中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）16-0102-05

收稿日期：2024-03-05

作者簡(jiǎn)介：李鴻昌（1991.10—），男，貴州省凱里人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)解題研究.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合M={x||x-1|lt;2}，N={x|2xgt;4}，則M∩N=（" ）.

A.（-2，3）""" B.（2，3）C.（3，+∞）D.（-1，3）

2.已知1+2i是方程x2+mx+5=0（m∈R）的一個(gè)根，則m=（" ）.

A.-2""" B.2""" C.i""" D.-1

3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，（a-b）⊥a，則coslt;a，bgt;=（" ）.

A.-12" B.-32" C.12" D.32

4.已知f（x）=m·2x+n·2-x，x≥0，21+x-21-x，xlt;0是定義在R上的偶函數(shù)，則m-n=（" ）.

A．-4""" B．0""" C．2""" D．4

5.如圖1，過雙曲線E：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為M，切線與一條漸近線交于點(diǎn)N，若FM=2MN，則雙曲線E的離心率為（" ）.

A.2""" B.5""" C.6""" D.7

6.已知直線l：y=kx+2，圓x2+y2=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則k=（" ）.

A.1或2""""" B.-1或-2

C.2或-1D.1或-1

7.已知cosβ-2sinβ=2，sinα=2sin（α+β），則tan（α+β）=（" ）.

A.13" B.12" C.5-12" D.5+12

8.已知f（x）=eax-x-1，其中a∈R，若f（x）≥0恒成立，則（" ）.

A.a≥1" B.a≥0" C.a≥2" D.a=1

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則下列命題正確的是（" ）.

A.若an是等差數(shù)列，則a4a6≥a3a7

B.若an是等差數(shù)列，則S4S6≤S3S7

C.若an是正項(xiàng)等比數(shù)列，則a3+a7≥a4+a6

D.若an是正項(xiàng)等比數(shù)列，則S4+S6≤2S5

10.已知cgt;0，且2a=3b=5c，則（" ）.

A.agt;bgt;c" B.aclt;b2

C.1a+1bgt;1cD.若a+c=ac，則b=log310

11.在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AB=3，平面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是集合M=DDA=2DB.若C，Di∈M且Di∈AB，i=1，2，則（" ）.

A.動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是圓

B.平面PCD1⊥平面PCD2

C.三棱錐P-ABC體積的最大值為3

D.三棱錐P-D1D2C外接球的表面積不是定值

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知2cos4α+8cos2α+5=0，則cos2α=.

13.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

14.經(jīng)過拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，E，則cos∠DFE=；S△AFD·S△BFE（S△DEF）2=.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=5，c=4，cosC=34，a為正整數(shù).

（1）求△ABC的面積；

（2）證明：A=2C.

16.如圖1所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AA1=4，BC=5.設(shè)M，N分別是棱BB1，AB的中點(diǎn)，且AM⊥A1N.

（1）求證：AC⊥AM；

（2）設(shè)點(diǎn)P滿足A1P=2PC，求平面PAM與平面BAM的夾角的余弦值.

17.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0）的離心率為12，且經(jīng)過點(diǎn)（3，32）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)M（-4，0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且FA·FB=0，求直線l的斜率.

18.某商場(chǎng)為了吸引客戶開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在商場(chǎng)門口擺放有甲、乙、丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的5個(gè)球，其中甲箱有3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出1個(gè)球，若從甲箱中摸出的是藍(lán)球，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個(gè)球；若從甲箱中摸出的是黑球，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個(gè)球.

（1）求最后從乙箱中摸出2個(gè)球顏色相同的概率；

（2）若最后摸出的2個(gè)球顏色相同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；

（3）若最后摸出每個(gè)紅球得消費(fèi)抵扣券面值100元，每個(gè)白球得消費(fèi)抵扣券面值50元，用隨機(jī)變量X表示顧客抽獎(jiǎng)一次所得的面值數(shù)額，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.已知函數(shù)f（x）=ax-3sinxcos2x，x∈0，π2.

（1）求證：2tanx+3sinxgt;5x；

（2）若f（x）lt;sin2x，求a的取值范圍.

參考答案

1.B" 2.A" 3.C" 4.A" 5.C" 6.D" 7.B

8.D" 9.AC" 10.ACD" 11.ABC

12.14" 13.9π2" 14.0；14

15.（1）由余弦定理，得

cosC=52+a2-4210a=34.

化簡(jiǎn)，得

（2a-3）（a-6）=0.

又因?yàn)閍為正整數(shù)，

所以a=6.

又sinC=1-cos2C=74，

因此，△ABC的面積S=12absinC=1574.

（2）由余弦定理知

cosA=b2+c2-a22bc=42+52-622×4×5=18，

而cos2C=2cos2C-1=2×916-1=18.

又因?yàn)锳，2C∈（0，π），

所以A=2C.

16.（1）由題意知，四邊形ABB1A1是矩形，且BM=2，AN=12AB.

因?yàn)锳1N⊥AM，所以

∠A1NA+∠NA1A=90°，∠A1NA+∠NAM=90°.

所以∠NA1A=∠NAM.

