系統(tǒng)闡述平面系統(tǒng)的Hopf分支理論，既包括平面光滑系統(tǒng)Hopf分支理論的主要結(jié)果綜述和論證思路詮釋，又有平面分段光滑系統(tǒng)Hopf分支理論的最新進(jìn)展介紹.

平面系統(tǒng); Hopf分支; 極限環(huán); 周期解; Melnikov函數(shù)

O193

A

0738-15

06.003

1 引言與預(yù)備引理

平面微分系統(tǒng)的中心和焦點(diǎn)的判定與Hopf分支理論是常微分方程定性理論與分支研究的重要課題，在許多文獻(xiàn)中都有介紹[1-43].本文系統(tǒng)且嚴(yán)密地闡述平面微分系統(tǒng)的Hopf分支理論，詳細(xì)介紹平面系統(tǒng)在初等焦點(diǎn)或中心鄰域內(nèi)極限環(huán)的分支問題.為了行文方便，先給出一些有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的基本引理，這些結(jié)果是現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的延伸.

設(shè)有連續(xù)函數(shù)F：I×G→R，（x，y）→F（x，y），其中，x∈I=[a，b]R，y∈GRn，alt;b，G為開區(qū)域，n≥1.令

f（y）=∫baF（x，y）dx， y∈G.

（1）

因?yàn)镕在I×G上連續(xù)，由數(shù)學(xué)分析中含參量積分的性質(zhì)知，函數(shù)f在G上為連續(xù)函數(shù).又如果向量函數(shù)Fy在I×G上為連續(xù)的，則f在G上為C1的，且

f′（y）=∫baFy（x，y）dx.

一般來說，下述引理成立，其證明見文獻(xiàn)[34，40-41].

引理 1.1

設(shè)F在I×G上連續(xù)，且存在k≥1使得函數(shù)F（x，y）關(guān)于y的k階偏導(dǎo)數(shù)kFyk在I×G上存在且連續(xù)，則由（1）式給出的函數(shù)f在G上為Ck的.如果對任意k≥1函數(shù)kFyk在I×G上存在且連續(xù)，則由（1）式給出的函數(shù)f在G上為C∞的.

下述引理稱為改進(jìn)的泰勒公式[34，40-41]，其最初的版本由文獻(xiàn)[34]給出，之后在文獻(xiàn)[40]中做了推廣，而下列改進(jìn)的形式則是文獻(xiàn)[41]給出的.

引理 1.2

設(shè)有整數(shù)k與m，1≤m≤k，使mFxm∈Ck-m（I0×G），其中I0R為某一區(qū)間，則對任一x0∈I0，存在函數(shù)∈Ck-m（I0×G）使在I0×G上成立

F（x，y）=∑m-1j=01j！jFxj（x0，y）（x-x0）j+（x-x0）m（x，y），

（x0，y）=1m！mFxm（x0，y）.

如果F∈C∞（I0×G），則∈C∞（I0×G）.

在文獻(xiàn)[41]對上述引理的證明中，假設(shè)區(qū)間I0為開區(qū)間，其實(shí)它可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，其證明同樣有效.如果點(diǎn)x0為其端點(diǎn)，則偏導(dǎo)數(shù)mFxm理解為單側(cè)導(dǎo)數(shù).

隱函數(shù)定理是微分方程定性理論的重要工具，經(jīng)常用到，現(xiàn)列出如下.

引理 1.3

設(shè)有向量函數(shù)V：D×G→Rn，其中，DRm，GRn均為開區(qū)域.

如果存在（x0，y0）∈D使得V在（x0，y0）的小鄰域內(nèi)為Ck的，k≥1，且滿足

V（x0，y0）=0， detVy（x0，y0）≠0，

則存在x0的鄰域U，y0的鄰域W，以及函數(shù)g∈Ck（U），使得對（x，y）∈U×W，有V（x，y）=0當(dāng)且僅當(dāng)y=g（x）.如果V∈C∞（D），則g∈C∞（U）.

下面給出一個熟知的定義.

定義 1.1

設(shè)有Ck實(shí)函數(shù)f：J→R，其中J為一個區(qū)間，k≥1.如果存在x0∈J和1≤l≤k，使得

f（l）（x0）≠0， f（j）（x0）=0，

j=0，1，…，l-1，

則稱x0為函數(shù)f的l重根或l重零點(diǎn).

上述定義中x0可以是區(qū)間J的端點(diǎn)，此時在x0的導(dǎo)數(shù)均理解為單側(cè)導(dǎo)數(shù).

文獻(xiàn)[39]利用隱函數(shù)定理和歸納法等證明了下述結(jié)論[41].

引理 1.4

設(shè)有Ck函數(shù)F：I0×G→R，（x，y）→F（x，y），其中，I0=（a，b）R，G={y∈Rn||y|lt;ε0}，alt;b，ε0gt;0，n≥1.如果f（x）=F（x，0）有l(wèi)重根x0∈I0，1≤l≤k，則存在ε1∈（0，ε0）和x0的小鄰域UI0使對一切|y|lt;ε1函數(shù)F關(guān)于x在U中至多有l(wèi)個根（包括重數(shù)在內(nèi)）.

由文獻(xiàn)[39，41]的證明易知，如果I0=[x0，b）或I0=（a，x0]，則上述引理仍成立.參照文獻(xiàn)[30]第二章定理2.3.2的證明思路，與上面引理類似用歸納法可證下述引理[44].

引理 1.5

考慮一個以下形式的函數(shù)：

F（x，y）=∑k+1j=1bj（y）xljPj（x，y），

其中，0≤x1，y∈Rm，Pj=1+O（x）∈C∞，0≤l1lt;…lt;lk+1.設(shè)存在y0∈Rm使

bj（y0）=0， j=1，…，k，

則存在ε0gt;0，使當(dāng)|y-y0|lt;ε0時函數(shù)F關(guān)于x在（0，ε0）中至多有k個孤立根（包括重數(shù)在內(nèi)）.進(jìn)一步，如果

bk+1（y0）≠0， rank（b1，…，bk）y（y0）=k，

或者

bk+1（y0）=0， rank（b1，…，bk+1）y（y0）=k+1，

則任給εgt;0，都存在滿足|y-y0|lt;ε的y，使得函數(shù)F關(guān)于x在（0，ε）中恰有k個孤立根.

以上所列引理在下面兩節(jié)的論證中會多次用到.

2 平面光滑系統(tǒng)

設(shè)有定義于某包含原點(diǎn)的平面區(qū)域G上的二維自治系統(tǒng)

=f（x，y，a）， =g（x，y，a），

（x，y）∈G，（2）

其中a∈DRn.假設(shè)函數(shù)f＼，g在區(qū)域G×D上為C∞的，滿足

f（x，y，a）g（x，y，a）=A（a）xy+P1（x，y，a）Q1（x，y，a），P1，Q1=O（|x，y|2），

且使得矩陣A（a）的特征值為共軛復(fù)數(shù)α（a）±iβ（a），β（a）≠0.于是，不失一般性又可設(shè)

A（a）=α（a）β（a）-β（a）α（a）.

在這些假設(shè)下，對方程（2）引入極坐標(biāo)變換

（x，y）=（rcos（βθ），-rsin（βθ）），rgt;0， 0≤θ≤2π|β|≡T，

（3）

可得

=αr+cos（βθ）P1-sin（βθ）Q1，

=1-1βr[sin（βθ）P1+cos（βθ）Q1]，

其中

P1=P1（rcos（βθ），-rsin（βθ），a），

Q1=Q1（rcos（βθ），-rsin（βθ），a）.

于是有T周期方程

drdθ=αr+cos（βθ）P1-sin（βθ）Q11-1βr[sin（βθ）P1+cos（βθ）Q1]≡R（θ，r，a）.

（4）

由（3）式知在（4）式中應(yīng)有rgt;0.如果允許（4）式中r為負(fù)，并補(bǔ)充定義

R（θ，0，a）=limr→0 R（θ，r，a）=0，

則由改進(jìn)的泰勒公式（引理1.2）知（4）式右端函數(shù)的分母在r=0為無窮次可微的函數(shù)，從而可將（4）式中函數(shù)R的定義域自然地拓廣到r≤0（仍記為R），使得（4）式對一切小的|r|均有定義，并且函數(shù)R在r=0的小鄰域內(nèi)為無窮次連續(xù)可微的.

現(xiàn)用（θ，r0，a）表示（4）式的滿足（0，r0，a）=r0的解，則該解關(guān)于（r0，a）為C∞的.令

P（r0，a）=（T，r0，a），

d（r0，a）=P（r0，a）-r0.

