崔琬婷，段瑞彬，?；⒗?，王克寬，王來臻

1.中國(guó)石油集團(tuán)工程技術(shù)研究有限公司，天津 300451

2.中國(guó)石油集團(tuán)海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300451

隨著油氣管道及海洋平臺(tái)建設(shè)對(duì)施工質(zhì)量要求的不斷提升，焊接施工數(shù)字化控制成為焊接過程質(zhì)量管控的重要環(huán)節(jié)，在實(shí)現(xiàn)焊接作業(yè)程序化、標(biāo)準(zhǔn)化中起到了至關(guān)重要的作用，而準(zhǔn)確、可靠地采集焊接參數(shù)是實(shí)現(xiàn)過程管控的基礎(chǔ)。在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中，由于傳感器的動(dòng)態(tài)誤差或現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境工況等因素的影響，傳感器數(shù)據(jù)采集中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)測(cè)量值與真實(shí)值存在一定偏差[1]，不能保證焊接參數(shù)采集的準(zhǔn)確性。因此，需要對(duì)傳感器測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，以提高數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)量的準(zhǔn)確度[2]。

插值和擬合兩種方法都可以用來尋求模擬函數(shù)[3]。插值法是在已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)上插入連續(xù)函數(shù)的方法，這個(gè)連續(xù)的函數(shù)在給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)上與原始數(shù)據(jù)完全一致[4-5]，這就要求原始數(shù)據(jù)是非常精確的或僅存在較小的誤差。擬合法是找到數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，它可以在一定程度上偏離原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，最終得到的是一個(gè)近似函數(shù)[6]。在工程實(shí)踐中，實(shí)際獲得的數(shù)據(jù)往往包含一定的誤差，因此，如果完全依照原始數(shù)據(jù)進(jìn)行插值可能會(huì)導(dǎo)致局部產(chǎn)生較大的誤差，而擬合法可以在一定程度上避免這一問題[7]。

本文結(jié)合最小二乘法擬合原理，以直線回歸為例進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，采用分段線性擬合法對(duì)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中電流傳感器測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行誤差分析。

1 最小二乘法擬合原理

1.1 最小二乘法原理

擬合問題可以被抽象為一個(gè)系統(tǒng)[4]，它的輸入是一組實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，輸出是在某種意義下最優(yōu)的函數(shù)關(guān)系，即y=f（x）最佳地與數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）匹配。

最小二乘法通常用來研究?jī)蓚€(gè)變量或者多個(gè)變量之間的關(guān)系。其擬合的基本思路是：根據(jù)一組觀測(cè)值，找到誤差平方和最小值，即最小化誤差的函數(shù)，這種方法稱為曲線擬合的最小二乘法[3]。

如圖1 所示：以直線回歸為例，設(shè)有一組數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n，分布在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)點(diǎn)yi值與直線y值的差為||

圖1 最小二乘法線性擬合示意

y-yi，也可以理解為觀測(cè)值和理論值之間的誤差，誤差的平方和為（ε表示誤差）：

顯然，誤差平方和的大小是判斷擬合結(jié)果的重要標(biāo)志，若擬合所得曲線可以使得誤差的平方和最小，這樣就得到“最佳”擬合曲線。

1.2 線性擬合數(shù)學(xué)推導(dǎo)

已知數(shù)據(jù)點(diǎn)為（xi，yi），i=1，2，…，n，用直線y=a+bx作為近似曲線，由最小二乘法原理可得誤差平方和為：

式（2）經(jīng)過化簡(jiǎn)可得：

所以有：

式中：、分別為xi、yi的平均值。

對(duì)式（5）進(jìn)行變形可得：

由式（6）和式（7）可以得出擬合直線的參數(shù)b的計(jì)算公式：

2 分段線性擬合

分段線性擬合的基本思想是把數(shù)據(jù)分成幾段[8]，每段數(shù)據(jù)用一條直線擬合，使得擬合的直線盡可能地靠近原始數(shù)據(jù)。使用最小二乘法分段線性擬合法不僅可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型的算法，減小計(jì)算量，還保留了原始數(shù)據(jù)的局部特性，達(dá)到更好的擬合效果。

其擬合原理為[9-10]：首先取前兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），利用式（4）和式（8）求出擬合直線的直線方程為：

式中：b1是直線AB的斜率。

再取第三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)C（x3，y3），確定直線BC的表達(dá)式為：

式中：b2是直線BC的斜率，其計(jì)算公式為式（11）。

兩條直線的幾何關(guān)系如圖2 所示，θ為直線AB與直線BC之間的夾角，α為直線AB與x軸的夾角，β為直線BC與x軸的夾角。

圖2 分段直線幾何關(guān)系示意

設(shè)定一個(gè)tanθ的閾值，若小于該閾值，則將A、B、C三點(diǎn)合為一條直線，然后再取下一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，重新計(jì)算擬合的直線方程，并重新計(jì)算tanθ，直到大于該閾值，則將上一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為第一段擬合直線的終點(diǎn)，將這次的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為下一條擬合直線的起點(diǎn)，重復(fù)上述步驟，直到所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都進(jìn)行了擬合，這樣就可以得到全部的分段直線擬合方程。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析

實(shí)驗(yàn)具體流程為：以實(shí)測(cè)的40 組焊接電流數(shù)據(jù)為依據(jù)，采用最小二乘分段線性擬合法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，計(jì)算測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差來驗(yàn)證擬合效果。表1 為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)在沒有進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合之前，系統(tǒng)采集到的焊接電流數(shù)據(jù)。

表1 校準(zhǔn)前的焊接電流實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

在測(cè)量值與理論值對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定偏差，最大相對(duì)誤差達(dá)到0.77%。通過對(duì)二者進(jìn)行線性擬合（如圖3 所示），可發(fā)現(xiàn)在整個(gè)量程范圍內(nèi)，理論值和測(cè)量值并不完全是線性關(guān)系，但在特定量程范圍內(nèi)呈線性關(guān)系。因此，采用分段線性擬合的方法對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，作為采集系統(tǒng)最終輸出的結(jié)果。

圖3 線性擬合效果

表2 為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)經(jīng)過分段線性擬合后的數(shù)據(jù)結(jié)果。通過表1 和表2 給出的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)理論值與測(cè)量值的相對(duì)誤差減小，最大相對(duì)誤差由0.77%減小到0.07%，說明分段線性擬合法可以有效修正采集數(shù)據(jù)。

表2 校準(zhǔn)后的焊接電流實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

本文針對(duì)提高焊接施工過程中數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確性的問題，論述了采用最小二乘分段線性擬合的方法解決上述問題的原理，并給出實(shí)際測(cè)量中經(jīng)過分段線性擬合得到的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。該方法通用性較強(qiáng)，所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單且計(jì)算量小，可以有效地減小測(cè)量誤差，提高數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)量的準(zhǔn)確性，從而驗(yàn)證了采用最小二乘分段線性擬合法是可行的。