高 凱，曹小紅

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119)

在本文中，C 表示復(fù)平面，D 表示復(fù)平面上的單位閉圓盤，T 表示單位圓周.H表示無(wú)限維的復(fù)Hilbert空間，B(H) 為H上的有界線性算子全體.設(shè)T∈B(H)，N(T) 和R(T) 分別表示T的零空間和值域.令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T)).若R(T) 閉且n(T)＜∞，則稱T為上半Fredholm 算子；若d(T)＜∞，則稱T為下半Fredholm 算子.特別地，如果R(T) 閉且n(T)=0，則稱T為下有界算子.稱T為半Fredholm 算子，若T為上半Fredholm 算子或下半Fredholm 算子.此時(shí)，其指標(biāo)定義為ind(T)=n(T)-d(T).特別地，若-∞＜ind(T)＜+∞，則稱T為Fredholm 算子.如果T是指標(biāo)為零的Fredholm 算子，則稱T為Weyl 算子.T的升標(biāo) asc(T) 定義為滿足N(Tn)=N(Tn+1) 的最小非負(fù)整數(shù)n，若這樣的整數(shù)不存在，則記 asc(T)=+∞.T的降標(biāo) d es(T) 定義為滿足R(Tn)=R(Tn+1) 的最小非負(fù)整數(shù)n，若這樣的非負(fù)整數(shù)不存在，則記 d es(T)=+∞.Browder 算子是指有有限升降標(biāo)的Fredholm 算子.T的上半Fredholm 譜、本質(zhì)譜、逼近點(diǎn)譜、本質(zhì)逼近點(diǎn)譜、Weyl 譜、Browder 譜分別定義為：

1909 年，Weyl[2]在檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)自伴算子的Weyl 譜時(shí)發(fā)現(xiàn)該自伴算子所有緊擾動(dòng)的譜集之交恰好等于它的譜集除去那些有限重的孤立特征值.這一結(jié)果的出現(xiàn)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并將它稱為Weyl 定理.隨著Weyl 定理研究的不斷深入[3-8]，也相繼產(chǎn)生Weyl 定理的一系列變形，比如Browder 定理、a-Weyl 定理[9]等.2015 年，Berkani M 等首次在文獻(xiàn)[10]中介紹了有界線性算子的 (UWE) 性質(zhì)，隨后學(xué)者們研究了很多不錯(cuò)的成果[11-12].稱算子T滿足 (UWE) 性質(zhì)，若

其中E(T)={λ ∈isoσ(T):n(T-λI)＞0}.設(shè)集合E?C，isoE表示E中所有的孤立點(diǎn)，accE表示E的所有聚點(diǎn).我們用T∈(UWE) 表示T滿足 (UWE) 性質(zhì).

1 有界線性算子的 (UWE) 性質(zhì)

下面繼續(xù)對(duì)算子的 (UWE) 性質(zhì)給出等價(jià)刻畫.

推論2設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

2 算子函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)判定

設(shè)T∈B(H)，令 H ol(σ(T)) 表示在 σ (T) 的某個(gè)鄰域上解析的函數(shù)全體.

注意到：算子的 (UWE) 性質(zhì)與其函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)之間沒(méi)有必然的聯(lián)系.通過(guò)下面的例子來(lái)說(shuō)明這一事實(shí).

例6設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

例7設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

接下來(lái)，我們給出算子函數(shù)滿足 (UWE) 性質(zhì)的充要條件.

定理2設(shè)T∈B(H)，則任給f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

下面我們繼續(xù)對(duì)算子函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)進(jìn)行刻畫.

注3在引理1 中，反包含f(σ1(T))?σ1(f(T)) 一般不成立.

例8設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

推論4設(shè)T∈B(H)，則任給f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

注4(1)在推論4 中的條件(2)在充分性的證明中是必不可少的.

例9設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

(2)在推論4 中的條件(3)對(duì)于充分性是必不可少的.

例10設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：