曾志紅，時統(tǒng)業(yè) *，曹俊飛

（1.廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報編輯部，廣東 廣州 510303；2.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800；3.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510303）

1 引理

在1883 年和1893 年，Hermite 和Hadamard 分別獨立地證明了以下不等式［1-3］

其中，f 是［a，b］上的凸函數(shù)。

式（1）被稱為Hermite-Hadamard 不等式。Hermite-Hadamard 不等式在有關(guān)凸函數(shù)的不等式當(dāng)中是非常著名的，在數(shù)學(xué)分析和優(yōu)化中發(fā)揮著重要作用。Fejér%［4］將Hermite-Hadamard 不等式推廣為

其中，f 是［a，b］上的凸函數(shù)，g（x）是［a，b］上正的可積函數(shù)且關(guān)于對稱。

我們稱式（2）為Hermite-Hadamard-Fejér 不等式或Fejér 不等式。近年來，Hermite-Hadamard 不等式和Hermite-Hadamard-Fejér 不等式得到廣泛關(guān)注，已有許多改進(jìn)、推廣和加細(xì)的結(jié)果［5-18］。本文考慮Hermite-Hadamard-Fejér 不等式的涉及高階可微函數(shù)的推廣。文獻(xiàn)［17］給出了四階導(dǎo)數(shù)非負(fù)條件下的Hermite-Hadamard-Fejér 型不等式。

定理1%［17］設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（A，B）內(nèi)有連續(xù)的4 階導(dǎo)數(shù)且f(4)（x）≥0。若A

在式（4）中取n=2 則得到式（3），所以定理2 是定理1 的推廣。

Anderson 等［19］給出單調(diào)性L’Hospital 法則。

2 主要結(jié)果

定理3 設(shè)f（x）在區(qū)間［a，b］上有2n-1 階導(dǎo)數(shù)，g（x）是［a，b］上正的可積函數(shù)，且關(guān)于x=對稱。若f(2n-1)（x）在［a，b］上單調(diào)增加，則有

當(dāng)f(2n-1)（x）在［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)增加且｛x│x∈［a，b］，g（x）=0｝在［a，b］上不稠密，式（5）和式（6）的不等式是嚴(yán)格的，也即將式（5）和式（6）中的“≤”改為“<”以后仍成立。

證明 對任意x∈［a，b］，由積分型余項的Taylor 公式有

將式（7）乘以g（x），然后對x 在［a，b］上積分得

將式（12）與式（14）相加并注意到

則式（5）的右邊不等式得證。

當(dāng)f(2n-1)（x）在［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)增加時，式（11）僅當(dāng)x=0 時等式成立，式（12）僅當(dāng)x=b 時等式成立，又因為｛x│x∈［a，b］，g（x）=0｝在［a，b］上不稠密，故式（12）與式（14）都是嚴(yán)格的，從而式（5）的右邊不等式是嚴(yán)格的。

注1 式（5）的右邊不等式強(qiáng)于式（4）的右邊不等式。事實上，

由式（15）和式（16）有

因此，CD≤0，即式（5）的右邊不等式強(qiáng)于式（4）的右邊不等式。

推論1 設(shè)f（x）是區(qū)間［a，b］上的可微函數(shù)，g（x）是［a，b］上正的可積函數(shù)，且關(guān)于x=對稱。若f'在［a，b］上單調(diào)不減，則有

證明 用分部積分法可證恒等式

3 應(yīng)用

證明 考慮定義在［0，1］上的函數(shù)f（τ）=-sin 2τx，g（τ）=τ（1-τ）。因為f'（τ）=-2xcos 2τx 嚴(yán)格單調(diào)增加，故應(yīng)用定理3 的n=1 情形有

由此證得式（17）和式（18）的左邊不等式。又由0＜cos x＜1 知式（17）的右邊不等式是顯然的。

故式（18）的右邊不等式成立。

證明 考慮定義在［0，1］上的函數(shù)f（τ）=cos τx，g（τ）=τ（1-τ）。因為f(4n-1)（τ）=x4n-1sin τx 嚴(yán)格單調(diào)增加，故應(yīng)用定理3 有

經(jīng)計算式（19）的左邊不等式得證。

考慮定義在［0，1］上的函數(shù)，f（τ）=-cos τx，g（τ）=τ（1-τ）。因為f(4n+1)（τ）=x4n+1sin τx 嚴(yán)格單調(diào)增加，故應(yīng)用定理3 有

經(jīng)計算式（19）的右邊不等式得證。