K-1)fd,t]T

(4)

式中:fs,t和fd,t分別為目標的歸一化空間頻率和歸一化多普勒頻率。

當目標相對于雷達作勻速運動時,其歸一化空間頻率為

(5)

式中:φt、θt分別為目標的方位角和俯仰角。

歸一化多普勒頻率為

(6)

式中:vt為目標相對于雷達的徑向速度。

2 基于固定離散字典模型的動目標參數(shù)估計及字典失配問題

2.1 基于固定離散字典模型的動目標參數(shù)估計

基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數(shù)估計方法將目標的空時二維參數(shù)——方位角和速度空間均勻離散地劃分為Ns×Nd個網(wǎng)格點,對應(yīng)的方位角參數(shù)空間和速度參數(shù)空間分別為{φ1,φ2,…,φNs}和{v1,v2,…,vNd},則離散化的空時導向矢量字典可以表示為

Φ=[a1,a2, …,aNsNd]=Vd(fd)?Vs(fs)

(7)

式中:Vs(fs)、Vd(fd)分別為空域?qū)蚴噶孔值浜蜁r域?qū)蚴噶孔值?即

Vs(fs)=

(8)

(9)

式(1)中空時快拍數(shù)據(jù)經(jīng)過雜波抑制[16]后,包含待估參數(shù)的目標觀測x的稀疏恢復模型可以表示為

x=Φξ+n

(10)

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξNsNd]T,為稀疏恢復支撐集向量,其每一個非零元素對應(yīng)一個目標參數(shù);n為噪聲分量。根據(jù)稀疏恢復理論,支撐集向量ξ可以通過以下最優(yōu)化方法獲得。

(11)

式中:‖·‖0表示0范數(shù);‖·‖2表示2范數(shù);ε表示稀疏恢復允許誤差。

通過稀疏恢復方法獲得支撐集向量ξ后,目標的空時二維參數(shù)可以由ξ中絕對值最大的非零元素位置所對應(yīng)的空時導向矢量獲得。由于式(11)所示的優(yōu)化問題是一個非確定性多項式難題(NP-hard),可以通過其松弛方法求解,如文獻[4]使用BP方法進行目標參數(shù)稀疏恢復。

2.2 字典失配問題

基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數(shù)估計方法中,字典由均勻離散化的目標參數(shù)空間對應(yīng)的空時導向矢量構(gòu)成。如圖2所示,當真實目標沒有落在離散化的參數(shù)空間網(wǎng)格點上時,存在字典失配問題,嚴重影響稀疏恢復性能。網(wǎng)格化方法構(gòu)造的字典不可避免地存在失配問題,即目標以較小概率位于網(wǎng)格點上。雖然縮小網(wǎng)格劃分間隔可增大目標落入網(wǎng)格點的概率,但是過于密集的字典網(wǎng)格不僅會導致字典中相鄰原子之間的相關(guān)性過強,稀疏恢復性能下降,而且字典的維數(shù)也會過大,運算量大大增加[18]。

圖2 字典失配示意圖

3 基于原子范數(shù)的無網(wǎng)格動目標參數(shù)估計

針對基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數(shù)估計方法存在的字典失配問題,本文提出一種基于原子范數(shù)的無網(wǎng)格動目標參數(shù)估計方法。

目標信號子空間可以由其空時導向矢量張成,回波數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣R可以分解為

(12)

連續(xù)目標參數(shù)空間對應(yīng)的空時導向矢量的集合可以表示為原子集合A,即

A{a(f)|a(f)∈MK×1,f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=

{ad(fd)?as(fs),fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(13)

(14)

根據(jù)目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性以及低秩矩陣恢復理論,目標信號xt可以通過其原子范數(shù)最小化估計獲得,即

(15)

(16)

式中:S(T)為K×K的塊Toeplitz矩陣,即

(17)

式中:Ti(1-K≤i≤K-1)為M×M的Toeplitz矩陣,即

(18)

本文算法的具體操作步驟如下:

步驟1 利用子空間投影技術(shù)[20]對待檢測單元數(shù)據(jù)進行雜波抑制,得到雜波抑制后的數(shù)據(jù)x;

4 仿真實驗

為了驗證本文方法的有效性,通過如下參數(shù)生成仿真數(shù)據(jù)。

天線陣為陣元數(shù)M=8的均勻線陣,陣元間距d=0.5λ,雷達工作波長λ=0.23 m,相干脈沖數(shù)K=8,脈沖重復頻率fr=2 434.8 Hz,載機平臺高度H=8 000 m,載機速度vp=140 m/s, 180個雜波單元在0°～180°均勻分布,雜噪比CNR=40 dB,雷達距離分辨率為37.5 m。勻速運動目標處于待檢測單元內(nèi),位于方位角φt=90.01°處,目標相對于雷達的徑向速度vt=98.99 m/s。實驗對比了本文方法、文獻[4]中的BP方法、文獻[8]中的OMP方法和文獻[12]中的OGSBI方法。OGSBI方法中最大迭代次數(shù)為2 000,超參數(shù)誤差最大值設(shè)置為1×10-3,蒙特卡羅實驗次數(shù)為500次。

