摘" 要：解析2023年高考數(shù)學(xué)全國卷“概率與統(tǒng)計(jì)”大題，并分析試題的背景，最后給出教學(xué)建議，以期給一線教師提供復(fù)習(xí)備考的思路或參考.

關(guān)鍵詞：2023年高考數(shù)學(xué)；全國卷；概率與統(tǒng)計(jì)；背景分析；教學(xué)建議

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0031-05

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：李鴻昌（1991.10—），男，貴州省凱里人，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2023年貴陽市“雙新示范區(qū)示范?！睂ｍ?xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)踐研究”（課題編號：GYSX2323）.

2023年高考數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”大題，試題新穎，且情境有的取材于學(xué)生生活的真實(shí)問題，有的取材于科學(xué)研究情境，而有的則取材于勞動(dòng)生產(chǎn)情境.試題創(chuàng)設(shè)自然真實(shí)情境，助力應(yīng)用能力考查［1］，有助于學(xué)生的“德智體美勞”全面發(fā)展.

1" 試題解析與背景分析

1.1" 設(shè)置科學(xué)研究情境

例1" （2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題［2］）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖（如圖1）：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5％時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈［95，105］時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值.

解析" （1）由患病者指標(biāo)的頻率分布直方圖可得患病者指標(biāo)不大于97.5的頻率為0.002×（97.5-95）=0.5%，因此臨界值c=97.5.

由未患病者指標(biāo)的頻率分布直方圖可得未患病者指標(biāo)大于97.5的頻率為0.010×（100-97.5）+0.002×（105-100）=3.5%，因此誤診率q（97.5）=3.5%.

（2）由頻率分布直方圖知，

當(dāng)95≤clt;100時(shí)，f（c）=0.002×（c-95）+0.010×（100-c）+0.002×（105-100）=0.82-0.008c；

當(dāng)100≤c≤105時(shí)，f（c）=0.002×（100-95）+0.012×（c-100）+0.002×（105-c）=0.01c-0.98.

所以f（c）=0.82-0.008c，95≤clt;100，0.01c-0.98，100≤c≤105.

由于f（c）在區(qū)間［95，100］單調(diào)遞減，在區(qū)間［100，105］單調(diào)遞增，所以f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值f（100）=0.02［3］.

背景分析" 試題的情景是真實(shí)的，設(shè)計(jì)的問題具有現(xiàn)實(shí)意義，也具備研究價(jià)值.在醫(yī)學(xué)研究或醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中，依據(jù)某些醫(yī)學(xué)指標(biāo)制定篩查或診斷標(biāo)準(zhǔn)，需要合理平衡漏診率和誤診率， 而漏診率和誤診率又依賴于醫(yī)學(xué)指標(biāo)的分布規(guī)律以及臨界值c.試題通過頻率分布直方圖的形式給出了某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在患病與未患病兩個(gè)群體中的分布規(guī)律，這是確定臨界值c及計(jì)算漏診率和誤診率的依據(jù).從試題的第（1）問可以清楚地看出臨界值c是如何影響漏診率和誤診率的，同時(shí)也可以看出降低漏診率必定會(huì)提高誤診率，反之亦然. 這就為第（2）問埋下了伏筆.試題的第（2）問就是確定臨界值c，使得漏診率和誤診率之和最小.這兩問是密切聯(lián)系的，試題能有效地考查考生科學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng).

事實(shí)上，研究和制定醫(yī)學(xué)檢測標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，對漏診率和誤診率往往并不是同等對待，而是根據(jù)實(shí)際情況不對等地看待其危害.在確定臨界值c時(shí)，需要根據(jù)漏診和誤診的危害程度，合理地建立損失函數(shù)，然后最小化損失函數(shù).一種簡單的損失函數(shù)是漏診率和誤診率的線性函數(shù)f（c）=ap（c）+bq（c）， 其中系數(shù)a，b是根據(jù)漏診和誤診的危害程度確定的.試題中取a=b=1是出于簡化計(jì)算的目的.另外，試題只要求考生求出f（c）=p（c）+q（c）在c∈［95，105］的解析式，也是出于簡化計(jì)算的目的，而且容易看出f（c）的最小值在c=100處取得.試題展示了數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用，很好地將問題情境抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)必備知識和關(guān)鍵能力的考查要求.

1.2" 設(shè)計(jì)勞動(dòng)生產(chǎn)情境

例2" （2023年高考理科數(shù)學(xué)全國乙卷第17題［4-5］）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i=1，2，…，10）.試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號i12345678910

伸縮率xi545533551522575544541568596548

伸縮率yi536527543530560533522550576536

記zi=xi-yi（i=1，2，…，10），記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z-，樣本方差為s2.

