李德舉，黃 河

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所，四川成都 610036）

引 言

天線座作為支撐并驅(qū)動(dòng)天線等載荷回轉(zhuǎn)的機(jī)械類裝備有著廣泛的應(yīng)用。天線座的動(dòng)力學(xué)特性直接影響著載荷的指向精度、穩(wěn)定時(shí)間等動(dòng)態(tài)性能，而天線座扭轉(zhuǎn)維度的固有頻率是動(dòng)態(tài)性能最直觀的指標(biāo)。

文獻(xiàn)[1]采用牛頓法對(duì)天線座驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)諧振頻率進(jìn)行了計(jì)算；文獻(xiàn)[2]采用霍爾茲法分別對(duì)某型艦載雷達(dá)天線傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行了計(jì)算；文獻(xiàn)[3]同樣采用霍爾茲法對(duì)某型天線座前5階的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率進(jìn)行了計(jì)算；文獻(xiàn)[4]對(duì)位標(biāo)器傳動(dòng)裝置的固有頻率和模態(tài)進(jìn)行了分析，并對(duì)傳動(dòng)裝置進(jìn)行了優(yōu)化；文獻(xiàn)[5]采用拉格朗日法建立了某天線座的多柔體動(dòng)力學(xué)模型，得到了天線座中齒輪副的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并通過(guò)ADAMS進(jìn)行了仿真分析，所得結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致。本文以方位轉(zhuǎn)臺(tái)式天線座為研究對(duì)象，基于拉格朗日法創(chuàng)建動(dòng)力學(xué)方程，得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率的解析表達(dá)式，使用ADAMS軟件仿真分析了天線座的固有頻率，并與理論分析結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 天線座組成及工作原理

某方位轉(zhuǎn)臺(tái)式天線座的組成和外形分別如圖1和圖2（除去了負(fù)載及平臺(tái)）所示。天線座的傳動(dòng)原理如下：交流伺服電機(jī)提供動(dòng)力，經(jīng)減速器將動(dòng)力傳遞給輸出端小齒輪，小齒輪與轉(zhuǎn)盤(pán)軸承內(nèi)圈上的內(nèi)齒嚙合，從而驅(qū)動(dòng)與內(nèi)圈固連的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，減速器為直角型式，轉(zhuǎn)盤(pán)軸承外圈與基座及車(chē)平臺(tái)固連，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)盤(pán)及負(fù)載固連。

圖1 天線座組成

圖2 天線座外形

2 基于拉格朗日法的固有頻率計(jì)算

在天線座設(shè)計(jì)之初，通常對(duì)振型關(guān)注度不高，只需求解扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率，為伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)師和總體設(shè)計(jì)師提供參考。

為便于分析，將天線座視為一線性定常系統(tǒng)，用拉格朗日法建立其動(dòng)力學(xué)模型。拉格朗日法從功能平衡角度出發(fā)，根據(jù)動(dòng)能與勢(shì)能之差建立拉格朗日函數(shù)。不考慮系統(tǒng)損耗時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程的基本形式為：

式中：t為時(shí)間；qi為廣義坐標(biāo)；L為拉格朗日函數(shù)，L=T-U（T為系統(tǒng)的動(dòng)能，U為系統(tǒng)的勢(shì)能）；Fi為廣義力。

在選取廣義坐標(biāo)后，求得各部分的動(dòng)能、勢(shì)能、拉格朗日函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)，再通過(guò)系數(shù)矩陣形式描述動(dòng)力學(xué)方程，即可求解固有頻率。

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

2.1.1 廣義坐標(biāo)

假設(shè)負(fù)載、車(chē)平臺(tái)等構(gòu)件為剛體，忽略摩擦、側(cè)隙等非線性因素，只考慮電機(jī)、減速器的勢(shì)能，并將電機(jī)和減速器的扭轉(zhuǎn)剛度視為恒定值。

在描述系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能時(shí)，考慮天線座中伺服電機(jī)輸出端、減速器輸出端及末級(jí)的轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度，選取構(gòu)件的轉(zhuǎn)角θi為廣義坐標(biāo)，令各構(gòu)件的慣量為Ji，扭轉(zhuǎn)剛度為Ki，下標(biāo)i與圖1中的構(gòu)件編號(hào)對(duì)應(yīng)。減速器的速比為n2，轉(zhuǎn)盤(pán)軸承內(nèi)齒與小齒輪之間的速比（末級(jí)速比）為n4。

天線座的原理框圖如圖3所示。實(shí)際使用時(shí)，無(wú)論天線座扇掃、圓掃還是駐留，伺服電機(jī)接收驅(qū)動(dòng)器指令后，電機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)均已確定，故電機(jī)端應(yīng)為約束狀態(tài)。

圖3 天線座原理框圖

2.1.2 系統(tǒng)動(dòng)能

系統(tǒng)的動(dòng)能為各部件動(dòng)能之和：

2.1.3 系統(tǒng)勢(shì)能

系統(tǒng)的勢(shì)能為電機(jī)與減速器勢(shì)能之和：

2.1.4 拉格朗日函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)

