摘" 要：如何通過(guò)少量的暫態(tài)數(shù)據(jù)去預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)行為，是一個(gè)重要問(wèn)題.對(duì) Sturat-Landau系統(tǒng)、布魯塞爾振子以及Belousov-Zhabotinsky系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集，并輸入到儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里進(jìn)行訓(xùn)練；然后基于3個(gè)系統(tǒng)采集的少量的暫態(tài)數(shù)據(jù)，利用已經(jīng)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，能夠?qū)ζ湓诓煌瑓?shù)下長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)行為精準(zhǔn)地預(yù)測(cè).研究結(jié)果有利于加深對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)如何對(duì)外來(lái)的變化或擾動(dòng)做出反應(yīng)的理解.

關(guān)鍵詞：儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；動(dòng)力學(xué)行為；Stuart-Landau系統(tǒng)；布魯塞爾振子；BZ 反應(yīng)系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O415.6;N93;O244" ""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1000-2367（2024）06-0113-06

暫態(tài)動(dòng)力學(xué)是復(fù)雜系統(tǒng)的一種暫時(shí)性行為，指的是系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或平衡狀態(tài)之前的表現(xiàn)，除此之外，也表征為系統(tǒng)對(duì)短暫刺激的響應(yīng).如：一個(gè)受到突然擾動(dòng)的彈簧系統(tǒng)，其在恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)之前的阻尼振蕩就是暫態(tài)行為［1-2］.暫態(tài)動(dòng)力學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在.例如，當(dāng)人受到驚嚇時(shí)，通常會(huì)在幾秒內(nèi)恢復(fù)平靜［3］.當(dāng)成年人感染細(xì)菌或病毒時(shí)，通常也會(huì)在幾天內(nèi)恢復(fù)健康［4］.大量研究結(jié)果表明，研究暫態(tài)動(dòng)力學(xué)在理解系統(tǒng)如何在應(yīng)對(duì)擾動(dòng)做出反應(yīng)方面起著關(guān)鍵作用.例如，在工程領(lǐng)域中，設(shè)計(jì)能夠有效應(yīng)對(duì)突變的系統(tǒng)，掌握暫態(tài)動(dòng)力學(xué)對(duì)其至關(guān)重要［5］.在結(jié)構(gòu)工程中，分析暫態(tài)動(dòng)力學(xué)有助于預(yù)測(cè)建筑物對(duì)地震或暴風(fēng)的反應(yīng)［6］.在生物學(xué)中，研究暫態(tài)動(dòng)力學(xué)有助于理解生物體如何對(duì)刺激或環(huán)境的變化做出反應(yīng)［7］.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，市場(chǎng)在外部沖擊或政策變化后的波動(dòng)可以表征為暫態(tài)動(dòng)力學(xué)［8］.然而在這些系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)的演化方程并不知道.如何從少量的時(shí)間序列中推斷系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，或通過(guò)暫態(tài)動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間演化，對(duì)于研究暫態(tài)動(dòng)力學(xué)至關(guān)重要.

儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一種回聲狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)（echo state network，ESN），因其在預(yù)測(cè)復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)方面的顯著能力而備受關(guān)注［9-10］.與傳統(tǒng)的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同，儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)固定、隨機(jī)生成的具有稀疏連接的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).這種獨(dú)特的架構(gòu)賦予了儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在建模和預(yù)測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)方面的卓越能力.越來(lái)越多的研究證明了這種網(wǎng)絡(luò)的有效性.研究表明，儲(chǔ)備池在準(zhǔn)確預(yù)測(cè)低維混沌系統(tǒng)［11-12］、動(dòng)力學(xué)相變［13-14］以及混沌系統(tǒng)的同步［15-16］方面表現(xiàn)出色.