（1）求z-，s2；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z-≥2s2/10，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

解析" （1）由題意可得zi=xi-yi的值分別為9，6，8，-8，15，11，19，18，20，12，所以樣本平均數(shù)

z-=110×［9+6+8+（-8）+15+11+19+18+20+12］=11.

樣本方差s2=110［（-2）2+（-5）2+（-3）2+（-19）2+42+02+82+72+92+12］=61.

（2）因?yàn)閦-=11gt;26.1，所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

背景分析" 本題以橡膠生產(chǎn)中的工藝比較為背景設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)問題，考查考生統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識分析問題的能力.

在統(tǒng)計(jì)分析中，樣本平均數(shù)及方差是最常用的工具.本題第（1）問是基礎(chǔ)的，考生比較熟悉，只要利用公式，保證計(jì)算準(zhǔn)確即可得到答案.第（2）問則體現(xiàn)本題的主要統(tǒng)計(jì)思想.試題中， 甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率與乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率之差可以看作一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量z，隨機(jī)抽取容量為n的樣本，得到隨機(jī)變量z1，z2，…，zn.記z-=1n（z1+z2+…+zn），s*2=1n-1∑ni=1（zi-z-）2.

假設(shè)甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率沒有顯著提高，則可以認(rèn)為nz-/s*服從統(tǒng)計(jì)中常用的t分布，根據(jù)該分布的特點(diǎn)可知，nz-/s*取較大的數(shù)值是小概率事件.注意到當(dāng)n較大時(shí)有s*≈s， 所以nz-/s取較大的數(shù)值也是小概率事件. 具體到試題來說，n=10， 在前面的假設(shè)下，10z-sgt;2是一個(gè)小概率事件.而根據(jù)題設(shè)給出的樣本觀察值z1，z2，…，z10計(jì)算得到z-gt;2s2/10，也即小概率事件發(fā)生了. 以上是試題蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想.

1.3" 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境

例3" （2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第21題［6］）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6 ，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布， 且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則

E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.記前n次（即從第1 次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

解析" （1）所求的概率為0.5×（1-0.6）+

0.5×0.8=0.2+0.4=0.6.

（2）設(shè)Ak表示事件“第k次投籃的人是甲”，記pk=P（Ak），k=1，2，…，i.

當(dāng)k≥2時(shí)，第k次投籃的人是甲，共有下面兩種情況：

第k-1次投籃的人是甲且甲命中，概率為

P（Ak-1）×0.6=35pk-1；

第k-1次投籃的人是乙且乙未命中，概率為

P（Ak-1）×（1-0.8）=15（1-pk-1）.

所以當(dāng)k≥2時(shí)，

pk=35pk-1+15（1-pk-1）=25pk-1+15，

即pk-13=25（pk-1-13）.

所以pk=13+（p1-13）×（25）k-1.

又p1=12，

所以第i次投籃的人是甲的概率為

pi=13+16×（25）i-1.

（3）設(shè)Xi=1，第i次投籃的人是甲，0，第i次投籃的人是乙（i=1，2，…，n），則Xi服從兩點(diǎn)分布，P（Xi=1）=13+16×（25）i-1，且Y=∑ni=1Xi. 于是

E（Y）=E（∑ni=1Xi）

=∑ni=1［13+16×（25）i-1］

=n3+518［1-（25）n］.

背景分析" 本題以籃球投籃為背景，貼近考生生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)問題情境.試題設(shè)置新穎，巧妙地將概率問題融入兩人連續(xù)投籃的情境中.試題的前兩問將事件的分解、概率的加法公式和乘法公式、等比數(shù)列的構(gòu)造和計(jì)算等知識有機(jī)結(jié)合，重在考查學(xué)生的邏輯思維能力，考查考生對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，較全面地考查了考生對概率的基礎(chǔ)知識，特別是古典概率模型、事件的關(guān)系和運(yùn)算、概率基本性質(zhì)的掌握；同時(shí)考查了考生在概率計(jì)算中綜合運(yùn)用其他數(shù)學(xué)知識的能力，如等比數(shù)列的構(gòu)造與計(jì)算.

進(jìn)一步地，第（2）問的結(jié)論啟發(fā)考生觀察和思考：為什么當(dāng)i充分大時(shí)，pi穩(wěn)定在1∶3附近.原因是在第一次投籃之后，只有當(dāng)對方?jīng)]有投中時(shí)才輪到自己投，所以經(jīng)過很長時(shí)間以后， 某一次由甲投的概率與這一次由乙投的概率的比值應(yīng)穩(wěn)定在（1-0.8）∶（1-0.6）=1∶2，故由甲投的概率將穩(wěn)定在（1-0.8）∶［（1-0.8）+（1-0.6）］=1∶3附近.