我們分別稱函數(shù)P和d為（2）式的Poincaré映射和后繼函數(shù)，它們都是C∞函數(shù).含參數(shù)的后繼函數(shù)又稱為分支函數(shù).不難看出，對充分小的|r0|gt;0，量P（r0，a）的幾何意義如下：當(dāng)r0gt;0（lt;0）時，方程（2）從點(diǎn)（r0，0）出發(fā)的正半軌線繞原點(diǎn)一周后交正（負(fù)）x軸于點(diǎn)（P（r0，a），0）.

對固定的a∈D，如果（2）式在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的所有非平凡軌線都是閉的，則稱原點(diǎn)為（2）式的中心奇點(diǎn)；如果（x，y）=（0，0）為（2）式的漸近穩(wěn)定（負(fù)向漸近穩(wěn)定）零解，則稱原點(diǎn)為（2）式的穩(wěn)定焦點(diǎn)（不穩(wěn)定焦點(diǎn)）.由文獻(xiàn)[41]中定理4.4.1知，原點(diǎn)為（2）式的穩(wěn)定焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)r0d（r0，a）為負(fù)定函數(shù)（在r0=0的小鄰域內(nèi)）.

后繼函數(shù)d的基本性質(zhì)是：微分方程（2）在原點(diǎn)附近有包圍原點(diǎn)的小振幅極限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它關(guān)于充分小的r0有正根.下面的定理給出了這一函數(shù)的進(jìn)一步的性質(zhì).

定理 2.1

存在C∞函數(shù)0=-e12αTr0+O（r20）和N（r0，a）=e12αT+O（r0）使得

d（0，a）=-N（r0，a）d（r0，a）.

（5）

進(jìn)一步，如果

d（r0，a）=2π∑j≥1vj（a）rj0，

則存在C∞函數(shù)φjk（a），1≤j≤k，使有

v2k（a）=∑kj=1φjk（a）v2j-1（a）， k≥1.

（6）

從而，對任一給定的正整數(shù)k，后繼函數(shù)d可寫為

d（r0，a）=2π∑kj=1v2j-1（a）r2j-10pj（r0，a）+2πr2k+10qk（r0，a），

（7）

其中，pj=1+O（r0）∈C∞，qk=v2k+1+O（r0）∈C∞.

證明

由文獻(xiàn)[41]中定理4.4.1的證明知

0=-（12T，r0，a）=-e12αTr0+O（r20）∈C∞，

d（0，a）=（12T，r0，a）-（12T，P（r0，a），a）.

由牛頓-萊布尼茨公式易知（5）式成立，其中

N（r0，a）=∫10r0（T2，r0+sd（r0，a），a）ds.

由引理1.1知函數(shù)N為C∞的，且N（0，a）=e12αT.

現(xiàn)將函數(shù)0、N，以及d均關(guān)于r0展開成形式冪級數(shù)，并代入（5）式，然后比較等式兩邊的同次冪系數(shù)即可獲得（6）式.對函數(shù)d利用改進(jìn)的泰勒公式（引理1.2）以及（6）式即可獲得（7）式（詳細(xì)過程見文獻(xiàn)[29]）.證畢.

（6）式曾在文獻(xiàn)[22，41]中應(yīng)用其他方法獲得，證明比較復(fù)雜.上面的證明更加簡明扼要，其思想源于文獻(xiàn)[26].

量v2k+1稱為方程（2）在原點(diǎn)的第k階焦點(diǎn)量.易求得2πv1=eαT-1.因此，當(dāng)α≠0時原點(diǎn)（粗焦點(diǎn)）的穩(wěn)定性由其符號決定.當(dāng)α=0時原點(diǎn)稱為細(xì)焦點(diǎn)，此時的穩(wěn)定性要看一階焦點(diǎn)量v3的符號（其公式在許多文獻(xiàn)中都可以找到，例如文獻(xiàn)[22，41]）.一般地，原點(diǎn)的穩(wěn)定性由（7）式中第一個不為零的系數(shù)的符號決定.文獻(xiàn)[24]給出了高階焦點(diǎn)量的計(jì)算方法.

如果平面系統(tǒng)（2）中的函數(shù)f＼，g為（x，y）的奇函數(shù)，則（4）式中的函數(shù)R為r的奇函數(shù)，因此由解的存在唯一性易知函數(shù)P為r0的奇函數(shù)，從而關(guān)于原點(diǎn)為中心對稱的平面系統(tǒng)（2）在原點(diǎn)附近的后繼函數(shù)d關(guān)于r0為奇函數(shù)[36].

關(guān)于方程（2）在原點(diǎn)附近的極限環(huán)的分支，有下述一般的Hopf分支定理.

定理 2.2

1） 設(shè)存在k≥1，a0∈D使得

v2k+1（a0）≠0， v2j+1（a0）=0，

j=0，…，k-1，

（8）

則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域U，使當(dāng)|a-a0|lt;ε0時方程（2）在U中至多有k個極限環(huán)（重數(shù)包括在內(nèi)）.如果進(jìn)一步假設(shè)矩陣（v1，v3，…，v2k-1）a（a0）是滿秩的，則任給原點(diǎn)的一鄰域，都有充分接近a0的a使得（2）式在該鄰域中恰有k個極限環(huán).

2） 如果（2）式是解析系統(tǒng)，且存在k≥1使得

v2j+1=O（|v1，v3，…，v2k+1|）， j≥k+1，

則對任給的Ngt;0均存在原點(diǎn)的鄰域U，使當(dāng)|v1|+|v3|+…+|v2k+1|lt;N時方程（2）在U中至多有k個極限環(huán)（重數(shù)包括在內(nèi)）.

上述定理的大部分內(nèi)容已出現(xiàn)于文獻(xiàn)[30]中定理2.3.2，不同的是這里的結(jié)論中包含了極限環(huán)的重數(shù)，其證明稍作修改就可以.例如，對其結(jié)論1），首先，在條件（8）之下，利用引理1.4知，當(dāng)|a-a0|充分小時方程（2）的后繼函數(shù)d（r，a）至多有2k+1個根.其次，由（7）式知r=0總是d的奇數(shù)重根，而由（5）式知方程（2）在原點(diǎn)附近有一個l重極限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)d關(guān)于r有2個（一個為正，另一個為負(fù)）l重根.值得指出的是文獻(xiàn)[30]中第一章證明了極限環(huán)的重數(shù)（以及穩(wěn)定性）與引出后繼函數(shù)的截線的選取無關(guān).

上述定理的結(jié)論1）的敘述與文獻(xiàn)[41]中定理5.2.2的形式略有不同，這里的敘述更便于應(yīng)用，例如，如果所考慮的微分方程是多項(xiàng)式系統(tǒng)，則參數(shù)向量a可取為方程中右端函數(shù)出現(xiàn)的多項(xiàng)式的系數(shù).定理中的條件“矩陣（v1，v3，…，v2k-1）a（a0）滿秩”的本質(zhì)是量（v1，v3，…，v2k-1）可以作為自由參數(shù).事實(shí)上，在這一假設(shè)下利用引理1.3，從方程組

bj=v2j-1（a）， j=1，2，…，k

可以解出a的k個分量，成為b1，b2，…，bk的函數(shù).現(xiàn)對條件（8）中k=1與k=2這2種較簡單的情況進(jìn)行更詳細(xì)的討論.首先，如果條件（8）對k=1成立，則由（7）式知，當(dāng)|a-a0|+|r0|充分小時

d（r0，a）=2πr0[v1（a）p1（r0，a）+v3（a）r20p2（r0，a）]， pj=1+O（r0），

因此，當(dāng)v1（a）v3（a0）lt;0（≥0）時函數(shù)d在r0=0附近關(guān)于r0有唯一正根（沒有根）.從而可知存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域U，使對|a-a0|lt;ε0，當(dāng)α（a）v3（a0）lt;0（≥0）時方程（2）在U中恰有一個極限環(huán)（沒有極限環(huán)）.此時在參數(shù)空間由α（a）=0定義的集合（一般是一個余維為一的流形）稱為（2）式的Hopf分支集.

再設(shè)條件（8）對k=2成立.此時由（7）式知當(dāng)|a-a0|+|r0|充分小時

d（r0，a）=2πr0p1（r0，a）d1（r0，a），p1=1+O（r0）∈C∞，

其中

d1（r0，a）=v1+v3r202（r0，a）+v5r403（r0，a），2，3=1+O（r0）∈C∞.

為討論函數(shù)d1關(guān)于r0正根的個數(shù)，令ρ=r02（r0，a），則

d1（r0，a）=v1+v3ρ2+v5ρ4q（ρ，a），q=1+O（ρ）∈C∞.