本文旨在基于少量的暫態(tài)時(shí)間序列，使用儲(chǔ)備池計(jì)算技術(shù)預(yù)測(cè)長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)行為.具體為，1.當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，以其演化的時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，輸入儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練；2.采集暫態(tài)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)；3.輸入到已經(jīng)訓(xùn)練好的儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；4.基于暫態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間演化的預(yù)測(cè).

1" 參數(shù)感知的儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作原理可以簡(jiǎn)要描述如下，儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由3個(gè)部分組成：輸入層、儲(chǔ)備池層

收稿日期：2024-03-20;修回日期：2024-04-16.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11675112）；浙江省自然科學(xué)基金（LY24A050003）.

作者簡(jiǎn)介：王江峰（1998-），男，河南信陽(yáng)人，浙江師范大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閮?chǔ)備池計(jì)算.

通信作者：陳銀霞，E-mail：yinxiachen@zjxu.edu.cn.

引用本文：王江峰，陳銀霞，祁月盈，等.基于機(jī)器學(xué)習(xí)由暫態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的演化［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，52（6）：113-118.（Wang Jiangfeng，Chen Yinxia，Qi Yueying，et al.Predicting the evolution of systems based on a transient data with machine learning［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（6）：113-118.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2024.03.20.0001.）

以及輸出層，如圖1所示.對(duì)于輸入層，選擇Din維的u（t）作為輸入向量，是指定系統(tǒng)在特定參數(shù)β下生成的時(shí)間序列.u（t）通過(guò)矩陣Win∈RDr×Din+1導(dǎo)入儲(chǔ)備池網(wǎng)絡(luò)，即v=Win×［bin;u］，其中矩陣Win的元素從［-σ，σ］中隨機(jī)均勻產(chǎn)生，一旦Win矩陣構(gòu)建完成，它將一直保持不變.對(duì)于參數(shù)感知的儲(chǔ)備池網(wǎng)絡(luò)，將控制參數(shù)統(tǒng)一放入輸入向量u（t）.儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由Dr個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，用r（t）表示節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，r（t）的更新方程如下，

r（t+Δt）=（1-α）r（t）+αtanh（Win×binu+W×r（t）），（1）

其中，α是泄漏率，α∈（0，1］，bin=1，Δt是更新時(shí)間步長(zhǎng)，W∈RDr×Dr是儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重矩陣.矩陣W為一個(gè)稀疏的隨機(jī)Erdos-Renyi矩陣：矩陣的每個(gè)元素以概率p在［-1，1］隨機(jī)采樣，然后，它被再次縮放以使其譜半徑等于λ.r（t）的初始條件從［-1，1］中隨機(jī)選擇.為了避免節(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)對(duì)訓(xùn)練過(guò)程的影響，將拋掉儲(chǔ)備池網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài).對(duì)于輸出層，使用線(xiàn)性疊加來(lái)構(gòu)造輸出yout（t）=Wout×［1;u;r］，（2）

yout（t）∈RDout，Wout∈RDout×（Din+Dr+1）是輸出層的權(quán)重矩陣，要通過(guò)訓(xùn)練獲得.對(duì)于儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只有Wout需要訓(xùn)練，而儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的其他參數(shù)在構(gòu)建過(guò)程中保持不變.相對(duì)于其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所需訓(xùn)練的參數(shù)大大減少，這是儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn).輸出矩陣Wout可以通過(guò)計(jì)算損失函數(shù)的最小值來(lái)獲得［17］，有Wout=UX′（XX′+ηI）-1，（3）

其中，X∈R（Din+Dr+1）×T是狀態(tài)矩陣，其第k列是［1;u;r］，U∈RDout×T是1個(gè)矩陣，其第k列是u（t），I是單位矩陣，η是避免過(guò)擬合的正則化系數(shù).使用MatLab軟件中的優(yōu)化器（optimizer）對(duì)超參數(shù)Din，Dout，Dr，σ，α，λ，η進(jìn)行優(yōu)化.

