黃懷玉,向會立

(湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 恩施 445000)

傳染病一直是人類生命安全和生態(tài)安全的巨大威脅,如何預(yù)防和控制傳染病的傳播一直是人們重要研究方向之一。建立貼近現(xiàn)實的數(shù)學(xué)模型對于更有效地預(yù)防和控制傳染病具有重大的意義。如在現(xiàn)實生活中許多疾病都存在無癥狀感染[1-2],而忽略了無癥狀傳播的影響將造成不必要的損失。Duong等[1]對登革熱病毒傳播的研究表明無癥狀感染者對蚊子的傳染性明顯高于有臨床癥狀的患者,研究結(jié)果從根本上改變了當(dāng)時對于登革熱流行病學(xué)的認(rèn)識和控制的模式。Hao等[3]通過病毒樣本模擬了COVID-19的傳播,推斷具有大量的無癥狀和癥狀前傳播,建立一類具有癥狀前感染和無癥狀感染的傳染病模型。在對傳染病傳播行為有一定的基礎(chǔ)之后,就需要采取一定的方法預(yù)防或者控制疾病的傳播,而最優(yōu)控制是重要的方法之一。Abbasi[2]提出了一個無癥狀感染區(qū)和隔離區(qū)的傳染病模型的最優(yōu)控制問題研究并應(yīng)用到了新冠肺炎的研究。Saha等[4]提出了一個新的新冠模型的最優(yōu)控制問題,即維持社會分化和疫苗接種程序隨時間的變化,結(jié)果表明,只有接種疫苗才能顯著降低整體感染人群。值得注意的是,媒體報道一直是預(yù)防和控制傳染病的重要措施[5-8]。Rai[7]提出了一個數(shù)學(xué)模型來評估社交媒體廣告對印度抗擊病毒大流行的影響,他們的結(jié)果表明媒體覆蓋是一種很重要的手段,為了徹底消滅疾病,應(yīng)該提高認(rèn)識水平,努力改變易感人群的行為。Buonomo 與Marca[8]提出了一種包括所有年齡段有效疫苗接種的行為流行病模型,疫苗接種依賴于信息。他們的結(jié)果表明地方性平衡點(diǎn)在R0>1與R0<1時都可能發(fā)生Hopf分叉?，F(xiàn)實中疫苗是預(yù)防傳染病傳播最主要的措施之一,而加強(qiáng)人群意識,促使易感人群盡快接種疫苗也與媒體覆蓋的強(qiáng)度有關(guān)。本文以受媒體信息影響的疫苗接種作為一種預(yù)防措施,通過加強(qiáng)媒體覆蓋的強(qiáng)度,進(jìn)而提高接種率,從而達(dá)到控制疾病傳播的目的。本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上考慮了媒體覆蓋的因素,建立了如下模型:

(1)

其中:S, E, P, A, I, R, M分別是易感者,暴露者,癥狀前感染者,無癥狀感染者,癥狀感染者,移除者,媒體信息水平。Λ是招募率,w是無癥狀感染者和癥狀前感染者的傳播率,b是癥狀傳播者的傳播率,μ1是移除率,在某一時刻,暴露者轉(zhuǎn)移到癥狀前感染者的比率是de,癥狀前感染者到無癥狀感染者的比率是(1-r)dp, 癥狀前感染者到癥狀感染者的比率是rdp,無癥狀感染者,癥狀感染者到移除者的比率分別是da,di。δ代表媒體對于感染總數(shù)的反應(yīng)率,μ2代表媒體傳播中的信息損失率。參數(shù)Λ,w,b,r,de,dp,da,di,μ1,μ2,δ都是大于0的常數(shù)。

系統(tǒng)(1)初值條件為:

S(0)>0,E(0)>0,P(0)>0,A(0)>0,I(0)>0,R(0)>0,M(0)>0。

1 解的非負(fù)性與有界性

本節(jié)我們將驗證系統(tǒng)(1)解的非負(fù)性和有界性。

定理1 系統(tǒng)(1)的解是非負(fù)的。

證明由系統(tǒng)(1)的第一個式子可得

(2)