根據(jù)式（2）和（3）可得拉格朗日函數(shù)：

式中：T1和T7分別為伺服電機(jī)和負(fù)載的動(dòng)能；Jε1=

寫(xiě)成如下矩陣形式：

慣量矩陣J和剛度矩陣K分別為：

2.1.5 固有頻率

天線座的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率可簡(jiǎn)化為求解特征值方程問(wèn)題：

即：

式中，ω為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)圓頻率。

式（9）的解析解較為復(fù)雜，可通過(guò)已知參數(shù)代入，便可得到兩階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率。

2.2 考慮平臺(tái)扭轉(zhuǎn)剛度的動(dòng)力學(xué)模型

若考慮其他彈性環(huán)節(jié)，可引入相應(yīng)的廣義坐標(biāo)，建立對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。例如，考慮天線座安裝平臺(tái)的扭轉(zhuǎn)變形影響，需計(jì)入平臺(tái)的轉(zhuǎn)角θ9、扭轉(zhuǎn)剛度K9、轉(zhuǎn)盤(pán)軸承外圈、基座和平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J5，J8和J9，則式（2）調(diào)整為：

式（3）調(diào)整為：

通過(guò)比較引入平臺(tái)扭轉(zhuǎn)剛度前后的結(jié)果可知：

1）式（9）與式（12）中a11，a12，a21和a22四個(gè)元素完全相同，除元素a33外，其他元素為0。故式（12）得到的三階頻率中兩階與式（9）相同；

其中，平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J9在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的具體數(shù)值與平臺(tái)構(gòu)型、質(zhì)量分布密切相關(guān)，無(wú)法準(zhǔn)確量化。對(duì)此，可采用仿真的方法進(jìn)行分析。

3 基于ADAMS的仿真分析

除了采用數(shù)學(xué)模型對(duì)天線座的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率進(jìn)行計(jì)算外，還可以采用實(shí)體模型，在多體動(dòng)力學(xué)軟件中進(jìn)行仿真分析，并與數(shù)學(xué)模型求得的結(jié)果互相驗(yàn)證。本文基于多體動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS，對(duì)天線座進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并求解扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率。

3.1 模型前處理

天線座由諸多零部件構(gòu)成，為提高仿真效率且保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，需要對(duì)模型進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化。

首先要去除對(duì)仿真結(jié)果影響很小的螺釘?shù)染o固件，再基于統(tǒng)一坐標(biāo)系，將具有同樣運(yùn)動(dòng)狀態(tài)且為相同材料的實(shí)體整合為一個(gè)構(gòu)件。基座、轉(zhuǎn)盤(pán)軸承、轉(zhuǎn)盤(pán)、小齒輪為真實(shí)狀態(tài)的物理模型。電機(jī)、減速器、負(fù)載由多種材料組成，且本文并非研究部件特性，所以根據(jù)它們的實(shí)際重量、重心和慣量，通過(guò)圓柱實(shí)體表征即可。

此外，在建立運(yùn)動(dòng)副時(shí)，常常要用到依附于構(gòu)件的Marker點(diǎn)，所以需要提前確定這些點(diǎn)的坐標(biāo)，包括轉(zhuǎn)盤(pán)軸承內(nèi)齒與小齒輪齒寬中面上分度圓切點(diǎn)的坐標(biāo)、小齒輪齒寬中面與回轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)等。

以上操作建議在三維建模軟件中進(jìn)行，再將簡(jiǎn)化后的模型轉(zhuǎn)化為.x_t格式的文件，導(dǎo)入Adams View環(huán)境中。

3.2 仿真設(shè)置

仿真設(shè)置主要包括賦予部件材料及質(zhì)量特性，建立運(yùn)動(dòng)副，施加載荷、驅(qū)動(dòng)等。

3.2.1 物理特性定義

轉(zhuǎn)盤(pán)和基座的材料為鋁合金，轉(zhuǎn)盤(pán)軸承和齒輪的材料為合金鋼，賦予相應(yīng)密度即可。

3.2.2 運(yùn)動(dòng)副創(chuàng)建

模型中運(yùn)動(dòng)副包括小齒輪與減速器之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副，轉(zhuǎn)盤(pán)軸承內(nèi)圈與外圈之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副以及小齒輪與轉(zhuǎn)盤(pán)軸承內(nèi)圈之間的齒輪副。齒輪副可采用關(guān)聯(lián)以上兩旋轉(zhuǎn)副與分度圓上Marker點(diǎn)的方式創(chuàng)建，或在機(jī)構(gòu)模塊中創(chuàng)建。前者按照理論傳動(dòng)比傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，后者的選擇更多，需考慮嚙合狀態(tài)、接觸等因素影響，本文暫不考慮這些非線性因素，故選用第一種方法進(jìn)行創(chuàng)建。