2" 預(yù)測(cè)結(jié)果

2.1" Sturat-Landau系統(tǒng)

第一個(gè)要測(cè)試的系統(tǒng)是Sturat-Landau系統(tǒng)［18］，其動(dòng)力學(xué)方程如下

dZdt=（a+iω-|Z|2）Z，（4）

其中，z是復(fù)變量，ω是本征頻率，a是控制參數(shù).由非線(xiàn)性穩(wěn)定性分析可知，當(dāng)a＜0時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，即Z=0；當(dāng)a＞0時(shí)，系統(tǒng)通過(guò)Hopf分岔進(jìn)入周期態(tài)，且有周期解Z=e（a+iω）t.為了從此系統(tǒng)中獲得訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)，用4階Runge-Kutta算法對(duì)方程（4）進(jìn)行數(shù)值解，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.01.在對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)于儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)選擇如下：Din=3，Dout=3，Dr=1 000，σ=1.95，α=0.26，λ=0.7，η=9.5×10-5.

為了驗(yàn)證參數(shù)感知的儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)大預(yù)測(cè)能力，首先使用方程（4）生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中a分別取-0.3，-0.2和-0.1.在這些參數(shù)配置下，Sturat-Landau系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài).對(duì)于a=-0.3、-0.2，采集長(zhǎng)度為2 000的時(shí)間序列數(shù)據(jù)；而對(duì)于a=-0.1，采集長(zhǎng)度為1 500的時(shí)間序列數(shù)據(jù).如圖2所示.將這3個(gè)采樣狀態(tài)的時(shí)間序列合并成一個(gè)5 500個(gè)點(diǎn)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集.在訓(xùn)練階段，通過(guò)使用輸入數(shù)據(jù)訓(xùn)練輸出矩陣Wout，即方程（3）.

在預(yù)測(cè)階段，基于特定參數(shù)下采樣的暫態(tài)時(shí)間序列通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為.對(duì)于前面3個(gè)參數(shù)，通過(guò)方程（4），每個(gè)參數(shù)采集20個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列.在預(yù)測(cè)階段，把這20個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列當(dāng)成u（t），輸入到儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即方程（1）.隨后，基于已經(jīng)訓(xùn)練好的Wout，通過(guò)方程（2）計(jì)算得到輸出向量yout（t），同時(shí)將方程（1）中的控制參數(shù)a設(shè)置為采樣參數(shù)之一.圖2展示了預(yù)測(cè)結(jié)果和模型結(jié)果（方程（1））的對(duì)比.儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在所有情況下都準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

2.2" 布魯塞爾振子

為了再次測(cè)試儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)能力，對(duì)布魯塞爾振子（Brusselator）進(jìn)行測(cè)試.Brusselator用來(lái)模擬自催化反應(yīng)，其非線(xiàn)性微分方程［19］

dxdt=a-（b+1）x+x2y，dydt=bx-x2y，（5）

其中，a，b為控制參數(shù).當(dāng)b＞1+a2，Brusselator發(fā)生Hopf分岔，系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)進(jìn)入到周期態(tài)，如圖3（a）所示.首先使用方程（5）生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中，b分別取1.7、1.8和1.9，生成的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖3.圖4展示了穩(wěn)態(tài)和周期的預(yù)測(cè).在預(yù)測(cè)階段，同樣基于采樣特定參數(shù)下暫態(tài)時(shí)間序列通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為.對(duì)于6個(gè)不同的參數(shù)，通過(guò)方程（5），分別生成78個(gè)點(diǎn)的暫態(tài)時(shí)間序列.同樣，把這78個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列當(dāng)成u（t）輸入到儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即方程（1），基于儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)Din=3，Dout=3，Dr=1 080，σ=2.0，α=0.119，λ=0.85，η=2.2×10-5訓(xùn)練Wout，再通過(guò)方程（2）計(jì)算得到的輸出向量yout（t），同時(shí)將方程（1）中的控制參數(shù)設(shè)置為采樣參數(shù)之一.儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了布魯塞爾振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