其中

即

(3)

對(3)兩邊從0到t積分可得

(4)

由于S(0)>0, 所以S(t)非負(fù)。同理可以證明E(t),P(t),A(t),I(t),R(t),M(t)都是非負(fù)的。

定理2 系統(tǒng) (1) 的解有界。

證明由系統(tǒng) (1) 第一個和第二個式子可得

(5)

故

(6)

由定理1可得,S(t),E(t)非負(fù), 所以我們得出S(t),E(t)有界,同理我們得出P(t),A(t),I(t),R(t),M(t)有界。

2 基本再生數(shù)與穩(wěn)定點(diǎn)

接下來為了研究無病平衡點(diǎn)和地方性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,本節(jié)我們將首先證明無病平衡點(diǎn)和地方性平衡點(diǎn)的存在性并給出基本再生數(shù)的表達(dá)式。

2.1 無病平衡點(diǎn)

引理1 系統(tǒng)(1)存在唯一的無病平衡點(diǎn)

證明令系統(tǒng)(1)右端為0且I=0,可得

2.2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)是指在易感者人群中,一個感染者所可以傳染的人數(shù),它是判斷疾病是否持續(xù)存在的關(guān)鍵閾值。根據(jù)文獻(xiàn)[9],基本再生數(shù)R0計算公式如下:

(7)

引理2 當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(1)存在唯一的地方性平衡點(diǎn)X*。

證明令系統(tǒng)(1)右端為0,I≠0,計算可得

(8)

(9)

將這些公式帶入系統(tǒng)(1)中可得

令

(10)

顯然G(P)關(guān)于P是一個增函數(shù),而當(dāng)

R0>1時,

(11)

則由介值定理可得存在P*>0, 使得

G(P*)=0,

(12)

所以,系統(tǒng)(1)存在唯一的地方性均衡點(diǎn)X*=(S*,E*,P*,A*,I*,R*, M*), 其中

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)我們將通過基本再生數(shù)R0研究無病平衡點(diǎn)和地方性平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。

3.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理3 當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)X0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明非線性系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)X0處的雅可比矩陣為

(13)

其中

g=wS0,d=bS0。

故J(X0)對應(yīng)的特征方程為

(α+μ1)2(α+μ2)T(α)=0,

(14)

其中

T(α)=(α+de+μ1)(α+dp+μ1)(α+da+μ1)(α+di+μ1)

gde(α+di+μ1)(α+da+μ1)

-g(1-r)dedp(α+di+μ1)

-drdedp(α+da+μ1),

顯然α1=α2=-μ1,α7=-μ2是特征方程(14)的特征根且都具有負(fù)實部。下面我們將證明剩余的根具有負(fù)實部。不妨假設(shè)α=x+iy(x,y∈R)是特征方程(14)的一個特征根且x>0,則

=R0,

這與R0<1矛盾,故特征方程(14)的每個根都具有負(fù)實部。因此當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)X0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3.2 地方性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理4當(dāng)R0>1時,若滿足

