張化斌,馬貴春,鄭俊旺,郭思博,王 磊,劉 洋

(中北大學(xué) 航空宇航學(xué)院,山西 太原 030051)

0 引 言

電子束選區(qū)熔化增材制造技術(shù)(Electron Beam Selective Melting,EBSM)具有成形速度快、能量利用率高、成形效率高等特點(diǎn),可輕松成形具有復(fù)雜形狀的高性能金屬零部件[1-4],因此被廣泛地運(yùn)用于航空航天、生物醫(yī)療等領(lǐng)域[5-7]。但是,電子束偏轉(zhuǎn)的精確控制程度會影響復(fù)雜零件成型的質(zhì)量。由于電子束的偏轉(zhuǎn)掃描控制是非接觸式的,電子束的慣性和質(zhì)量幾乎可以忽略,通過控制電子束運(yùn)動空間中電磁場的大小和方向就可以實現(xiàn)對電子束運(yùn)動軌跡的控制。偏轉(zhuǎn)掃描線圈所產(chǎn)生電磁場的均勻性是影響電子束偏轉(zhuǎn)精度的重要因素,因此,使用電磁場均勻性差的線圈難以實現(xiàn)電子束的精確控制[8]。

針對上述問題,學(xué)者們對電子束偏轉(zhuǎn)線圈進(jìn)行一些研究。一些著名電子束加工設(shè)備研制單位如CVE(Cambridge Vacuum Engineering)、TWI(The Welding Institute)、PTR(Pulsed Technologies Research)等[9]均對電子束偏轉(zhuǎn)掃描技術(shù)進(jìn)行了深入研究,其中德國SST所研制的電子束偏轉(zhuǎn)掃描控制系統(tǒng)的頻率已經(jīng)達(dá)到了200 kHz。路開通等[10]基于亥姆霍茲線圈設(shè)計偏轉(zhuǎn)線圈,其頻率達(dá)30 kHz。張偉等[11]基于亥姆霍茲線圈設(shè)計了偏轉(zhuǎn)線圈,其掃描速度可達(dá)3 500 m/s,掃描范圍最大為350 mm×350 mm。趙攀峰等[12]也基于亥姆霍茲線圈設(shè)計了偏轉(zhuǎn)線圈,其掃描范圍可達(dá)350 mm×350 mm,掃描速度為7 000 m/s。楊波等[13]設(shè)計了以鐵氧體為磁芯材料的十二極靴偏轉(zhuǎn)線圈,其頻率達(dá)100 kHz以上。相關(guān)文獻(xiàn)均對EBSM系統(tǒng)的電子束掃描偏轉(zhuǎn)線圈的設(shè)計提供了參考,但亥姆霍茲線圈的體積較大,不便于配置磁芯,且中心場強(qiáng)較弱,難以滿足EBSM系統(tǒng)大角度偏轉(zhuǎn)的要求。多極靴結(jié)構(gòu)線圈雖然加工精度要求低、中心場強(qiáng)較大,但是其磁場均勻性較差,不利于實現(xiàn)電子束偏轉(zhuǎn)的精確控制。目前,針對EBSM掃描偏轉(zhuǎn)線圈的多極靴結(jié)構(gòu)磁場強(qiáng)度分析與多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的已公開研究較少。

本文將多極靴線圈結(jié)構(gòu)的極靴數(shù)和磁芯類型作為變量,設(shè)計多極靴線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度正交仿真試驗,闡明試驗的設(shè)計方案及結(jié)果,對線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率進(jìn)行對比分析。通過極差分析法更加直觀地分析單因素對于線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的影響程度及其變化趨勢,進(jìn)一步采用MOEA/D算法對此問題進(jìn)行優(yōu)化求解,并得到使線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度較大、磁場較均勻的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 磁偏轉(zhuǎn)理論

EBSM設(shè)備所使用的電子束偏轉(zhuǎn)系統(tǒng),通常以較小的偏轉(zhuǎn)角度工作,電子束以恒定的速度進(jìn)入均勻磁場,在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動,如圖1 所示。

圖1 電子束運(yùn)動軌跡圖

根據(jù)電磁理論可得

(1)

式中:R為圓周運(yùn)動半徑;m為電子質(zhì)量;v為電子運(yùn)動速度;e為電子電荷;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;Va為電子槍的加速電壓;η為電子荷質(zhì)比。

電子束離開均勻場后的偏轉(zhuǎn)角δ滿足

(2)

由電磁理論可知,磁感應(yīng)強(qiáng)度與線圈電流成正比,即

B=kI,

(3)