2.3" Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)

Belousov-Zhabotinsky（BZ）反應(yīng)，是非平衡熱力學(xué)的經(jīng)典例子［20］，其動(dòng)力學(xué)方程為dxdt=a-x-4xy1+x2，dydt=bx（1-y1+x2），（6）

其中，a，b為控制參數(shù).當(dāng)a=10，BZ反應(yīng)系統(tǒng)隨著參數(shù)b的減少系統(tǒng)也發(fā)生Hopf分岔，系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)進(jìn)入到周期態(tài).使用方程（6）生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)，見(jiàn)附錄圖S1.訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入到儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于參數(shù)Din=3，Dout=3，Dr=1 100，σ=2.0，α=0.12，λ=0.24，η=2.0×10-5訓(xùn)練Wout.

附錄圖S2展示參數(shù)感知儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)BZ反應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的預(yù)測(cè)能力.與Brusselator 系統(tǒng)結(jié)果類(lèi)似，儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

3" 總結(jié)與展望

本文利用儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)Sturat-Landau系統(tǒng)、Brusselator系統(tǒng)以及Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)采集各系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入到儲(chǔ)備池神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)，然后在各個(gè)系統(tǒng)中，采集少量的暫態(tài)數(shù)據(jù)，通過(guò)此暫態(tài)數(shù)據(jù)可以利用已經(jīng)訓(xùn)練好的儲(chǔ)備神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)其長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)行為，不管暫態(tài)數(shù)據(jù)是來(lái)自穩(wěn)態(tài)的還是周期態(tài)的，都能精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)其動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

鑒于暫態(tài)動(dòng)力學(xué)在自然界和工程領(lǐng)域非常常見(jiàn)且很重要，這一方法在處理復(fù)雜系統(tǒng)的暫態(tài)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題上為未來(lái)研究暫態(tài)動(dòng)力學(xué)提供了新的方向.如：在電力系統(tǒng)中，如何通過(guò)暫態(tài)數(shù)據(jù)去預(yù)測(cè)電力系統(tǒng)是否會(huì)振蕩，將對(duì)維護(hù)電力的安全起著非常重要的作用［21］.在未知模型的多體系統(tǒng)中，能否通過(guò)暫態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的相變點(diǎn)，這對(duì)研究多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有非常重要的意義［22］.本文展示了通過(guò)暫態(tài)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)的可行性.這為復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中無(wú)模型預(yù)測(cè)相變提供了另一種思路.

附錄見(jiàn)電子版（DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2024.03.20.0001）.

參" 考" 文" 獻(xiàn)

［1］ ""OTT E.Chaos in dynamical systems［M］.2nd ed.New York：Cambridge University Press，2002.

［2］STROGATZ S H.Nonlinear Dynamics and Chaos：With Applications to Physics，Biology，Chemistry，and Engineering［M］.Boca Raton：CRC Press，2002.

［3］SHEPPES G，SURI G，GROSS J J.Emotion regulation and psychopathology［J］.Annual Review of Clinical Psychology，2015，11：379-405.

［4］CHEN X Y，LIU S S，GORAYA M U，et al.Host immune response to influenza A virus infection［J］.Frontiers in Immunology，2018，9：320.

［5］TL T，LAI Y C.Chaotic transients in spatially extended systems［J］.Physics Reports，2008，460（6）：245-275.

［6］BOZORGNIA Y，BERTERO V V.Earthquake engineering：from engineering seismology to performance based engineering［M］.New York：CRC Press，2008.

［7］HASTINGS A，ABBOTT K C，CUDDINGTON K，et al.Transient phenomena in ecology［J］.Science，2018，361（6406）：eaat6412.

［8］YAO C G，SUN J Q，JIN J，et al.The power law statistics of the spiking timing in a neuronal network［J］.Chaos，Solitons amp; Fractals，2023，172：113598.