第（3）問涉及的是兩點(diǎn)分布，對于只有兩個(gè)可能結(jié)果A，A-的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以構(gòu)造一個(gè)取值為0，1的隨機(jī)變量X，作為單次試驗(yàn)中A發(fā)生的計(jì)數(shù)：

X=1，A發(fā)生，0，A未發(fā)生，則隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且其數(shù)學(xué)期望E（X）=P（A）， 這一點(diǎn)在教材中有詳細(xì)介紹.多次進(jìn)行只有兩個(gè)可能結(jié)果A，A-的隨機(jī)試驗(yàn)，如果用Xi表示第i次試驗(yàn)中A發(fā)生的計(jì)數(shù)，即Xi=1， 在第i次試驗(yàn)中A發(fā)生，0，在第i次試驗(yàn)中A未發(fā)生，則在前n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)等于隨機(jī)變量和X1+X2+…+Xn，其數(shù)學(xué)期望為E（X1）+E（X2）+…+E（Xn），這個(gè)思路廣泛應(yīng)用于概率論中的期望計(jì)算，也適用于描述生活中的許多場景［7-8］.

2" 教學(xué)建議

2.1" 引導(dǎo)減少機(jī)械刷題

《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》中明確提出要改變相對固化的試題形式，增加試題開放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.2023年新高考Ⅱ卷第19題和全國乙卷第17題通過增加試題的新穎性、靈活性，降低了機(jī)械刷題、套路訓(xùn)練的作用，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用.這就需要一線教師改變一些固有的、刻板的教學(xué)模式，而且要從大量的習(xí)題中挑選出高質(zhì)量、有針對性的題目拿給學(xué)生訓(xùn)練，即要想學(xué)生跳出題海，教師先跳進(jìn)題海.同時(shí)，要重視基本概念的講解，幫助學(xué)生打牢基礎(chǔ)，從而真正使教學(xué)提質(zhì)增效，減輕學(xué)生的無效負(fù)擔(dān).

2.2" 引導(dǎo)教學(xué)回歸教材

高考的考查從來都不是直接考概念定義，而是以課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為依據(jù)，將概念、性質(zhì)融入一定的情境中，考查學(xué)生是否真正理解.2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題就是如此，這引導(dǎo)一線教師把教學(xué)重點(diǎn)放在讓學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、主動(dòng)探究上，教師要做到深度挖掘教材，切實(shí)把課本上的內(nèi)容講深講透，尤其是課本上涉及了幾個(gè)重要的概率模型.

2.3" 引導(dǎo)構(gòu)建知識體系

新課標(biāo)Ⅰ卷第21題將事件的分解、概率的加法公式和乘法公式、等比數(shù)列等知識有機(jī)結(jié)合，通過各模塊知識的融合，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力以及對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，同時(shí)考查在概率計(jì)算中綜合運(yùn)用其他數(shù)學(xué)知識的能力，如等比數(shù)列的構(gòu)造和計(jì)算.又比如全國甲卷第19題，綜合考查了二項(xiàng)分布、概率計(jì)算和獨(dú)立性檢驗(yàn)；新課標(biāo)Ⅱ卷第19題，綜合考查了頻率分布直方圖、百分位數(shù)知識和分段函數(shù)等.這需要一線教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建出學(xué)科知識體系框架，進(jìn)而將這些知識、方法等內(nèi)化進(jìn)自身的知識結(jié)構(gòu)之中，這樣才能活學(xué)活用、適應(yīng)新高考.

3" 結(jié)束語

縱觀2023年高考的“概率與統(tǒng)計(jì)”大題，重點(diǎn)考查了“概率與統(tǒng)計(jì)”的主干知識，比如樣本數(shù)據(jù)的特征（平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）、函數(shù)與概率的綜合、數(shù)列與概率的綜合等［9-10］.要求考生熟悉概率的兩個(gè)重要分布（超幾何分布和二項(xiàng)分布），并掌握事件的分解、概率的加法公式和乘法公式、等比數(shù)列的構(gòu)造等.教師在高三備考復(fù)習(xí)中，要回歸教材，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，梳理常見的概率模型.同時(shí)，教師要跳進(jìn)題海中，刷選出具有代表性的高考真題和模擬試題，拿給學(xué)生做針對性訓(xùn)練，從而減少機(jī)械刷題，幫助學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)效率.

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［責(zé)任編輯：李" 璟］