式中:k為與線圈相關(guān)的常數(shù);I為線圈電流。

假設(shè)線圈所產(chǎn)生的磁場寬度與線圈自身高度h一致,可得

(4)

對于EBSM成型系統(tǒng)而言,電子槍加速電壓Va通常是固定值,偏轉(zhuǎn)線圈在設(shè)計完成后其高度h自身相關(guān)常數(shù)k也已確定,因此,系統(tǒng)將通過控制線圈中的電流從而控制電子束的偏轉(zhuǎn)角δ。

1.2 線圈結(jié)構(gòu)

多極靴線圈結(jié)構(gòu)如圖2 所示,其能夠在緊湊的空間內(nèi)布置大量的對稱線圈,從而提高中心磁場的均勻度和場強(qiáng),且能通過將線圈骨架替換為軟磁材料磁芯來進(jìn)一步提升中心場強(qiáng)。多極靴線圈的結(jié)構(gòu)形式較多,下面將針對四極靴、八極靴、十二極靴、十六極靴以及二十極靴的線圈中心磁場強(qiáng)度和距線圈中心2.5 mm、5 mm范圍內(nèi)磁場均勻度設(shè)計正交仿真實驗,對多極靴偏轉(zhuǎn)線圈進(jìn)行三維電磁場分析。

圖2 多極靴線圈結(jié)構(gòu)示意圖

2 正交仿真試驗

2.1 正交試驗設(shè)計

根據(jù)極靴數(shù)量和磁芯類型設(shè)計正交試驗,探究極靴數(shù)量及有無磁芯對多極靴線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場均勻性的影響規(guī)律,因素水平如表1 所示,正交試驗方案如表2 所示。

表1 正交試驗因素水平

表2 正交方案

2.2 仿真實驗

2.2.1 模型建立

對多極靴偏轉(zhuǎn)線圈建模,如圖3 所示,線圈內(nèi)徑90 mm,外徑110 mm,極靴高度10 mm,磁芯高度30 mm。定義磁芯材料為鐵(相對磁導(dǎo)率1 000)或真空(相對磁導(dǎo)率1,用作線圈骨架)。磁芯每極靴上繞制的線圈均定為寬度5 mm,厚度2 mm,匝數(shù)32匝,電流設(shè)置為單位電流1 A。磁芯中心位于聚焦線圈中心Z軸+155 mm位置上。

圖3 不同極靴數(shù)偏轉(zhuǎn)線圈模型

2.2.2 仿真設(shè)置

在完成對仿真模型的建模后,還需要對環(huán)境及邊界條件、仿真模型的網(wǎng)格劃分和求解器的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。由于EBSM系統(tǒng)在工作時,系統(tǒng)內(nèi)部處于高度真空狀態(tài),因此,在仿真中對環(huán)境材料定義為真空,相對磁導(dǎo)率為1。采用六面體網(wǎng)格劃分,并對線圈網(wǎng)格作更進(jìn)一步的調(diào)整以增加網(wǎng)格密度。

3 仿真試驗結(jié)果與極差分析

3.1 試驗結(jié)果

在試驗結(jié)果的后處理中,選定Z軸方向為剖切平面法線,使剖切面經(jīng)過線圈中心,并將三維的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布云與剖切面相交,可獲得剖面內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況。圖4 中(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分別為四極靴無磁芯、八極靴無磁芯、十二極靴無磁芯、十六極靴無磁芯、二十極靴無磁芯線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況,有磁芯的情況見圖5。可以看到,隨著極靴數(shù)的增加,無磁芯與有磁芯線圈的磁感應(yīng)分布均勻度、對稱度都有很大的提高。同時,在有磁芯存在的情況下,磁感應(yīng)強(qiáng)度分布更集中于磁芯與線圈內(nèi)部,向線圈外的漏磁更少。

圖4 無磁芯線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

圖5 鐵磁芯線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

在EBSM成型系統(tǒng)實際工作條件下,電子束偏轉(zhuǎn)角度較小,主要由線圈中心5 mm范圍內(nèi)的磁場狀況決定。為進(jìn)一步研究線圈中心5 mm范圍內(nèi)的磁場均勻性,對線圈中心、距中心2.5 mm位置、距中心5 mm位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行分析,結(jié)果如表3 所示。

3.2 試驗結(jié)果極差分析

極差分析法是正交設(shè)計中常用的方法之一,其可通過簡便的計算和判斷求得試驗的主次因素、優(yōu)水平、優(yōu)搭配及最優(yōu)組合。計算公式為

(5)

(6)