所以tan∠NA1A=tan∠NAM.

即ANAA1=BMAB.

即AB/24=2AB，

解得AB=4.

因?yàn)锳B2+AC2=42+32=25=BC2，

所以AC⊥AB.

由題意知AA1⊥平面ABC，

所以AA1⊥AC.

又AB∩AA1=A，AB，AA1平面ABB1A1，

所以AC⊥平面ABB1A1.

又因?yàn)锳M平面ABB1A1，

故AC⊥AM.

（2）如圖2所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在方向?yàn)閤軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（4，0，0），M（4，0，2），A1（0，0，4），C（0，3，0），AM=（4，0，2）.

設(shè)P（x，y，z），由A1P=2PC，知

A1P=23A1C.

即（x，y，z-4）=23（0，3，-4）.

解得P（0，2，43）.

所以AP=（0，2，43）.

設(shè)平面PAM的法向量為n=（x，y，z），則

n·AP=0，n·AM=0.

所以3y+2z=0，4x+2z=0.

取x=3，得n=（3，4，-6）.

又因?yàn)锳C=（0，3，0）是平面BAM的法向量，設(shè)平面PAM與平面BAM的夾角為θ，則

cosθ=coslt;n，ACgt;=n·ACnAC=46161.

所以平面PAM與平面BAM的夾角的余弦值為46161.

17.（1）由題意知3a2+34b2=1，ca=12，a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1.

所以橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）如圖3所示，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又F（-1，0），所以由FA·FB=0，得

（x1+1，y1）·（x2+1，y2）=0.

即x1x2+x1+x2+y1y2+1=0.

設(shè)直線l的方程為y=k（x+4），則

y1y2=k2（x1+4）（x2+4）

=k2x1x2+4k2（x1+x2）+16k2.

因此得到

（1+k2）x1x2+（4k2+1）（x1+x2）+16k2+1

=0.①

聯(lián)立直線l與橢圓C的方程

3x2+4y2=12，y=k（x+4），

得到（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0.

所以x1+x2=-32k23+4k2，

x1x2=64k2－123+4k2.

代入①式，得

（64k2-12）（1+k2）-32k2（4k2+1）+（16k2+1）（3+4k2）=0，

化簡(jiǎn)，得72k2-9=0.

解得k=±24.

所以直線l的斜率為±24.

18.（1）由題意，從甲箱中摸出籃球的概率P1=35，摸出黑球概率P2=25．

記事件A為“最后從乙箱中摸出的2個(gè)球顏色相同”，則

P（A）=25（25×C25C26+35×C24+C22C26）=82375.

（2）記事件B為“這2個(gè)球是從丙箱中摸出的”，C為“最后摸出的2個(gè)球顏色相同”，則

P（B|C）=P（BC）P（C）.

因?yàn)?/p>

P（C）=35（45×2C23C26+15×C24+C22C26）+25（25×C25C26+35×C24+C22C26）=175375=715，

P（BC）=35（45×2C23C26+15×C24+C22C26）=93375，

所以P（B|C）=93/3757/15=93175.

（3）X的所有可能取值為100，150，200，則

P（X=100）=35×（15×C24C26+45×C23C26）+25×35×C22C26=425，

P（X=150）=35×（15×C12C14C26+45×C13C13C26）+25×（25×C15C11C26+35×C14C12C26）=815，

P（X=200）=35×（15×C22C26+45×C23C26）+25×（25×C25C26+35×C24C26）=2375.

所以X的分布列如下：

X

100

150

200

P

425

815

2375

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=425×100+815×150+

2375×200=4723.

19.（1）令g（x）=2tanx+3sinx－5x，0lt;xlt;π2，則

g′（x）=2cos2x+3cosx-5=3cos3x-5cos2x+2cos2x.

令h（x）=3cos3x-5cos2x+2，0lt;xlt;π2，則

h′（x）=9cos2x（-sinx）-5×2cosx（-sinx）=sinxcosx（10-9cosx）gt;0.

所以h（x）在（0，π2）上單調(diào)遞增.

則h（x）gt;h（0）=0.

即g′（x）gt;0.

所以g（x）在（0，π2）上單調(diào)遞增.

故g（x）gt;g（0）=0.

即2tanx+3sinxgt;5x.

（2）由（1）知，5xlt;2tanx+3sinx.

所以當(dāng)a≤5時(shí)，有

f（x）-sin2x≤5x-3sinxcos2x-sin2x

lt;2tanx+3sinx-3sinxcos2x-sin2x

=sinxcos2x-3+2cosx+3cos2x-2cos3x

=sinxcos2xcos2x-13-2cosx

lt;0.

當(dāng)agt;5時(shí)，取x0∈（0，π2

），滿足

cosx0gt;3a-2.

又因?yàn)楫?dāng)x∈（0，π2）時(shí)，sinxlt;x，所以

f（x0）-sin2x0

=ax0-3sinx0cos2x0-2sinx0cosx0

gt;sinx0（a-3cos2x0-2cosx0）

gt;sinx0（a-2-3cos2x0）

gt;0.

綜上，a的取值范圍是（-∞，5］.

［責(zé)任編輯：李" 璟］