王檄豪, 韋煜明

( 廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 桂林 541006 )

0 引言

由于恐懼效應(yīng)會(huì)改變食餌種群的行為方式、生理特征以及種群密度等[1],因此近年來(lái)一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究.例如:2016年,Wang等[2]研究了恐懼效應(yīng)對(duì)確定性捕食者-食餌模型的影響;同年,李梁晨等[3]提出了一類具有時(shí)滯HollingⅡ型功能反應(yīng)的捕食者-食餌模型,并研究了該模型共存平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性及其Hopf分支的存在性;2016年,秦爽[4]研究了一類具有廣義HollingⅢ型功能性反應(yīng)的確定性模型的動(dòng)力學(xué)行為;2022年,Shao[5]研究了一類在確定環(huán)境和隨機(jī)環(huán)境中帶有恐懼效應(yīng)和時(shí)滯的捕食者-食餌模型,并探討了確定性模型中平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性以及隨機(jī)模型中全局正解的存在性;2022年,劉英姿等[6]研究了一類具有恐懼效應(yīng)的Leslie-Gower型功能反應(yīng)的捕食者-食餌模型,并討論了恐懼效應(yīng)對(duì)食餌和捕食者種群密度的影響.基于上述研究,本文基于文獻(xiàn)[5]中的捕食者-食餌模型,采用廣義HollingⅢ型功能反應(yīng)函數(shù)建立了如下確定性模型:

(1)

(2)

1 確定性模型

下面分別討論模型(1)平衡點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性,以及其在共存平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分支的條件.

1.1 模型(1)平衡點(diǎn)的存在性

根據(jù)模型(1)可得如下方程組:

(3)

(4)

a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7= 0.

(5)

1.2 平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性分析

本文通過(guò)判斷特征值的符號(hào)來(lái)分析模型(1)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.模型(1)的特征方程[8]為:

det(J0+e-λτJ1-λI)= 0.

(6)

下面分2種情況討論時(shí)滯對(duì)模型(1)平衡點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)行為的影響.

情形1 無(wú)時(shí)滯模型的動(dòng)力學(xué)行為.

(7)

情形2 帶有時(shí)滯模型的動(dòng)力學(xué)行為.

λ2+R1λ+R2+S1e-λτ= 0.

(8)

(9)

2p1p2+R1p2-S1e-p1τsin(p2τ)= 0.

(10)

為確定式(8)是否有純虛根,再令p1= 0.由此式(9)和式(10)可變?yōu)?

(11)

S1sin(p2τ)=R1p2.

(12)

(13)

對(duì)式(9)和式(10)關(guān)于τ進(jìn)行微分后,再將p1= 0和τ=τ*代入式(9)和式(10)中可得:

(14)

(15)

2 隨機(jī)模型

2.1 正解的存在唯一性

P(τk≤T)≥ε,?k≥k1.

(16)

(17)

其中:

2.2 解的有界性

證明由模型(2)的第1個(gè)方程可知:

x(r-d1-bx)dt+σ1xdB1(t).

根據(jù)上式可構(gòu)造方程dp(t)=p(r-d1-bp)dt+σ1pdB1(t),由此再由文獻(xiàn)[12]和微分方程隨機(jī)比較定理[13]可知x(t)有上界.

由模型(2)的第2個(gè)方程可知:

(19)

為了證明y的有界性,本文根據(jù)式(19)構(gòu)造如下輔助模型(20):

(20)

由式(20)的第1個(gè)方程可得:

(21)

(22)

根據(jù)式(22)可構(gòu)造如下輔助模型:

(23)

2.3 平均持久性和滅絕性

為了便于下文表述,首先引入以下記號(hào):

引理1[16]假設(shè)M(t)∈C([0,+∞],R+),則:

(24)

證明對(duì)模型(2)的第2個(gè)方程應(yīng)用It公式可得:

(25)

對(duì)式(25)兩邊進(jìn)行積分可得:

(26)

證明對(duì)模型(2)和模型(24)的第1個(gè)方程分別應(yīng)用It公式后再對(duì)其兩邊同時(shí)進(jìn)行積分可得:

(27)

(28)

對(duì)式(28)兩邊進(jìn)行積分后再將式(27)代入其中可得:

3 數(shù)值模擬

3.1 恐懼效應(yīng)對(duì)模型(1)平衡狀態(tài)的影響

圖1 不同恐懼參數(shù)f對(duì)模型(1)平衡狀態(tài)影響的仿真圖

3.2 時(shí)滯對(duì)模型(1)平衡狀態(tài)的影響

本文參考文獻(xiàn)[5],選取3個(gè)時(shí)滯參數(shù)τ(1、5和10)來(lái)分析時(shí)滯對(duì)模型(1)的影響(固定f= 1,其他各參數(shù)取值與3.1中相同).圖2為τ分別取1、5和10時(shí)其對(duì)模型(1)平衡狀態(tài)的影響的仿真圖.由圖2可以看出,不同時(shí)滯的取值不會(huì)影響模型(1)的種群密度和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

圖2 不同時(shí)滯參數(shù)τ對(duì)模型(1)平衡狀態(tài)影響的仿真圖

3.3 隨機(jī)因素對(duì)模型(2)平衡狀態(tài)的影響

本文利用Milstein方法[19]研究隨機(jī)因素對(duì)模型(2)平衡狀態(tài)的影響,參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[20]選取:r= 2.2,c1= 0.6,f= 1,τ= 0,d1= 0.5,b= 0.08,α= 0.01,β= 0.01,c2= 0.1,d2= 1,h= 0.3.

圖3 不同隨機(jī)因素對(duì)捕食者和食餌種群密度影響的仿真圖

4 結(jié)論

本文對(duì)確定性模型(1)和隨機(jī)模型(2)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究表明:恐懼效應(yīng)不會(huì)對(duì)模型(1)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響,但會(huì)改變食餌和捕食者的種群密度,表現(xiàn)為較高的恐懼效應(yīng)會(huì)降低食餌和捕食者的種群密度;時(shí)滯不會(huì)對(duì)模型(1)的穩(wěn)定性和種群密度產(chǎn)生明顯影響;隨機(jī)因素對(duì)模型(2)的穩(wěn)定性和種群密度都會(huì)產(chǎn)生影響,表現(xiàn)為較大的噪聲會(huì)降低食餌和捕食者的種群密度.本文研究結(jié)果可為調(diào)控種群密度和維持種群間的平衡提供良好參考.在今后的研究中,我們將對(duì)模型(2)是否存在平穩(wěn)分布和具有遍歷性進(jìn)行探討.