則地方性平衡點(diǎn)X*具有局部漸進(jìn)穩(wěn)定性,其中取

n=

a=(da+μ1),p=(dp+μ1),e=(de+μ1),i=(di+μ1),m=(l+μ1),

A1=m+p+a+i+μ2+e,

A2=l(p+a+i+μ2+e)+p(a+i+μ2+e)+a(i+μ2+e)+i(μ2+e)+μ2e,

A3=eμ2(i+a)+ai(e+μ2)+p(μ2e+ie+iμ2+ae+aμ2+ai)+l(eμ2+ie+iμ2+pa)+

l(ae+aμ2+ai+pμ2+pa)+

g*de(l+μ2+μ1+i+a)+deq*(l+μ2+μ1+i+p)+deq*(1-r)dp+rdpdeq*+ndeδ,

A4=eiμ2(a+p)+paμ2(e+i)+μ2l(ei+ea+ai)+pl(μ2e+μ2i+ia+aμ2+ae)+

deg*(l(i+μ2+a)+μ2(i+a)+ia)+qdedpdp(1-r)(l+μ2+i)-q*del(μ2+a+i)-

nδdel+ndeδ(dp-2rdp+i+a+l)+r2ded*dp(l+μ2+a),

A5=μ2ei(ap+la+lp)+lpa(eμ2+ie+iμ2)-nδ(i+a)del+

deg*(lμ2(i+a)+il(a+μ2)+al(μ2+i))+q*dpde(1-r)(l(μ2+i)+μ2i)+

rdpded*(l(μ2+a)+μ2a)-g*del(μ2(i+a)+ia)-nrplδd*de+

ndeδ[dp(1-r)(l+i)+rdp(a+l)+ai+il+al]-n(1-r)dpdelδ,

A6=aielpμ2+iaμ2delg*+il(1-r)dpdeg*μ2+raμ2lded*dp-ialg*deμ2-

nralδdpde-nilδ(1-r)dpde-niaδlde+ndeδ[(1-r)dpil-rdpam+ial],

證明非線性系統(tǒng)(1)在地方性平衡點(diǎn)X*的雅可比矩陣為

(15)

則J(X*)對應(yīng)的特征方程為

(α+μ1)(α6+A1α5+A2α4+A3α3+A4α2+A5α+A6)=0,

(16)

顯然α1=-μ1是特征方程(16)的一個特征根且具有負(fù)實部。經(jīng)過計算可得A1>0,A2>0,A3>0,A4>0,A5>0,A6>0。由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則知,如果R0>1,且滿足

A1A2>A3,

則地方性平衡點(diǎn)X*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

4 最優(yōu)控制

為了有效控制疾病的傳播,本文考慮易感人群受媒體信息依賴的疫苗接種,以及通過治療來降低傳播者人數(shù)來控制病毒傳播,在系統(tǒng)(1)中引入兩個控制變量,u(t)代表媒體信息報道的強(qiáng)度,v(t)代表對感染人群的治療強(qiáng)度,建立了如下的最優(yōu)控制系統(tǒng):

(17)

其中:p0代表接種疫苗后基本接種率的正常數(shù)。

允許控制集為:

Uad={u,v|0≤u≤1,0≤v≤1,u,v是可測函數(shù)}

在對傳染病的預(yù)防控制中,人們希望盡可能降低因為疫苗接種,感染治療與通過媒體覆蓋而產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)與時間成本。為此,定義最優(yōu)目標(biāo)泛函為:

(18)

式中:k1,k2,n1,n2是相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。

4.1 最優(yōu)控制的存在性

在這一節(jié)中,我們將首先證明最優(yōu)控制的存在唯一性。

定理5 對系統(tǒng)(17),存在唯一的最優(yōu)控制對(u*,v*)和所對應(yīng)的(S*,E*,P*,A*,I*,R*,M*),使得

(19)

證明為了證明最優(yōu)控制的存在唯一性,應(yīng)用文獻(xiàn)[10]的結(jié)果。主要分為以下幾步:

1)允許狀態(tài)集非空;

2)允許控制集Uad是凸且閉集;

3)系統(tǒng)(17)的右側(cè)被狀態(tài)和控制變量的線性函數(shù)所限定;

4)被積函數(shù)

是凸函數(shù)。

5)存在常數(shù)η1>0.η2>0,η3>0 使得被積函數(shù)L滿足

現(xiàn)在來逐個驗證以上5項:

1)由定理2方法可得,系統(tǒng)(17)的右端有界, 進(jìn)一步由系統(tǒng)(17)右端是連續(xù)的,所以根據(jù)文獻(xiàn)[11]得,系統(tǒng)(17)至少存在一個解,因此允許狀態(tài)集非空。

2)任意U1,U2∈Uad及λ∈[0,1],其中U1=(u1,v1),U2=(u2,v2),取U3=λU1+(1-λ)U2,則

U3=(u3,v3)=(λu1+(1-λ)u2,λv1+(1-λ)v2)