再令u=ρ2，則

d1（r0，a）=v1+v3u+v5u2q（u，a）≡1（u，a），

0≤u1.

易見1∈C2，1有唯一極值點(diǎn)u=-v32v5（1+O（|v3|1/2））≡φ（a）且相應(yīng)的極值為

1（φ（a），a）=v1-v234v5（1+O（|v3|1/2））≡Δ（a）.

為了明確，假設(shè)v5（a0）gt;0，則Δ（a）為極小值，且易知存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域U，使對|a-a0|lt;ε0，下列結(jié)論成立：

（a） 當(dāng)φ（a）≤0或φ（a）gt;0，Δ（a）gt;0時方程（2）在U中沒有極限環(huán);

（b） 當(dāng)φ（a）gt;0，Δ（a）=0時方程（2）在U中有一個二重極限環(huán)且沒有其他極限環(huán);

（c） 當(dāng)φ（a）gt;0，v1gt;0，Δ（a）lt;0時方程（2）在U中恰有2個極限環(huán)且均為單重的;

（d） 當(dāng)φ（a）gt;0，v1≤0，Δ（a）lt;0時方程（2）在U中恰有一個極限環(huán)且為單重的.

易見，如果rank（v1，v3）a（a0）=2，即v1＼，v3可作為自由參數(shù)，則上述每一種情況都可以出現(xiàn).

下面介紹文獻(xiàn)[8]對一類Liénard系統(tǒng)Hopf分支的研究結(jié)果.考慮下述平面系統(tǒng)

=p（y）-F（x，a）， =-g（x），

（9）

其中，a∈Rn，F(xiàn)＼，g與p為C∞函數(shù)且滿足下列條件：

F（0，a）=0， Fx（0，a0）=0， a0∈Rn，

p（0）=g（0）=0，

p′（0）gt;0， g′（0）gt;0.

（10）

由改進(jìn)的泰勒公式和隱函數(shù)定理可知存在C∞函數(shù)α（x）=-x+O（x2），使得當(dāng)|x|1時成立G（α（x））≡G（x）.于是形式上成立下列展開式

F（α（x），a）-F（x，a）=∑i≥1Bi（a）xi.

（11）

文獻(xiàn)[8]證明了下列2個定理.

定理 2.3

假設(shè)（9）與（10）式成立.

1） 如果存在k≥1使得

Bj（a0）=0， j=1，2，…，2k，

B2k+1（a0）lt;0（gt;0），

則原點(diǎn)是（9）式（a=a0）的k階穩(wěn)定（不穩(wěn)定）焦點(diǎn)，且對充分小的|a-a0|，（9）式在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)至多有k個極限環(huán).此外，如果進(jìn)一步有

rank（B1，B3，…，B2k-1）（a1，a2，…，an）（a0）=k，

則任給原點(diǎn)的一鄰域，都有充分接近a0的a使得（9）式在該鄰域中恰有k個極限環(huán).

2） 如果存在k≥1使得

B2j+1（a0）=0， j=0，1，…，k，rank（B1，B3，…，B2k+1）（a1，a2，…，an）（a0）=k+1，

（12）

并且當(dāng)B2j+1=0，j=0，1，…，k時有F（α（x），a）≡F（x，a），則對充分小的|a-a0|，（9）式在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)至多有k個極限環(huán)，且在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)都有a使得（9）式在該鄰域內(nèi)有k個極限環(huán).

定理 2.4

假設(shè)（9）與（10）式成立，并且函數(shù)F關(guān)于參向量a為線性的.如果存在k≥1使得（12）式成立，且當(dāng)B2j+1=0，j=0，1，…，k時有F（α（x），a）≡F（x，a），則對任何Ngt;|a0|都存在原點(diǎn)的鄰域，使當(dāng)|a|lt;N時（9）式在該鄰域內(nèi)至多有k個極限環(huán)，且對原點(diǎn)的任一鄰域，都有充分接近a0的a使得（9）式在該鄰域內(nèi)有k個極限環(huán).此時（9）式在原點(diǎn)的環(huán)性數(shù)為k.

應(yīng)用上述定理，文獻(xiàn)[8]證明Liénard系統(tǒng)

=y-∑ni=1aixi， =-x（1+x）

在原點(diǎn)的環(huán)性數(shù)是[2n-13].又易證[30]，如果在（9）式中g(shù)為奇函數(shù)，而F為x的n次多項(xiàng)式，則（9）式在原點(diǎn)的環(huán)性數(shù)是[n-12].

如果（2）式是多項(xiàng)式系統(tǒng)，則由希爾伯特基定理可證其焦點(diǎn)一定是有限階的.具體來說，如果函數(shù)f與g關(guān)于x＼，y均為不超過n次的多項(xiàng)式，則必存在正整數(shù)kn，使得若對j=0，1，…，kn有v2j+1=0，則原點(diǎn)是（2）式的中心奇點(diǎn).對一般的二次多項(xiàng)式系統(tǒng)，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Bautin證明了k2=3，且

v2j+1=O（|v1，v3，v5，v7|）， j≥4，

由此獲得二次系統(tǒng)在其焦點(diǎn)或中心奇點(diǎn)的小鄰域內(nèi)至多有3個極限環(huán).對一般的三次多項(xiàng)式系統(tǒng)，k3是多少仍然懸而未決，但長期以來對一些形式較為特殊的多項(xiàng)式系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)的個數(shù)有許多研究，這里不再詳細(xì)介紹，有興趣的讀者可參看文獻(xiàn)[3，5，13-14，24-25，30-33，38]等.

條件（8）是說當(dāng)a=a0時方程（2）以原點(diǎn)為k階細(xì)焦點(diǎn)，因此定理2.2告訴我們，方程（2）的k階細(xì)焦點(diǎn)在擾動之下至多產(chǎn)生k個極限環(huán)，且在一定條件下可以出現(xiàn)k個極限環(huán).如果當(dāng)a=a0時方程（2）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，則可以引入小參數(shù)ε=|a-a0|，而將（2）式寫成下面的形式

=f（x，y）+εp（x，y，ε，δ），

=g（x，y）+εq（x，y，ε，δ），

（13）

其中，ε∈R為小參數(shù)，δ∈Rm為有界向量參數(shù)，f＼，g＼，p與q為C∞函數(shù)，且f（0，0）=g（0，0）=0，

（f，g）（x，y）|（0，0）=

0b0

-b00

， b0≠0.

由隱函數(shù)定理知（13）式在原點(diǎn)附近有唯一奇點(diǎn)，它是初等奇點(diǎn)，可能是焦點(diǎn)，也可能是中心或中心焦點(diǎn)，將其移到原點(diǎn)，則所得新方程以原點(diǎn)為奇點(diǎn)，因此不妨設(shè)p（0，0，ε，δ）=q（0，0，ε，δ）=0.進(jìn)一步利用矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型理論又可設(shè)方程（13）式的線性部分已具有標(biāo)準(zhǔn)形式，即

（f+εp，g+εq）（x，y）|（0，0）=

α（ε，δ）β（ε，δ）

-β（ε，δ）α（ε，δ）

.

因此，（13）式在原點(diǎn)附近的Poincaré映射，記P（r，ε，δ）為C∞函數(shù)，而（13）式原點(diǎn)附近的后繼函數(shù)為

d（r，ε，δ）=P（r，ε，δ）-r，

其展開式具有下述形式

d（r，ε，δ）=2π∑i≥1vi（ε，δ）ri.

進(jìn)一步由定理2.1知，上述展開式可改寫為

d（r，ε，δ）=2π∑j≥1v2j-1（ε，δ）r2j-1Pj（r，ε，δ），

（14）

其中Pj=1+O（r）∈C∞.又存在C∞函數(shù)=-e12αTr+O（r2）和N（r，ε，δ）=e12αT+O（r）使得

d（，ε，δ）=-N（r，ε，δ）d（r，ε，δ）.

（15）

如果當(dāng)ε=0時方程（13）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，則由改進(jìn)的泰勒公式可知后繼函數(shù)d可寫為

d（r，ε，δ）=εd1（r，ε，δ），

其中d1為C∞函數(shù)，且有下列展開式

d1（r，ε，δ）=2π∑i≥1i（ε，δ）ri，

其中vj（ε，δ）=εj（ε，δ）.又由（14）與（15）式知

d1（r，ε，δ）=2π∑j≥12j-1（ε，δ）r2j-1Pj（r，ε，δ），

（16）

d1（，ε，δ）=-N（r，ε，δ）d1（r，ε，δ）.