［9］LUKOEVIIUS M.A practical guide to applying echo state networks［M］//Lecture Notes in Computer Science.Berlin，Heidelberg：Springer Berlin Heidelberg，2012：659-686.

［10］LUKOEVIIUS M，JAEGER H.Reservoir computing approaches to recurrent neural network training［J］.Computer Science Review，2009，3（3）：127-149.

［11］SHI L F，WANG H T，WANG S J，et al.Predicting nonsmooth chaotic dynamics by reservoir computing［J］.Physical Review E，2024，109：014214.

［12］LI X Z，SHENG B，ZHANG M.Predicting the dynamical behaviors for chaotic semiconductor lasers by reservoir computing［J］.Optics Letters，2022，47（11）：2822-2825.

［13］ZIMMERMANN R S，PARLITZ U.Observing spatio-temporal dynamics of excitable media using reservoir computing［J］.Chaos，2018，28（4）：043118.

［14］NI Q，TANG M，LIU Y，et al.Machine learning dynamical phase transitions in complex networks［J］.Physical Review E，2019，100：052312.

［15］XIAO R，KONG L W，SUN Z K，et al.Predicting amplitude death with machine learning［J］.Physical Review E，2021，104：014205.

［15］CHEN X L，WENG T F，YANG H J.Synchronization of spatiotemporal chaos and reservoir computing via scalar signals［J］.Chaos，Solitons amp; Fractals，2023，169：113314.

［17］WENG T F，YANG H J，GU C G，et al.Synchronization of chaotic systems and their machine-learning models［J］.Physical Review E，2019，99：042203.

［18］賀蘇娟，鄒為.平均場(chǎng)反饋下全局耦合Stuart-Landau極限環(huán)系統(tǒng)的可解集體動(dòng)力學(xué)［J］.物理學(xué)報(bào)，2023，72（20）：190-199.

HE S J，ZOU W.Solvable collective dynamics of globally coupled Stuart-Landau limit-cycle systems under mean-field feedback［J］.Acta Physica Sinica，2023，72（20）：190-199.

［19］于晉臣，李樹(shù)彬.Bmsselator系統(tǒng)的Hopf分岔［J］.山東科學(xué)，2007，20：19-29.

YU J C，LI S B.Hopf bifurcation of Bmsselator system［J］Shandong Science，2007，20：19-29.

［20］江成瑜.Belousov-Zhabotinskii反應(yīng)模型的復(fù)雜動(dòng)態(tài)［D］.北京：北京化工大學(xué)，2011.

［21］HALEKOTTE L，VANSELOW A，F(xiàn)EUDEL U.Transient chaos enforces uncertainty in the British power grid［J］.Journal of Physics：Complexity，2021，2（3）：035015.

［22］MA，PANG，WANG R，et al.Phase transition study meets machine learning［J］.Chinese Physics Letters，2023，40（12）：122101.

Predicting the evolution of systems based on a transient data with machine learning

Wang Jiangfeng1， Chen Yinxia2a， Qi Yueying2b， Yao Chenggui2b

（1. School of Mathematical Sciences， Zhejiang Normal University， Jinhua 312000， China; 2. a. Registrar's Office; b. College of Data Science， Jiaxing University， Jiaxing 314000， China）

Abstract： Predicting the dynamic behavior of a system based on transient data from unknown dynamic equations is an important problem. Firstly， we collect steady-state data from the Stuart-Landau system， the Brusselator， and the Belousov-Zhabotinsky system， and put them into a reservoir neural network for training. Then， basing on the transient data collected from the three systems， and" using the trained neural network model， we can accurately predict their long-term dynamic behavior under different parameters. The findings of this study play an important role in understanding how systems respond to external changes， disturbances， or inputs， thus highlighting the significance of studying transient dynamics.

Keywords： reservoir computing neural networks; dynamic behavior; Stuart-Landau system; Brusselator; Belousov-Zhabotinsky reaction system

［責(zé)任編校" 楊浦" 劉洋］

附" 錄