由0≤ui≤1且0≤vi≤1(i=1,2),故u3∈[0,1],v3∈[0,1],故U3∈Uad,即U是凸集。另一方面,若Un=(un,vn)∈Uad(n∈N+),且

由0≤un≤1,0≤vn≤1,可得0≤u≤1,0≤v≤1且u,v是可測函數(shù),故Uad是閉集。

3)由0≤u≤1, 0≤v≤1,從而通過系統(tǒng)(17),我們可知

(20)

其中:K1,K2的值由系統(tǒng)(17)決定, 因此(3)成立。

4)顯然被積函數(shù)是凸集,在此便不過多證明。

5)取

則

4.2 最優(yōu)控制的特征

在這一部分,我們將研究通過Pontryagin最大值原理研究最優(yōu)控制及其協(xié)態(tài)變量的表達(dá)式。為此,我們定義系統(tǒng)(17)的拉格朗日算子為

(21)

及所對應(yīng)的哈密頓函數(shù)

(22)

定理6 在系統(tǒng)(17)中,對最優(yōu)控制對(u*,v*)與狀態(tài)變量(S*,E*,P*,A*,I*,R*,M*)存在相應(yīng)的協(xié)態(tài)變量(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6,λ7) 且

(23)

所對應(yīng)的橫截條件為

λ1(T)=0,λ2(T)=0,λ3(T)=0,

λ4(T)=0,λ5(T)=0,λ6(T)=0,λ7(T)=0。

此外最優(yōu)控制變量u*,v*的表達(dá)式為:

(24)

其中,

證明將(17)代入(22)式可得:

λ4((1-r)dpP-daA-μ1A)+

λ7(δ(P+A+I)-μ2M)。

對任意t∈[0,T], 根據(jù)Pontryagin最大值原理,那么存在協(xié)態(tài)變量λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6,λ7,滿足

故得出式(23)。

根據(jù)最優(yōu)條件,當(dāng)u=u*,v=v*時,

經(jīng)過計算得出

(24)

根據(jù)允許控制集的定義, 有

(25)

5 數(shù)值擬合

5.1 敏感性分析

敏感性分析揭示了每個參數(shù)對疾病傳播的重要性,這些信息對研究傳染病模型的非線性動力學(xué)行為至關(guān)重要,對如何控制和預(yù)防疾病傳播,如何采取有效而又經(jīng)濟(jì)的控制措施都具有重要的意義。敏感性分析主要分為兩種,一種是局部敏感性分析,一種是全局敏感性分析。局部敏感性分析主要通過每次改變一個輸入?yún)?shù),同時將其他參數(shù)保持在中心值來檢查輸出的局部影響,而全局敏感性(見文獻(xiàn)[12])分析則是通過大范圍擾動模型輸入?yún)?shù),從而量化模型輸入對輸出的影響。本文主要通過全局敏感性分析來評價參數(shù)對基本再生數(shù)的相對重要性。

利用超立方采樣(Latin hypercube sampling, LHS)計算各參數(shù),并用這些參數(shù)的局部秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行全局敏感性分析。選取參數(shù)Λ=1,μ1=0.05,b=0.40,w=0.55,r=0.23,de=0.35,dp=0.43,da=0.35,di=0.35,可以得出不同R0的局部秩相關(guān)系數(shù)值,如圖1所示。

由圖1可知,參數(shù)μ1,da,dp對基本再生數(shù)R0有消極影響,de,r,dp,S0,b,w對基本再生數(shù)R0有積極影響。值得注意的有以下幾個方面:第一,疾病傳播率依然是影響最大的因素,其中包括無癥狀感染者的傳播率與癥狀傳播者的傳播率,無癥狀感染的傳播率影響稍大這也符合實際,這提醒人們應(yīng)該提高自身安全意識,避免無癥狀感染。第二,易感者的人數(shù)對于基本再生數(shù)的影響也比較大,這代表在不同人口基數(shù)的城市,病毒傳播的速率可能大有不同。第三,考慮到疾病傳播函數(shù)與易感者人數(shù)和傳播率有關(guān),通過媒體覆蓋的影響改變易感者的行為從而延緩病毒的傳播非常重要。