于是，與定理2.2完全類似可證下述定理.

定理 2.5[39]

設(shè)當(dāng)ε=0時方程（13）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，又設(shè)存在k≥1，δ0∈Rm使得

2k+1（0，δ0）≠0， 2j+1（0，δ0）=0，

j=0，1，…，k-1，

（17）

則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域U，使當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ-δ0|lt;ε0時方程（13）在U中至多有k個極限環(huán)（重數(shù)包括在內(nèi)）.如果進(jìn)一步假設(shè)

rank（1，3，…，2k-1）δ（0，δ0）=k，

（18）

則任給原點(diǎn)的一鄰域，都有充分接近（0，δ0）的（ε，δ）使得（13）式在該鄰域中恰有k個極限環(huán).

下面給出定理2.5對近哈密頓系統(tǒng)的一個應(yīng)用.

對于x2+y2充分小，

設(shè)存在滿足

H（x，y）=b02（x2+y2）+∑i+j≥3hijxiyj，

b0gt;0

（19）

的C∞函數(shù)H（x，y），使得

（f，g）=（Hy，-Hx）.

（20）

此時，當(dāng)ε=0時方程（13）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，且原點(diǎn)附近的閉軌族{Lh}由函數(shù)H的等位線給出，即

Lh={（x，y）|H（x，y）=h}， 0lt;hlt;h0，

其中h0gt;0為某個常數(shù).任取θ0∈[0，2π]和充分小的r0∈（0，h0），定義傾角為θ0、長度為r0的截線

l={（rcos θ0，rsin θ0）|0lt;rlt;r0}.[JY]（21）

易見存在h1∈（0，r20），使當(dāng)0lt;hlt;h1時閉軌Lh與截線l有唯一交點(diǎn)，記為A（h）.現(xiàn)考慮方程（13）從點(diǎn)A（h）出發(fā)的正半軌，當(dāng)ε充分小時該正半軌繞原點(diǎn)一周后與截線l相交于某點(diǎn)B（h，ε，δ）.設(shè)從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B所用的時間為τ=τ（h，ε，δ），則

H（B）-H（A）=∫ABdH=∫ABHxdx+Hydy=

∫τ0[Hx（Hy+εp）+Hy（-Hx+εq）]dt=

ε∫τ0（Hxp+Hyq）dt≡εF（h，ε，δ）.

（22）

顯然有

F（h，0，δ）=∮Lh（qdx-pdy）|ε=0≡M（h，δ），

h∈（0，h1）.

（23）

由文獻(xiàn)[41]知，對取定的h∈（0，h1）及δ∈Rm，當(dāng)|ε|適當(dāng)小時函數(shù)B、τ與F關(guān)于其所有變量都是C∞的，特別地函數(shù)M（h，δ）關(guān)于h在區(qū)間（0，h1）上為C∞的.易證，對給定的h*∈（0，h1），當(dāng)|ε|充分小時（13）式在Lh*附近有周期解當(dāng)且僅當(dāng)方程F（h，ε，δ）=0關(guān)于h在h*附近有根.因此，我們也稱函數(shù)F為（13）式的后繼函數(shù)或分支函數(shù)，而稱M為（13）式的首階Melnikov函數(shù).一般地，可將函數(shù)F關(guān)于ε展開為

F（h，ε，δ）=M（h，δ）+εM2（h，δ）+ε2M3（h，δ）+…，

并分別稱M2、M3等為（13）式的第二、三階Melnikov函數(shù)等.

令K（r，θ0）=H（rcos θ0，rsin θ0），又記點(diǎn)A與B在截線l上的坐標(biāo)可分別為a（h）與b（h，ε，δ），即

A（h）=a（h）（cos θ0，sin θ0），

B（h，ε，δ）=b（h，ε，δ）（cos θ0，sin θ0），

則

K（a，θ0）=H（A），K（b，θ0）=H（B），

從而由（22）式和牛頓-萊布尼茨公式可得

εF（h，ε，δ）=

∫10Kr（a+s（b-a），θ0）ds（b-a），

（24）

注意到已設(shè)p（0，0，ε，δ）=q（0，0，ε，δ）=0，利用（24）式可證存在C∞函數(shù)Φ（r，ε，δ）=O（r2），使得

F（h，ε，δ）=Φ（h，ε，δ）.

由此可知，后繼函數(shù)F的定義可以拓展到h=0，但一般來說，它關(guān)于h在h=0僅為C1的.基于這一點(diǎn)，我們不能直接利用函數(shù)F來研究極限環(huán)的Hopf分支.一個自然的問題是：函數(shù)M在h=0的光滑性如何呢？下述定理給出了明確的回答.

定理 2.6[9]

設(shè)（19）式成立，則由（23）式給出的函數(shù)M（h，δ）關(guān)于h在h=0是C∞的.若H、p與q是解析函數(shù)，則函數(shù)M在h=0是解析的，從而

M（h，δ）=h∑l≥0bl（δ）hl，

0≤h1.

（25）

證明

這一定理首見于文獻(xiàn)[9]，在文獻(xiàn)[30，40]均有證明，但文獻(xiàn)[9]與[30]中的證明均想當(dāng)然地利用了改進(jìn)的泰勒公式，而在文獻(xiàn)[40]中先嚴(yán)格證明改進(jìn)的泰勒公式，然后給出這一定理的另一個證明.這里給出一個更為簡潔易懂的新證明，分為以下4步.

第一步，由（19）式知

H（x，0）=x2S（x）， S（x）=12b0+O（x）.

于是

H（x，0）=hxS（x）=±h.

由隱函數(shù)定理知存在u0gt;0使方程xS（x）=u有定義于（-u0，u0）的唯一解x=φ（u）=2b0u+O（u2）∈C∞，因此H（x，0）=h的2個解可表示為x=φ（±h）≡a±（h），即閉軌Lh與x軸的交點(diǎn)為A±（h）=（a±（h），0）.

第二步，考慮方程（13）的對應(yīng)于2個不同截線的后繼函數(shù)，其中f與g滿足（20）式.先在（21）式中取θ0=0，此時有A（h）=A+（h），相應(yīng)的B與F分別記為B+與F+，則易見

B+=（b+，0）， b+=P（a+，ε，δ），b+-a+=εd1（a+，ε，δ）.

于是，在（24）式中取θ0=0，并注意到

Kr（a+，0）=Hx（a+，0），

F+（h，0，δ）=M（h，δ），

可得

M（h，δ）=Hx（a+，0）d1（a+，0，δ）.

（26）

又在（21）式中取θ0=π，此時有A（h）=A-（h），并且由量a與b的定義知

-a=a-， -b=P（a-，ε，δ），

b-a=-εd1（a-，ε，δ），

Kr（a，π）=-Hx（a-，0），

因此，同上可得

M（h，δ）=Hx（a-，0）d1（a-，0，δ）.

（27）

現(xiàn)引入函數(shù)

ψ（u，δ）=Hx（φ（u），0）d1（φ（u），0，δ），u∈（-u0，u0），

其中φ為第一步中出現(xiàn)的函數(shù)，因此函數(shù)ψ為C∞的，且ψ（u，δ）=O（u2）.又注意到a±=φ（±h），利用（26）和（27）式可得

ψ（-h，δ）=ψ（h，δ）=M（h，δ），

hlt;u0.（28）

由（28）式的第一個等式可知函數(shù)ψ為u的偶函數(shù).

第三步，證明對任一正整數(shù)k，函數(shù)M關(guān)于h的k階導(dǎo)數(shù)M（k）（h，δ）都在區(qū)間（0，u20）上存在，且當(dāng)h→0時M（k）（h，δ）有有限極限.事實(shí)上，由改進(jìn)的泰勒公式可知

ψ（u，δ）=∑kj=1bju2j+u2k+2Rk（u），

其中Rk在（-u0，u0）上為C∞的偶函數(shù).于是由（28）式中第2個等式知

M（h，δ）=∑kj=1bjhj+hk+1Rk（h），

上式兩邊關(guān)于h求k階導(dǎo)數(shù)，可得

M（k）（h，δ）=k！bk+（hk+1Rk（h））k，

于是為證明當(dāng)h→0時M（k）（h，δ）有有限極限，只需要證明對（-u0，u0）上任意C∞函數(shù)R0（u），當(dāng)h→0時都有

（hk+1R0（h））（k）→0.