根據(jù)本文試驗?zāi)康?以最大線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度K均值和最小磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率K均值來選取各因素下的最優(yōu)水平。

3.2.1 線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度分析

利用式(5)和式(6)進(jìn)行計算,得到線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度的極差分析結(jié)果如表4 所示。

表4 線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度的極差分析結(jié)果

由表4 可以看出:極靴數(shù)和磁芯類型對線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度均有一定影響。鐵磁芯線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于無磁芯線圈,極靴數(shù)量越多線圈中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度越大。分析可知,鐵磁材料里面帶有“磁疇”,平時磁疇無規(guī)則排列不表現(xiàn)磁性,在通電線圈的作用下,磁疇會規(guī)則排列,使鐵芯中形成很強(qiáng)的磁通,從而使磁感應(yīng)強(qiáng)度增大,但鐵磁芯線圈存在一定的磁滯損耗,較難實現(xiàn)超高頻率信號的實時響應(yīng)。極靴的主要作用是增大磁通面積,減小主磁場以外的漏磁,所以極靴數(shù)量越多,磁通面積越大,漏磁越少,因而磁感應(yīng)強(qiáng)度增大。

3.2.2 2.5 mm范圍內(nèi)磁場均勻性分析

2.5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率極差的分析結(jié)果如表5 所示。

表5 2.5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率極差分析結(jié)果

由表5 可以看出:對2.5 mm范圍內(nèi)磁場均勻度影響最大的因素是極靴數(shù),其次是磁芯類型。八極靴線圈比四極靴線圈的磁場均勻度有極大的提升。十二極靴線圈、十六極靴線圈、二十極靴線圈對比八極靴線圈的磁場均勻度,提升已不明顯。鐵磁芯線圈相較于無磁芯線圈,磁場的均勻度上沒有明顯的優(yōu)勢,提升磁場均勻度的效果不如提升極靴數(shù)的效果明顯。

3.2.3 5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻性分析

5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的極差分析結(jié)果如表6 所示。

表6 5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率極差分析結(jié)果

由表6 可以看出:極靴數(shù)量對5 mm范圍內(nèi)的磁場均勻度有顯著影響,極靴數(shù)越多磁場越均勻,但十二極靴線圈、十六極靴線圈、二十極靴線圈對比八極靴線圈的磁場均勻度,提升已不明顯。無磁芯線圈相較于鐵磁芯線圈在5 mm范圍內(nèi)的磁場均勻度有顯著優(yōu)勢,分析可知,鐵磁芯的存在使磁感應(yīng)強(qiáng)度越靠近線圈增加越劇烈,導(dǎo)致磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率增大。

通過以上分析可得,試驗因素對于線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、2.5 mm范圍內(nèi)磁場均勻性以及5 mm范圍內(nèi)磁場均勻性均產(chǎn)生不同的影響。綜合考慮,以較高線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、較低2.5 mm 范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率以及較低5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率為優(yōu)化目標(biāo),通過MOEA/D算法對此多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

4 基于MOEA/D算法的多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 MOEA/D算法原理

基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)將多目標(biāo)優(yōu)化問題分解為N個單目標(biāo)優(yōu)化的子問題,通過選擇、變異同時優(yōu)化N個單目標(biāo)子問題,最終獲得一組Pareto最優(yōu)解,其運(yùn)算流程如圖6 所示[14-16]?；谝陨咸攸c(diǎn),MOEA/D算法具有較低的計算復(fù)雜度,可以避免陷入局部最優(yōu)。

圖6 MOEA/D算法流程

4.2 多目標(biāo)優(yōu)化方法

MOEA/D算法能夠同時優(yōu)化N個標(biāo)量子問題,在多個目標(biāo)問題求解方面具有顯著優(yōu)勢,進(jìn)而可以為工程領(lǐng)域問題提供解決方案。

多目標(biāo)優(yōu)化問題定義如式(7)～式(8)所示。

minF(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)],

x∈Rn,

(7)

s.t.hi(x)≤0,i=1,2,…,p,

(8)

式中:x=[x1,x2,…,xn]∈Rn,為n維決策向量;F(x)為目標(biāo)函數(shù);fi(x)為適應(yīng)度函數(shù);hi≤0為不等式約束條件。

4.3 適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)建

試驗中優(yōu)化目標(biāo)為線圈極靴數(shù)以及磁芯類型,首先對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,把無磁芯條件記為0,鐵磁芯條件記為1。基于最小二乘原理,對10組正交試驗數(shù)據(jù)通過多項式擬合法進(jìn)行擬合,并將方程的最高次項設(shè)置為4次,以提高回歸方程的置信度。進(jìn)而得到自變量為極靴數(shù)n和磁芯類型c的3個回歸方程,并將它們作為MOEA/D算法的適應(yīng)度函數(shù)。