5.2 穩(wěn)定性分析

在式(7)中,選取參數(shù)Λ=1,μ1=0.01,μ2=0.05,b=0.007,w=0.55,r=0.23,de=0.35,dp=0.43,da=0.35,di=0.35, 此時R0=0.02,S0=100,圖2和圖3驗證了定理3,無病平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

圖2 R0=0.02時,S(t) 隨時間變化

圖3 R0=0.02時,E(t),P(t),A(t),I(t) 隨時間變化

由圖3可知,無癥狀感染者和癥狀感染者都將經(jīng)歷一個短暫的上升再迅速下降,這個現(xiàn)象說明即便R0<1,在一段時間內(nèi),感染人數(shù)依舊會增加,所以在疾病出現(xiàn),還是應(yīng)當(dāng)注意防護(hù)。其他參數(shù)保持不變,將b取為b=1.27,可得R0=4.04。

利用圖4和圖5,可以驗證引理2和定理4,當(dāng)R0>1時, 存在一個地方性平衡點(diǎn),而且這個地方性平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

圖4 R0=4.04時,S(t) 隨時間變化隨時間變化

圖5 R0=4.04時,E(t),P(t),A(t),I(t)隨時間變化

由圖5可知,無癥狀感染者和癥狀感染者都將經(jīng)歷一個上升的階段后逐步穩(wěn)定,但是無癥狀感染者上升稍稍快一點(diǎn),這可能與無癥狀傳播的隱蔽性有關(guān)。

5.3 最優(yōu)控制

通過bvp4c 函數(shù)法進(jìn)行模擬,取Λ=1,μ1=0.01,μ2=0.05,b=1.27,w=0.55,r=0.23,de=0.35,dp=0.43,da=0.35,di=0.35, 得到了最優(yōu)控制函數(shù)圖(圖6和圖7)。

圖6 無癥狀感染者

圖7 癥狀感染者

由圖6和圖7可知,在加入最優(yōu)控制策略之后,無論是無癥狀感染者還是癥狀感染者人數(shù)都將發(fā)生顯著的下降,但是癥狀感染者的下降最為明顯,這說明加強(qiáng)治療措施非常有效,因為在現(xiàn)實生活中,癥狀感染者的治療與恢復(fù)非常重要。從另一角度考慮,治療措施主要針對的是癥狀感染者,那么對于預(yù)防控制無癥狀傳播,加強(qiáng)媒體覆蓋的強(qiáng)度這一措施就尤為重要。

由圖6可知,無癥狀感染者人數(shù)雖然最終也會得到很大程度的控制,但是依然會上升一段時間,這與現(xiàn)實生活中,無癥狀感染者的隱蔽性也是符合的。而由圖8與圖9可知,一方面間歇性的信息覆蓋比較合理,一方面在感染人數(shù)大幅度下降之后,應(yīng)該繼續(xù)保持一段時間的控制措施,以避免疫情再次上升。

圖8 信息強(qiáng)度(u)

圖9 治療強(qiáng)度

6 結(jié)束語

本文考慮了媒體傳播對于傳染病傳播的影響,建立了SEPAIRM 模型,推導(dǎo)了基本再生數(shù)R0,并且證明了當(dāng)R0<1時, 系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的,當(dāng)R0>1時,存在唯一的地方性平衡點(diǎn),并且得出了地方性平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。在最優(yōu)控制研究中,通過Pontryagin最大值原理得出了最優(yōu)控制變量的表達(dá)式。在最后的數(shù)值模擬中,驗證了無病平衡點(diǎn)和地方性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,同時通過最優(yōu)控制函數(shù)圖也發(fā)現(xiàn),最優(yōu)控制策略對于降低感染人數(shù)是有效的,媒體覆蓋對于預(yù)防控制無癥狀傳播非常重要,而且間歇性的控制比較合適。