（29）

用歸納法.首先直接求導(dǎo)易證當(dāng)k=1時（29）式成立.設(shè)k≥1且（29）式成立（其中R0為任意的C∞函數(shù)），往證在（29）式中將k換成k+1也成立，則有

（hk+2R0（h））（k+1）=[（hk+2R0（h））′]（k）=

（k+2）（hk+1R0（h））（k）+（hk+1R*0（h））（k），

其中

R*0（u）=uR0′（u）/2∈C∞.

由上式及歸納假設(shè)可知，當(dāng)h→0時有

（hk+2R0（h））（k+1）→0.

從而在（29）式中將k換成k+1時它也成立.

第四步，定義M（0，δ）=0，則由拉格朗日中值定理知

M（h，δ）=M′（1，δ）h， 0lt;1lt;h，

于是由導(dǎo)數(shù)定義及第三步的結(jié)論即知M′（0，δ）存在.再由拉格朗日中值定理知

M′（h，δ）-M′（0，δ）=M″（2，δ）h，

0lt;2lt;h，

由此，仍由導(dǎo)數(shù)定義和第三步之結(jié)論知M″（0，δ）存在.以此類推可知，對任何正整數(shù)k，函數(shù)M關(guān)于h在h=0的k階導(dǎo)數(shù)M（k）（0，δ）都存在.即得函數(shù)M關(guān)于h在h=0為C∞的.

如果H、p與q是解析函數(shù)，則函數(shù)ψ為解析的偶函數(shù)，從而由（28）式即知M在h=0是解析的.

利用定理2.5和定理2.6，可證下述近哈密頓系統(tǒng)的Hopf分支定理.該定理由文獻(xiàn)[9]獲得，而下述改進(jìn)的形式則由文獻(xiàn)[39]獲得.

定理 2.7

考慮方程（13），其中假設(shè)（19）與（20）式成立.

如果存在k≥0，δ0∈Rm使得（25）式中的系數(shù)滿足

bk（δ0）≠0， bj（δ0）=0，

j=0，1，…，k-1，

（30）

則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域V使得當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ-δ0|lt;ε0時，（13）式在V中至多有k個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.若進(jìn)一步有

rank（b0，…，bk-1）（δ1，…，δm）|δ=δ0=k， m≥k，

（31）

則對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（13）式在該鄰域內(nèi)有k個極限環(huán).

證明

由定理2.6證明的第一步知函數(shù)a+有下列形式的展式

a+（h）=∑j≥1ajhj/2， a1=2b0.

由（19）與（16）式又知

Hx（a+，0）=∑j≥1jhj/2， 1=b0a1=2b0，

d1（r，0，δ）=2π∑j≥1v*2j-1r2j-1（1+pj（r）），

其中，v*2j-1=2j-1（0，δ），pj（r）=O（r）∈C∞.將以上3個級數(shù)代入（26）式可得

M（h，δ）=∑j≥0（bjhj+1+cjhj+3/2），

其中

bj=4πv*2j+12j/bj0+Lj（v*1，v*3，…，v*2j-1），

（32）

cj=j（v*1，v*3，…，v*2j+1），

Lj與j表示一次齊次式，例如

Lj（v*1，v*3，…，v*2j-1）=∑ji=1cijv*2i-1.

進(jìn)一步，由定理2.6知必有cj=0，j≥0.由（32）式易知條件（30）等價于條件（17），而條件（31）式等價于條件（18），于是由定理2.5即得定理2.7.證畢.

如果M（h，δ）≡0，且M2與截線l的選擇無關(guān)，則同前可證它關(guān)于h在h=0是C∞的.進(jìn)一步利用（24）式及改進(jìn)的泰勒公式可知（13）式的后繼函數(shù)d可以寫成

d（r，ε，δ）=ε2d2（r，ε，δ）， d2∈C∞，

因此，利用第二階Melnikov函數(shù)M2的展開式可以進(jìn)一步研究極限環(huán)的個數(shù).有關(guān)結(jié)果見文獻(xiàn)[43].對一些比較特殊的近哈密頓系統(tǒng)，當(dāng)M（h，δ）≡0時會導(dǎo)致F（h，ε，δ）≡0，此時可以獲得Hopf分支中極限環(huán)的最大個數(shù)，即有下述定理，其證明見文獻(xiàn)[9，30].

定理 2.8

考慮方程（13），其中假設(shè)（19）與（20）式成立.如果存在k≥0，δ0∈Rm使得

（i） （25）式中的系數(shù)滿足

bj（δ0）=0， j=0，1，…，k-1，det（b0，…，bk-1）（δ1，…，δk）|δ=δ0≠0， m≥k;

（33）

（ii） 存在k維向量函數(shù)φ（ε，δk+1，…，δm）使對充分小的|ε|+|δ-δ0|當(dāng)（δ1，…，δk）=φ（ε，δk+1，…，δm）時方程（13）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的某鄰域V，使當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ-δ0|lt;ε0時，（13）式在V中至多有k-1個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.此外，任給原點(diǎn)的一個鄰域，都存在充分接近（0，δ0）的（ε，δ），使得（13）式在V中有k-1個單重極限環(huán).

利用定理2.7和2.8可證下述定理[30].

定理 2.9

考慮方程（13），其中假設(shè)（19）與（20）式成立.如果函數(shù)p與q關(guān)于向量參數(shù)δ是線性的，且存在k≥1使得：

（i） rank（b0，…，bk-1）（δ1，…，δm）=k，m≥k，

（ii） 當(dāng)bj（δ）=0，j=0，…，k-1時方程（13）以原點(diǎn)為中心奇點(diǎn)，則任給正數(shù)Ngt;1都存在ε0gt;0和原點(diǎn)的某鄰域V，使當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ|lt;N時（13）式在V中至多有k-1個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.此外，k-1個極限環(huán)可以在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)出現(xiàn).

由上述定理可知下列形式的Liénard系統(tǒng)

=y-ε∑ni=1aixi， =-x（1+x）

當(dāng)|ε|充分小時在原點(diǎn)鄰域內(nèi)極限環(huán)的最大個數(shù)是[2n-13].事實(shí)上，這個數(shù)也是上述系統(tǒng)在全平面中極限環(huán)的最大個數(shù)，證明詳見文獻(xiàn)[12].

由于極限環(huán)分支理論的重要性及其在應(yīng)用學(xué)科的廣泛性，國內(nèi)外同行對平面光滑系統(tǒng)的Hopf分支的研究還在繼續(xù)，而且還發(fā)展到了冪零焦點(diǎn)與中心的擾動分支，以及有限光滑系統(tǒng)[19-20，26，37].

3 分段光滑系統(tǒng)

本節(jié)簡單介紹有關(guān)分平面段光滑微分方程的極限環(huán)的一些研究結(jié)果.設(shè)有一Ck光滑曲線Σ：x=φ（y），y∈R，k≥1.該曲線將平面R2分為兩部分Ω+={（x，y）|xgt;φ（y），y∈R}與Ω-={（x，y）|xlt;φ（y），y∈R}，于是

R2=Ω+∪Ω-∪Σ.

設(shè)P±（x，y）與Q±（x，y）為分別定義于Ω±∪Σ上的Ck函數(shù)，則可定義分段Ck光滑的平面系統(tǒng)為

=f（x，y）， =g（x，y），

（34）

其中

f（x，y）=

f+（x，y）， （x，y）∈Ω+，

f-（x，y）， （x，y）∈Ω-，

g（x，y）=

g+（x，y）， （x，y）∈Ω+，

g-（x，y）， （x，y）∈Ω-.

設(shè)系統(tǒng)（34）有一條順時針定向的穿越曲線Σ兩次的閉軌線，記為L=L+∪L-，使得L∩Σ={A，B}，L+=AB（Ω+∪Σ），L-=BA（Ω-∪Σ），以及

φ′1

f±g±

A，B≠0.

（35）

如圖1所示.

易見，L+與L-分別是右子系統(tǒng)

=f+（x，y）， =g+（x，y）

（36）

與左子系統(tǒng)

=f-（x，y）， =g-（x，y）

（37）

的軌線段.又設(shè)

A=（φ（a0），a0）， B=（φ（b0），b0），

a0，b0∈R，

那么對a0附近的a，（36）式從點(diǎn)A1（φ（a），a）出發(fā)的軌線L+1（a）必到達(dá)一點(diǎn)B1（φ（b），b）.同理，方程（37）式從點(diǎn)B1出發(fā)的軌線L-1（b）必到達(dá)某點(diǎn)A2（φ（c），c）.注意到L+1=A1B1與L-1=B1A2均為Ck光滑的，且φ為Ck函數(shù).由（35）式和隱函數(shù)定理知b=P1（a）∈Ck，c=P2（b）∈Ck.可以定義（34）式在L的Poincaré映射為

c=P2（P1（a））≡PL（a）.

