三角形問題常與解三角形、三角函數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)相結(jié)合.因而解答此類問題，可以利用不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解.下面以一道解三角形問題為例，談一談這類題目的解法.

題目：在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM=，則sin∠BAC=.

要求sin∠BAC，需建立△ABC的邊角之間的關(guān)系，并通過角之間的變換，根據(jù)sin∠BAM=解.

方法一：建立平面直角坐標(biāo)系

三角形問題本質(zhì)上是平面幾何問題.在解答三角形問題時(shí)，可以將數(shù)形結(jié)合起來，畫出相應(yīng)的圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算來建立代數(shù)關(guān)系式，從而求得問題的答案.

解：

在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，通常以三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、一條邊所在的直線為坐標(biāo)軸，這樣就能快速求得三角形各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

方法二：利用三角形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化

三角形的面積公式S=absinC中涉及了三角形的兩條邊和一個(gè)夾角.因此在解答三角形問題時(shí)，可以利用三角的面積公式來建立邊角的關(guān)系式，通過恒等變換，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題或代數(shù)運(yùn)算問題來求解.

解：

解答本題，需根據(jù)點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，利用三角形的面積公式建立關(guān)系式SΔABM=SΔABC、SΔABM=SΔACM，據(jù)此建立三角形邊角之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問題.

方法三：利用正余弦定理

正弦定理==、余弦定理cosA=是解答三角形問題的重要定理.在解答三角形問題時(shí)，可以靈活運(yùn)用正余弦定理來建立邊角之間的關(guān)系，并進(jìn)行邊角互化，從而快速求得邊、角的大小.

解法1.

首先在直角三角形ACM中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義和勾股定理求得各條邊的長(zhǎng)；再在ΔABM中，根據(jù)余弦定理建立∠BAM與各邊的關(guān)系式，從而求得k的值.

解法2.

若已知一個(gè)角和兩條邊的大小，可利用余弦定理來建立關(guān)系式；若已知兩個(gè)角和一條邊的大小，可運(yùn)用正弦定理來建立關(guān)系式，從而求得其他邊、角的大小.

方法四：構(gòu)造向量

向量是解答平面幾何問題的重要工具.在解答三角形問題時(shí)，可給三角形的各條邊賦予方向，即可根據(jù)向量加法的三角形法則建立關(guān)系式，利用向量的數(shù)量積、向量的加減法法則、向量的模的公式等進(jìn)行求解.

解：

對(duì)于三角形的角的問題，可以將三角形的邊長(zhǎng)看作向量的模，利用向量的夾角公式和向量的模的公式來建立關(guān)系式.

方法五：構(gòu)造相似三角形

有時(shí)根據(jù)題目中邊角的關(guān)系，如對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例來構(gòu)造相似三角形，即可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，迅速建立三角形邊角之間的關(guān)系，從而求得問題的答案.

解：

過點(diǎn)B作BD⊥AM，交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即可構(gòu)造相似三角形ΔBDM、ΔACM，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)建立三角形三邊之間的關(guān)系.

方法六：利用勾股定理

勾股定理是解答三角形問題的重要工具.運(yùn)用勾股定理解題，往往需先構(gòu)造出直角三角形，然后根據(jù)勾股定理建立三角形三條邊之間的關(guān)系式.

解：

過點(diǎn)M作MD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即可構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形ACM、ADM.再根據(jù)勾股定理建立三邊之間的關(guān)系式，即可快速求得sin∠BAC的值.

可見，我們可以根據(jù)不同知識(shí)點(diǎn)，如三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)運(yùn)算、正余弦定理、勾股定理、向量、三角形的面積公式等，找到解答三角形問題的不同思路.在解題時(shí)，同學(xué)們要展開聯(lián)想，將問題與所學(xué)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，運(yùn)用發(fā)散性思維，尋找不同的解題方案，以拓寬解題的思路.