電機(jī)軸由圓柱實(shí)體提供慣量，其輸入端與大地之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副，輸出端通過(guò)扭簧與減速器輸入端連接，以模擬電機(jī)軸扭轉(zhuǎn)剛度；減速器內(nèi)部輪系由一級(jí)齒輪副代替，以模擬其速比，其輸出端與小齒輪之間通過(guò)扭簧連接，以模擬扭轉(zhuǎn)剛度。

另外，在上述扭簧的設(shè)置中，不應(yīng)忽略阻尼系數(shù)，否則會(huì)在固有頻率處產(chǎn)生共振，末端響應(yīng)會(huì)趨于無(wú)窮。電機(jī)阻尼系數(shù)受內(nèi)部磁路、軸承參數(shù)等影響，減速器阻尼系數(shù)受齒輪與軸承參數(shù)、潤(rùn)滑脂類型等影響，可通過(guò)試驗(yàn)或計(jì)算得到?？紤]到這并非本文關(guān)注的重點(diǎn)，故參照文獻(xiàn)[6]中數(shù)據(jù)，設(shè)定阻尼系數(shù)為100 N·mm·s/(°)，使得末端響應(yīng)不發(fā)散即可。

3.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真之前，先對(duì)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證，以保證各運(yùn)動(dòng)副的正確性。圖3中天線座的參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 天線座參數(shù)

依照3.1和3.2節(jié)中所述的步驟，建立除平臺(tái)以外的天線座實(shí)體模型。先將系統(tǒng)中扭簧抑制，扭簧兩端構(gòu)件直接固連，然后在電機(jī)輸出端施加1 000°/s的轉(zhuǎn)速驅(qū)動(dòng)。

設(shè)置仿真時(shí)間2 s，100個(gè)載荷步。仿真結(jié)果如圖4所示。根據(jù)速比關(guān)系，轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度應(yīng)為5.026 5°/s，負(fù)載轉(zhuǎn)角與理論結(jié)果吻合。

圖4 天線座運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

3.4 動(dòng)力學(xué)分析

在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真之前，激活電機(jī)及減速器輸出端的扭簧。然后在電機(jī)輸出端使用SWEEP命令施加正弦掃頻驅(qū)動(dòng)，由于頻段較寬，故分為0～750 Hz和750～1 500 Hz兩段進(jìn)行掃頻，這使得頻域的結(jié)果更便于分析。

負(fù)載的扭轉(zhuǎn)維度角速度響應(yīng)如圖5所示，對(duì)響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。

圖5 兩頻段角速度響應(yīng)

圖6 響應(yīng)的快速傅里葉變換

仿真得到的兩階固有頻率分別為23.29 Hz和1 059.25 Hz，采用式（9）計(jì)算，結(jié)果為23.71 Hz 和1 023.22 Hz，兩者之間的偏差源于前文提及的阻尼系數(shù)的影響。

3.5 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析

考慮到平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)法準(zhǔn)確評(píng)估，故將平臺(tái)實(shí)體模型柔性化，并與天線座連接，進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析。其原理是采用有限元方法，通過(guò)計(jì)算構(gòu)件的自然頻率和對(duì)應(yīng)的模態(tài)，按照模態(tài)理論，將構(gòu)件產(chǎn)生的變形看作是由構(gòu)件模態(tài)通過(guò)線性計(jì)算得到的[7]，但構(gòu)件的模態(tài)信息需借助其他有限元軟件得到。

本文通過(guò)ANSYS APDL對(duì)平臺(tái)劃分網(wǎng)格，定義基座與平臺(tái)連接的各螺栓孔中心為剛性節(jié)點(diǎn)，求解平臺(tái)前6階模態(tài)，并輸出.mnf格式文件至ADAMS中進(jìn)行裝配，如圖7所示。

圖7 天線座與平臺(tái)裝配示意圖

由于平臺(tái)模態(tài)已通過(guò)ANSYS得到，其1階固有頻率為106.3 Hz。天線座與平臺(tái)裝配形成新的系統(tǒng)后，局部剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化，故需關(guān)注平臺(tái)1階固有頻率周?chē)欠癯霈F(xiàn)圖6所示結(jié)果以外的固有頻率。施加0～200 Hz頻段的掃頻驅(qū)動(dòng)，響應(yīng)及其快速傅里葉變換結(jié)果如圖8所示。

圖8 角速度響應(yīng)及快速傅里葉變換

從圖8可以看出，天線座扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的2階固有頻率為149.9 Hz，由此可知引入平臺(tái)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生了較大變化，在實(shí)際應(yīng)用中不應(yīng)忽略平臺(tái)的影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先基于拉格朗日法建立了一典型天線座的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)存在兩自由度、三自由度時(shí)固有頻率的解析表達(dá)式；介紹了基于ADAMS的動(dòng)力學(xué)分析流程，并創(chuàng)建實(shí)體模型分析了該天線座的固有頻率，所得結(jié)果與理論分析的結(jié)果吻合，驗(yàn)證了解析解的正確性。這為伺服控制系統(tǒng)算法優(yōu)劣的評(píng)估、參數(shù)的調(diào)整以及機(jī)電聯(lián)合仿真打下了一定的基礎(chǔ)。