（38）

顯然有

P1（a0）=b0， P2（b0）=a0， PL（a0）=a0，

且對a0附近的所有a有PL=P2P1∈Ck.

令d（a）=PL（a）-a，則函數(shù)d在a0附近為Ck的，且d（a0）=0.利用函數(shù)d可以定義閉軌線L的穩(wěn)定性與重數(shù).

定義 3.1

設(shè)a0為函數(shù)d的孤立根，則稱L為方程（34）的穿越極限環(huán)，簡稱為極限環(huán).如果當(dāng)|a-a0|gt;0充分小時有（a-a0）d（a）lt;0，則稱L為穩(wěn)定極限環(huán)，否則（即L不是穩(wěn)定的），稱其為不穩(wěn)定極限環(huán).如果有正整數(shù)l，滿足1≤l≤k且使得

d（l）（a0）≠0， d（j）（a0）=0， 0≤j≤l-1，

則稱L為方程（34）的l重極限環(huán).特別當(dāng)l=1時稱其為單重極限環(huán)或雙曲極限環(huán).

文獻(xiàn)[39]證明了下述基本引理.

引理 3.1

對（34）式的Poincaré映射PL，成立

P′L（a0）=K1K2exp（I（L）），

（39）

其中

K1=（f+（A）-φ′（a0）g+（A））×（f-（B）-φ′（b0）g-（B）），

K2=（f+（B）-φ′（b0）g+（B））×（f-（A）-φ′（a0）g-（A）），

I（L）=∫ABtr（f+，g+）（x，y）dt+∫BAtr（f-，g-）（x，y）dt.

故L為單重極限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)K1K2exp（I（L））≠1，且當(dāng)K1K2exp（I（L））lt;1（或K1K2exp（I（L））gt;1）時它是穩(wěn)定的（或不穩(wěn)定的）.

不難看出，如果將“φ為Ck函數(shù)”減弱為“存在常數(shù)ε0gt;0使得φ在（a0-ε0，a0+ε0）∪（b0-ε0，b0+ε0）上為Ck函數(shù)”，則引理3.1的結(jié)論仍成立.曲線Σ稱為系統(tǒng)（34）的切換線.對于多個切換線的分段光滑系統(tǒng)極限環(huán)的穩(wěn)定性判別，見文獻(xiàn)[42].

現(xiàn)考慮含參數(shù)系統(tǒng)

=F（x，y，μ）， =G（x，y，μ），

（40）

其中

（F（x，y，μ），G（x，y，μ））=

（F+（x，y，μ），G+（x，y，μ））， xgt;φ（y），

（F-（x，y，μ），G-（x，y，μ））， xlt;φ（y），

且μ∈Rn，n≥1，F(xiàn)±，G±∈Ck，以及

F±（x，y，0）=f±（x，y）， G±（x，y，0）=g±（x，y）.

如前定義（40）式的Poincaré映射（a，μ）為右系統(tǒng)

=F+（x，y，μ）， =G+（x，y，μ）

和左系統(tǒng)

=F-（x，y，μ）， =G-（x，y，μ）

的Poincaré映射P1（a，μ）與P2（a，μ）的復(fù)合，即（a，μ）=P2（P1（a，μ），μ）.顯然，（a，0）=PL（a）.于是對函數(shù)（a，μ）-a應(yīng)用引理1.4即得[39].

定理 3.1

設(shè)未擾系統(tǒng)（34）有一l重穿越極限環(huán)L，1≤l≤k，則存在常數(shù)ε0gt;0與L的鄰域U使對所有的|μ|lt;ε0方程（40）在U中至多有l(wèi)個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.

再來研究（40）式的Hopf分支問題.此時要做的一個基本假設(shè)是其未擾系統(tǒng)（34）有一個形如焦點(diǎn)的“奇點(diǎn)”，為了方便，可設(shè)該點(diǎn)位于原點(diǎn)，且有φ（0）=0.引入下述定義.

定義 3.2

考慮分段Ck光滑系統(tǒng)（34）且φ（0）=0.又設(shè)存在常數(shù)ε2gt;ε1gt;0，使得

（i） 對任一a∈（0，ε1），方程（36）從點(diǎn)（φ（a），a）出發(fā)的正半軌與曲線Σ交于點(diǎn)（φ（b），b），記b=P1（a）∈（-ε2，0），滿足P1（0+）=0;

（ii） 對任一b∈（-ε2，0），方程（37）從點(diǎn)（φ（b），b）出發(fā)的正半軌與曲線Σ交于點(diǎn)（φ（c），c），記c=P2（b），滿足P2（0-）=0.

令P0（a）=P2（P1（a））.如果對所有的a∈（0，ε1），均有P0（a）≠a，則稱原點(diǎn)為方程（34）的焦點(diǎn).如果對所有的a∈（0，ε1），均有P0（a）=a，則稱原點(diǎn)為方程（34）的中心奇點(diǎn)（簡稱為中心）.進(jìn)一步，如果對所有的a∈（0，ε1），均有P0（a）lt;a（或P0（a）gt;a），則說原點(diǎn)為方程（34）的穩(wěn)定（不穩(wěn)定）焦點(diǎn).

非光滑系統(tǒng)（34）在原點(diǎn)的焦點(diǎn)或中心可分為如下4類.如果原點(diǎn)同時是系統(tǒng)（34）的左右子系統(tǒng)的奇點(diǎn)，則稱原點(diǎn)為系統(tǒng)（34）的FF型奇點(diǎn)，如果原點(diǎn)僅僅是系統(tǒng)（34）的左子系統(tǒng)的奇點(diǎn)，則稱原點(diǎn)為系統(tǒng)（34）的FP型奇點(diǎn).類似可定義PF型與PP型奇點(diǎn).這里“P”與“F”分別取自英文單詞parabola（拋物線）與focus（焦點(diǎn)）的首個字母.文獻(xiàn)[18]給出了非光滑系統(tǒng)以原點(diǎn)為初等焦點(diǎn)或中心的概念，如下列定義所述.

定義 3.3

設(shè)原點(diǎn)是（34）的焦點(diǎn)或中心，且原點(diǎn)附近的軌線為順時針定向的.稱原點(diǎn)為初等的焦點(diǎn)或中心，如果：

（i） 當(dāng)原點(diǎn)是PP型時成立

H±P：f±（0，0）=0， f±y（0，0）gt;0，±g±（0，0）lt;0;

（41）

（ii） 當(dāng)原點(diǎn)是FF型時成立

H±F：

f±（0，0）=0， g±（0，0）=0，

f±y（0，0）gt;0，

（f±x（0，0）-g±y（0，0））2+4f±y（0，0），

g±x（0，0）lt;0;

（42）

（iii） 當(dāng)原點(diǎn)是PF型（或FP型）時成立H-P與H+F（或成立H+P與H-F）.

下面為了方便，假設(shè)φ=0，且F±，G±∈C∞，此時在原點(diǎn)附近可以定義系統(tǒng)（34）的一個后繼函數(shù)d（a）如下[17]：

d（a）=

P2（P1（a））-a， 0lt;a1，

0， a=0，

P1（P2（a））-a， 0lt;-a1.

易見，函數(shù)d（a）在a=0附近有一個正根當(dāng)且僅當(dāng)它有一個負(fù)根.進(jìn)一步，如果對充分小的agt;0，令=P1（a），則由牛頓-萊布尼茨公式可得

d（）=P1（d（a））-P1（a）=K（a）d（a），K（a）=∫10P1′（a+sd（a））ds，

由此可知d（a）在a=0附近有一個正根a和相應(yīng)的負(fù)根具有相同的重數(shù).

由文獻(xiàn)[2，16，18]知，如果原點(diǎn)是初等焦點(diǎn)或中心，則函數(shù)d對0≤a1為C∞的，從而就有下列形式展式

d（a）=∑i≥1Viai， 0≤a1，

（43）

其中Vi=d（i）（0+）/i！.需要注意的是，函數(shù)d對0≤-a1也是C∞的，但函數(shù)d在a=0的小鄰域內(nèi)未必是C∞的，因?yàn)槲幢赜衐（i）（0+）=d（i）（0-）.

類似地，如果對所有適當(dāng)小的|μ|，方程（40）都以原點(diǎn)為初等焦點(diǎn)或中心，則可以定義其后繼函數(shù)（a，μ），其中0lt;|a|1.由改進(jìn)的泰勒公式知存在函數(shù)d1∈C∞使（a，μ）=ad1（a，μ），0≤a1.注意到PF型與FP能夠互換（將x換成-x），只需要考慮FF＼，PP與FP型的焦點(diǎn)或中心即可.