建立線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度B的模型,表示為

B=-0.061 15+0.079 73n+0.003 8c-

0.008 606n2+0.121 4nc+0.000 494 1n3-

0.007 051n2c-0.000 010 72n4+

0.000 136 3n3c。

(9)

建立距線圈中心2.5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率U2.5的模型,表示為

U2.5=4.208-1.048n-0.606c+0.114 5n2+

0.142 6nc-0.005 365n3-0.011 34n2c+

0.000 0911 5n4+0.000 286 5n3c。

(10)

建立距線圈中心5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率U5的模型,表示為

U5=15.9-3.813n-2.322c+0.409 3n2+

0.497 2nc-0.019 01n3-0.035 49n2c+

0.000 322 3n4+0.000 833 3n3c。

(11)

4.4 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)優(yōu)化的自變量分別為極靴數(shù)n以及磁芯類型c,構(gòu)建模型的矢量表達(dá)式如式(12)所示。

x=[n,c]T=[x1,x2]T。

(12)

記線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、距線圈中心2.5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的以及距線圈中心5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的回歸方程分別為y1(x)、y2(x)與y3(x),以較大的線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度以及較小的距線圈中心2.5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率與距線圈中心5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率為最優(yōu)指標(biāo),使用優(yōu)化方法求解最小值,故線圈中心磁場強(qiáng)度求取為min(-y1(x)),距線圈2.5 mm和5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率取最小值,即為min(y2(x))和min (y3(x))。因此,所優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)如式(13) 所示。

minf(x)=[-y1(x),y2(x),y3(x)]T。

(13)

4.5 約束條件

對自變量x1和x2的取值范圍添加約束條件,極靴數(shù)的約束條件如式(14)所示,磁芯類型的約束條件如式(15)所示。

(14)

(15)

由此可得,自變量x1和x2取值的約束條件如式(16)所示。

h(x)=[h1(x),h2(x)]T。

(16)

綜上所述,線圈參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型為

(17)

4.6 優(yōu)化模型的求解

根據(jù)線圈特性及其使用環(huán)境確定線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍,基于MOEA/D算法,并使用MATLAB軟件編寫M程序進(jìn)行求解。計算結(jié)果如圖7 所示。

圖7 MOEA/D算法計算結(jié)果

4.7 優(yōu)選結(jié)果

通過分析結(jié)果可得,解集中的最優(yōu)選擇參數(shù)產(chǎn)生在極靴數(shù)為18、無磁芯的情況下,其磁感應(yīng)強(qiáng)度分布如圖8 所示。表7 中列舉了最優(yōu)參數(shù)的仿真結(jié)果。分析可知:線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度處于較高水平,提高了電子束的偏轉(zhuǎn)角度; 與此同時,距線圈中心2.5 mm和5 mm內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率較低,尤其是距線圈中心2.5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率均小于1%,可近似看作勻強(qiáng)磁場,這對電子束偏轉(zhuǎn)的精確控制有著積極影響。

表7 3組試驗結(jié)果對比

圖8 十八極靴無磁芯線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布

5 結(jié) 論

本文對多極靴偏轉(zhuǎn)線圈進(jìn)行了建模,并進(jìn)行了多極靴線圈靜態(tài)磁場的正交仿真試驗。以增大電子束通過線圈時大角度偏轉(zhuǎn)和精確控制為目標(biāo),以極靴數(shù)量和磁芯類型為試驗變量,并以較大的線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度、較小的距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率作為優(yōu)化指標(biāo),通過分析線圈內(nèi)部磁場云圖,得出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的趨勢。通過對線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率數(shù)據(jù)的分析,可以得到以下結(jié)論:

1) 采用極差分析法對正交仿真試驗的10組結(jié)果進(jìn)行分析,可以分別得出線圈中心磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率在極靴數(shù)量和磁芯類型作用下的變化程度,其中,極靴數(shù)量和磁芯類型同時對線圈中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生顯著影響,距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的最顯著的影響因素是極靴數(shù)量;

2) 利用MOEA/D算法求解線圈設(shè)計參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題,并考慮線圈的實際工藝性以及使用環(huán)境,得出十八極靴、無磁芯的線圈結(jié)構(gòu)對于電子束大角度偏轉(zhuǎn)和精確控制有顯著優(yōu)勢。