圖3對比了本文方法、OGSBI方法、BP方法和OMP方法在不同信噪比下的動目標空時二維頻率估計結(jié)果。其中,圖3a)為信噪比SNR=10 dB時的估計結(jié)果,圖3b)為SNR=20 dB時的估計結(jié)果。BP方法和OMP方法中網(wǎng)格點數(shù)選取Ns=Nd=16,此時存在字典失配問題。從圖3可以看出,當存在字典失配問題時,BP方法和OMP方法會存在失配造成的估計誤差,OGSBI方法雖然不存在字典失配問題,但其估計結(jié)果誤差仍相對較大,而本文方法在字典失配時仍能高精度估計參數(shù)。

圖3 動目標空時二維頻率估計結(jié)果比較

為了比較字典失配問題在不同字典間隔情況下對BP方法的參數(shù)估計性能的影響,BP方法中網(wǎng)格點數(shù)分別選取為Ns=Nd=256,Ns=Nd=64,Ns=Nd=16,三種網(wǎng)格劃分方式均存在字典失配問題,且對應(yīng)的字典間隔分別為Δφ=0.7°、Δv=1.1 m/s,Δφ=2.8°、Δv=4.4 m/s和Δφ=11.3°、Δv=17.5 m/s。圖4為BP方法在不同字典間隔下的參數(shù)估計性能隨信噪比變化曲線圖。其中,圖4a)為方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖4b)為速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。可以看出,字典失配問題越嚴重,BP方法的估計誤差越大,而本文方法則不會隨字典失配而增加估計誤差。

圖4 BP方法在不同字典間隔下的參數(shù)估計性能比較

為比較不同字典間隔情況下各方法的計算復雜度,將字典網(wǎng)格依次劃分為16個、32個、64個、128個、256個,并統(tǒng)計各方法運行一次所需的平均時間,蒙特卡羅實驗次數(shù)為200次,結(jié)果如表1所示。從表中可以看出,通過范數(shù)最小化進行求解的BP方法運行所需時間隨網(wǎng)格密度的增大而迅速增加;采用最小二乘法進行迭代殘差求解的OMP方法運行時間雖同樣隨網(wǎng)格密度增大而增加,但其計算復雜度較低,所需運行時間較短;各方法中精度最高的本文方法,計算復雜度及運行時間介于二者之間。

表1 不同字典間隔下各參數(shù)估計方法運行時間比較

圖5為四種方法的動目標參數(shù)估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖5a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖5b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。從仿真結(jié)果來看,圖5進一步體現(xiàn)了本文方法相比OGSBI方法、BP方法和OMP方法在估計精度上的優(yōu)勢,本文方法雖然在信噪比較低時,方位角和速度估計均方根誤差較大,但隨著信噪比的增大,估計性能逐漸變好。當信噪比接近10 dB時,估計性能接近對應(yīng)的克拉美羅界(CRB)理論曲線,而BP方法和OMP方法由于存在字典失配問題,參數(shù)估計性能并沒有隨著信噪比的增大而提高,OGSBI方法由于受一階泰勒近似估計誤差影響,估計精度有限。

圖5 動目標參數(shù)估計性能隨信噪比變化曲線圖

圖6為當雷達相干脈沖數(shù)(K=16)固定,陣元數(shù)分別為8、12和16時,本文方法得到的動目標參數(shù)估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖6a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖6b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。由仿真結(jié)果可知,雷達陣元數(shù)越多,本文方法得到的動目標參數(shù)估計精度越高。

圖6 不同陣元數(shù)下的動目標參數(shù)估計性能比較(K=16)

圖7為雷達陣元數(shù)(M=8)固定,相干處理脈沖數(shù)分別為8、12和16時,本文方法得到的動目標參數(shù)估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖7a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖7b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。由仿真結(jié)果可知,雷達相干脈沖數(shù)越多,本文方法得到的動目標參數(shù)估計精度越高。

圖7 不同脈沖數(shù)下的動目標參數(shù)估計性能比較(M=8)

5 結(jié)束語

本文針對參數(shù)稀疏恢復在字典失配情況下的空時自適應(yīng)處理中動目標參數(shù)估計問題,提出了一種基于原子范數(shù)的無網(wǎng)格動目標參數(shù)估計方法。該方法利用目標回波在角度-多普勒域的稀疏特性,根據(jù)低秩矩陣恢復理論實現(xiàn)目標方位角和速度的稀疏恢復,避免了固定字典網(wǎng)格的稀疏恢復參數(shù)估計方法中的字典失配問題,有效提高了動目標參數(shù)的估計性能。本文只考慮待檢測單元內(nèi)最多存在一個目標的情況,針對多目標場景下的參數(shù)估計方法是下一步研究的重點。