首先，對函數(shù)d1（a，μ），其中0≤a1，應(yīng)用引理1.5可得下述結(jié)果[16，27，39].

定理 3.2

假設(shè)：（i） d（a）=Vkak+O（ak+1），其中，0lt;a1，Vk≠0，k≥2;（ii） 對一切充分小的|μ|，原點(diǎn)是（40）式的FF型或FP型初等焦點(diǎn)，則對一切充分小的|μ|，方程（40）在原點(diǎn)的某小鄰域內(nèi)至多有k-1個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.

上述定理中原點(diǎn)是FF型初等焦點(diǎn)的情況是文獻(xiàn)[16]獲得的，而對FP型初等焦點(diǎn)情況是文獻(xiàn)[27]獲得的，其中極限環(huán)個數(shù)包括重數(shù)的結(jié)論需要利用文獻(xiàn)[39]的結(jié)果.

現(xiàn)設(shè)原點(diǎn)是（34）式的PP型焦點(diǎn)，文獻(xiàn)[27]引入了下述函數(shù)

F0（a）=

P1（a）-P-12（a）， agt;0，

0， a=0，

P-11（a）-P2（a）， alt;0，

并證明當(dāng)|a|充分小時F0（a）=O（a2）∈C∞，且該函數(shù)的形式展開式

F0（a）=∑i≥2V*iai， |a|1（44）

滿足

V*2k+1=O（|V*2，V*4，…，V*2k|）， k≥1.

易見，令=P1（a），agt;0，則

F0（）=a-P2（P1（a））=

-[P2（P1（a））-P2（P-12（a））]=-N（a）F0（a），

其中

N（a）=∫10P2′（P-12（a）+sF0（a））ds.

由此知F0（a）的根成對出現(xiàn)，且重數(shù)一樣.

進(jìn)一步，由文獻(xiàn)[27]知（43）式中的系數(shù)Vi與（44）式中的系數(shù)V*i滿足

V2=-V*2， Vi=（-1）i+1V*i+O（|V*2，V*3，…，V*i-1|）， i≥3，

由此可得

V2k+1=O（|V2，V4，…，V2k|）， k≥1.

如果當(dāng)|μ|充分小時原點(diǎn)是方程（40）初等的PP型焦點(diǎn)，則可定義滿足（a，0）=F0（a）的C∞函數(shù)（a，μ）如下

（a，μ）=∑i≥2i（μ）ai， |a|1，

其中

2j+1（μ）=O（|2（μ），4（μ），…，2j（μ）|），

j≥1.

注意到函數(shù)（a，μ）在a=0附近關(guān)于a有l(wèi)重正根當(dāng)且僅當(dāng)方程（40）在原點(diǎn)附近有l(wèi)重極限環(huán).對函數(shù)應(yīng)用引理1.5（也可對應(yīng)用引理1.4）可得下列定理[27，39].

定理 3.3

設(shè)當(dāng)|μ|充分小時原點(diǎn)是方程（40）初等的PP焦點(diǎn).如果存在k≥1使有

V2=V4=…=V2k=0， V2k+2≠0，

則對充分小的|μ|系統(tǒng)（40）在原點(diǎn)附近至多有k個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.

事實(shí)上，在所設(shè)條件下函數(shù)（a，μ）當(dāng)agt;0充分小時可以寫成

（a，μ）=∑k+1j=12j（μ）a2jPj（a，μ），Pj=1+O（a）∈C∞.

易見，也可以將后繼函數(shù)（a，μ）寫成與上式類似的形式，再應(yīng)用引理1.5而得定理3.3的結(jié)論.

下面考慮如下形式的分段光滑近哈密頓系統(tǒng)：

=

H+y（x，y）+εp+（x，y，ε，δ）

-H+x（x，y）+εq+（x，y，ε，δ）， xgt;0，

H-y（x，y）+εp-（x，y，ε，δ）

-H-x（x，y）+εq-（x，y，ε，δ）， x≤0，

（45）

其中，H±＼，p±與q±均為C∞函數(shù)，ε為小參數(shù)，δ∈Rm為有界向量參數(shù).假設(shè)（45）式滿足下列條件：

（I） 存在開區(qū)間J=（α，β）與兩點(diǎn)A（h）=（0，a（h））和B（h）=（0，b（h））使對h∈J，

H+（A（h））=H+（B（h））=h，

H-（A（h））=H-（B（h））， a（h）gt;b（h）.

（II） 方程H+（x，y）=h在x≥0定義了曲線段L+h，始于A（h）而終于B（h）;而方程H-（x，y）=H-（A（h））在x≤0上定義了曲線段L-h，始于B（h）且終于A（h），使得方程（49）|ε=0有一族順時針定向的閉軌線Lh=L+h∪L-h.

（III） 對每個h∈J曲線L±h都不與切換線x=0相切.換言之，H±y（A）H±y（B）≠0，h∈J.

易見，在條件（I）～（III）之下，閉曲線族{Lh}形成了一個穿越周期帶.文獻(xiàn)[17]利用H+和（45）式的軌線建立了一個分支函數(shù)F，如下式：

H+（ε）-H+（A）=εF（h，ε，δ），

（46）

其中ε表示方程（45）從點(diǎn)A出發(fā)的正半軌與直線x=0的第二次交點(diǎn)，并使得limε→0 ε=A.令M（h，δ）=F（h，0，δ），稱其為方程（45）首階Melnikov函數(shù).文獻(xiàn)[17]獲得了函數(shù)M的公式，文獻(xiàn)[28]對這一公式做了一點(diǎn)簡化，得到

M（h，δ）=∫AB（q+dx-p+dy）|ε=0+H+y（A）H-y（A）∫BA（q-dx-p-dy）|ε=0， h∈J.

（47）

由（47）式可看出M∈C∞（J）.文獻(xiàn)[17，28，35]等利用函數(shù)M（h，δ）研究了極限環(huán)的分支問題，包括周期帶的擾動分支、一些廣義同宿環(huán)的擾動分支以及初等中心的擾動分支等等.對固定的h∈J，當(dāng)|ε|充分小時函數(shù)F為無窮次可微的（理由是這樣的：首先由條件（I）～（III），利用解對初值與參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性定理及隱函數(shù)定理可知ε關(guān)于h＼，ε＼，δ為C∞的，于是H+（ε）-H+（A）為h＼，ε＼，δ的C∞函數(shù)，再由改進(jìn)的泰勒公式又知函數(shù)F為C∞的），從而有下列展式

F（h，ε，δ）=∑j≥0Mj（h，δ）εj，

其中，Mj∈C∞（J），M0=M.

為研究（45）式的Hopf分支，需要對它做進(jìn)一步的假設(shè).首先，要求當(dāng)ε=0時（45）式順時針定向的閉軌族{Lh}以原點(diǎn)為內(nèi)邊界，且使原點(diǎn)為初等中心，于是當(dāng)h→α?xí)ra（h），b（h）→0.進(jìn)一步可設(shè)α=0.其次，對原點(diǎn)分FF、FP與PP這3類情況逐一討論.

現(xiàn)假設(shè)原點(diǎn)為FF型中心，即有

H±（0，0）=H±x（0，0）=H±y（0，0）=0，

H±yy（0，0）gt;0，

det（H±y，-H±x）（x，y）（0，0）gt;0.

（48）

再假設(shè)對一切充分小的|ε|原點(diǎn)恒為（45）式的奇點(diǎn)，即除了上式，又成立

p±（0，0，ε，δ）=q±（0，0，ε，δ）=0.

（49）

如前，可定義（45）式在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的后繼函數(shù)

d（a，ε，δ）=

P2（P1（a，ε，δ），ε，δ）-a， 0lt;a1，

0， a=0，

P1（P2（a，ε，δ），ε，δ）-a， 0lt;-a1，

其中，P1（a，ε，δ）與P2（a，ε，δ）分別為（45）式的右系統(tǒng)、左系統(tǒng)的Poincaré映射，函數(shù)P1對0≤a1為C∞，而P2對0≤-a1為C∞.于是d對0≤a1為C∞，又因?yàn)閐（a，0，δ）=0，由改進(jìn)的泰勒公式知

d（a，ε，δ）=εd1（a，ε，δ）， d1∈C∞，

d1（a，ε，δ）=∑i≥1i（ε，δ）ai， 0≤a1.

（50）

利用（46）式，文獻(xiàn)[17]證明當(dāng)H+（0，a）=h，0≤a1時成立

F（h，ε，δ）=∫10H+y（0，a+sd（a，ε，δ））×dsd1（a，ε，δ），

利用這一關(guān)系以及（50）式，文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步證明存在（u，ε，δ）=O（u2）∈C∞，使得

F（h，ε，δ）=（h，ε，δ）=∑i≥2i-1（ε，δ）hi2.

（51）

因此，由（47）式給出的函數(shù)M在條件（49）下有以下形式的展開式

M（h，δ）=∑i≥2bi-1（δ）hi2，

（52）

其中bi-1（δ）=i-1（0，δ）.利用（51）與（52）式，文獻(xiàn)[17]證明了下述定理.

定理 3.4

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45），并假設(shè)條件（I）～（III）、（48）與（49）式成立.如果存在k≥1，δ0∈Rm使得（52）式中的系數(shù)滿足

bk+1（δ0）≠0， bj（δ0）=0， j=1，2，…，k，

則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域V使得當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ-δ0|lt;ε0時，（45）式在V中至多有k個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.若進(jìn)一步有

rank（b1，b2，…，bk）（δ1，δ2，…，δm）|δ=δ0=k， m≥k，

則對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)有k個極限環(huán).

文獻(xiàn)[35]進(jìn)一步獲得了下述2個定理.

定理 3.5

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45），并假設(shè)條件（I）～（III）、（48）與（49）式成立.如果函數(shù)p±與q±關(guān)于參數(shù)δ為線性的，且存在k≥1，δ0∈Rm使得（52）式中的系數(shù)滿足

bj（δ0）=0， j=1，2，…，k+1，rank（b1，b2，…，bk+1）（δ1，δ2，…，δm）=k+1， m≥k+1，

以及當(dāng)bj（δ）=0，j=1，2，…，k+1時原點(diǎn)是（45）式的中心奇點(diǎn)，則對任給的Ngt;0，存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域V使得當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ|lt;N時，（45）式在V中至多有k個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)），且對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)有k個極限環(huán).

定理 3.6

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45），并假設(shè)條件（I）～（III）與（48）式成立，則由（47）式給出的函數(shù)M有以下形式的展開式

M（h，δ）=∑i≥1bi-1（δ）hi2.

（53）

如果存在k≥0，δ0∈Rm使得

bk+1（δ0）≠0， bj（δ0）=0， j=0，1，…，k，rank

（b0，b1，…，bk）（δ1，δ2，…，δm）|δ=δ0=k+1， m≥k+1，

則對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)至少有k+1個極限環(huán).

下面假設(shè)原點(diǎn)為FP型中心，即有

H-x（0，0）=H-y（0，0）=0， H-yy（0，0）gt;0，

det（H-y，-H-x）（x，y）（0，0）gt;0，

H+y（0，0）=0， H+yy（0，0）gt;0，

H+x（0，0）gt;0.

（54）

同上，假設(shè)對一切充分小的|ε|原點(diǎn)恒為（45）式的奇點(diǎn)，即除了上式，又成立

p-（0，0，ε，δ）=q-（0，0，ε，δ）=0，p+（0，0，ε，δ）=0.

（55）

如前，可定義（45）式在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的后繼函數(shù)d（a，ε，δ），它對0≤a1為C∞，且d（a，0，δ）=0，并且類似可證在假設(shè)（54）與（55）式之下函數(shù)M仍有形如（52）式的展開式，而在假設(shè)（54）式之下函數(shù)M有形如（53）式的展開式.由此，文獻(xiàn)[44]得到與上述3個定理類似的結(jié)果，如下述定理所述.

定理 3.7

如果在定理3.4與定理3.5中條件（48）與（49）改為（54）與（55）式，其他條件不變，則它們的結(jié)論仍分別成立；類似地，如果在定理3.6中條件（48）改為（54）式，其他條件不變，則其結(jié)論仍成立.

最后考慮原點(diǎn)為未擾系統(tǒng)的PP型中心之情形，即假設(shè)

H±y（0，0）=0， H±yy（0，0）gt;0，

H+x（0，0）gt;0， H-x（0，0）lt;0.

（56）

同上，如果對一切充分小的|ε|又有

p±（0，0，ε，δ）=0，

（57）

則原點(diǎn)恒為（45）式的奇點(diǎn).

文獻(xiàn)[44]得到了下列3個定理.

定理 3.8

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45），并假設(shè)條件（I）～（III）、（56）與（57）式成立，則由（47）式給出的函數(shù)M有以下形式的展開式

M（h，δ）=∑i≥3bi-1（δ）hi2，

（58）

其中b2i+1=O（|b2，b4，…，b2i|），i≥1.

如果存在k≥1，δ0∈Rm使得

b2k（δ0）≠0， b2j（δ0）=0，

j=1，2，…，k-1，

則存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域V使得當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ-δ0|lt;ε0時，（45）式在V中至多有k-1個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)）.若進(jìn)一步有

rank

（b2，b4，…，b2k-2）（δ1，δ2，…，δm）|δ=δ0=k-1，

則對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)有k-1個極限環(huán).

定理 3.9

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45）式，并假設(shè)條件（I）～（III）、（56）與（57）式成立.如果函數(shù)p±與q±關(guān)于參數(shù)δ為線性的，且存在k≥1，δ0∈Rm使得（58）式中的系數(shù)滿足

b2j（δ0）=0， j=1，2，…，k，rank

（b2，b4，…，b2k）（δ1，δ2，…，δm）

=k，

以及當(dāng)b2j（δ）=0，j=1，…，k時原點(diǎn)是（45）式的中心奇點(diǎn)，則對任給的Ngt;0，存在ε0gt;0和原點(diǎn)的鄰域V使得當(dāng)0lt;|ε|lt;ε0，|δ|lt;N時，（45）式在V中至多有k-1個極限環(huán)（包括重數(shù)在內(nèi)），且對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)有k-1個極限環(huán).

定理 3.10

考慮近哈密頓系統(tǒng)（45），并假設(shè)條件（I）～（III）與（56）式成立.則由（47）式給出的函數(shù)M有以下形式的展開式

M（h，δ）=∑i≥1bi-1（δ）hi2，

（59）

其中

b0（δ）=22H+yy（0，0）（c+-H+yy（0，0）H-yy（0，0）c-），b1（δ）=c-K，

c+=f+（0，0，0，δ）， c-=f-（0，0，0，δ），

K=-2（H+yyy（0，0）H-yy（0，0）-H+yy（0，0）H-yyy（0，0））H+yy（0，0）（H-yy（0，0））2，

b2i+1（δ）=

O（|c+，c-，b2（δ），b4（δ），…，b2i（δ）|），

i≥1.

如果K≠0且存在k≥0，δ0∈Rm使得

b2k+2（δ0）≠0， b0（δ0）=b1（δ0）=b2（δ0）=b4（δ0）=…=b2k（δ0）=0，

rank（b0，b1，b2，b4，…，b2k）（δ1，δ2，…，δm）（δ0）=k+2，

則對原點(diǎn)的任一鄰域都有（ε，δ）（在（0，δ0）附近）使（45）式在該鄰域內(nèi)有k+2個極限環(huán).

最后指出，如果所考慮的系統(tǒng)是近可積系統(tǒng)，即有如下形式：

=

f+1（x，y）+εf+2（x，y，ε）

g+1（x，y）+εg+2（x，y，ε）

， xgt;0，

f-1（x，y）+εf-2（x，y，ε）

g-1（x，y，）+εg-2（x，y，ε）

， x≤0，

其中，f±1＼，f±2＼，g±1與g±2為C∞函數(shù)，使得函數(shù)μ1與μ2（積分因子）以及H+與H-（首次積分）滿足

μ1f+1=H+y， μ1g+1=-H+x， xgt;0，

μ2f-1=H-y， μ2g-1=-H-x， x≤0，

則上述近可積系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為（等價于）形如（45）式的形式，從而可知其相應(yīng)的Melnikov函數(shù)為

M（h）=∫ABμ1（g+2dx-f+2dy）|ε=0+H+y（A）H-y（A）∫BAμ2（g-2dx-f-2dy）|ε=0.

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Hopf Bifurcation Theory for Planar Systems

HAN Maoan

（School of Mathematical Sciences， Zhejiang Normal University， Jinhua 321004， Zhejiang）

In this paper， the Hopf bifurcation theory for planar systems is systematically presented， including the main results and methods in Hopf bifurcation of limit cycles for planar smooth systems and some recent advances in Hopf bifurcation for piecewise smooth systems.

planar system; Hopf bifurcation; limit cycle; periodic solution; Melnikov function

2020 MSC：34C05; 34C07; 37G15

（編輯 周 ?。?/p>