摘要： 針對(duì)粒子群優(yōu)化算法在優(yōu)化復(fù)雜工程問(wèn)題時(shí)存在搜索效率低和易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題， 提出一種屋型拓?fù)淞Ｗ尤簝?yōu)化算法. 該算法通過(guò)提出屋型拓?fù)浜驮O(shè)計(jì)適應(yīng)其特性的位置更新策略， 改善粒子群優(yōu)化算法信息傳遞和交流方式， 提升算法的收斂速率和全局優(yōu)化能力. 在基準(zhǔn)函數(shù)上的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 屋型拓?fù)淞Ｗ尤核惴ǖ膶?yōu)精度、 收斂速度和穩(wěn)定性均優(yōu)于其他4種改進(jìn)算法. 在3個(gè)實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題上的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法的有效性和實(shí)用性.

關(guān)鍵詞： 屋型拓?fù)洌?粒子群優(yōu)化算法； 工程優(yōu)化問(wèn)題; 基準(zhǔn)函數(shù); 仿真實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)： TP301.6""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""文章編號(hào)： 1671-5489（2024）06-1384-07

House Topology-Based Particle Swarm Optimization Algorithm andSolution to Engineering Optimization Problems

GAO Minghan1， WANG Limin2， HUANG Ruilu2， ZHANG Yufei3， LI Mingyang4

（1. School of Computer Science amp; Engineering， Changchun University of Technology， Changchun 130012， China；

2. School of Information Science， Guangdong University of Finance and Economics， Guangzhou 510320， China;

3. School of Computer Science and Technology， Changchun University， Changchun 130022， China;

4. School of Economics and Management， Changchun University of Technology， Changchun 130012， China）

Abstract： Aiming at "the problems of low search efficiency and susceptibility "to "local optima in "particle swarm optimization algorithm

for optimizing "complex engineering problems， we proposed "a house topology-based particle swarm optimization algorithm. By

proposing "a house topology and designing a position update strategy tailored to its characteristics， the algorithm improved the information transmission and communication methods of "particle

swarm optimization algorithm， thereby enhancing the convergence rate and global optimization capability of the algorithm. The comparative experimental results on benchmark

functions show that the optimization accuracy， convergence speed， and stability of the house topology-based particle swarm optimization algorithm are superior

to the other "4 improved algorithms. The simulation results "on 3 real-world engineering optimization problems further validate the "effectiveness and practicality of the proposed algorithm.

Keywords： house topology; "particle swarm optimization algorithm; engineering optimization problem; benchmark function; simulation experiment

現(xiàn)代工程領(lǐng)域優(yōu)化問(wèn)題通常包含多種變量和約束條件， 具有復(fù)雜性和多維性， 求解難度較大^［1］. 目前已提出了多種優(yōu)化方法， 如梯度下降法和牛頓法等. 這些方法具有收斂速度快、 可解釋性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)， 但有時(shí)面臨初始條件敏感和易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題， 從而很難找到可行解. 群體智能優(yōu)化算法為這類問(wèn)題的求解提供了解決方案.

粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization， PSO）算法是工程應(yīng)用中最廣泛的群體智能優(yōu)算法之一^［2］， 其通過(guò)種群粒子間的相互協(xié)作和信息共享尋找問(wèn)題最優(yōu)解， 因簡(jiǎn)

單易行和全局搜索能力較強(qiáng)而備受關(guān)注. 但在處理復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)， PSO算法存在搜索效率低和搜索能力不足等問(wèn)題. 因此， 改進(jìn)PSO算法的性能， 進(jìn)一步提升算法的全局搜索能力和收斂速度至關(guān)重要.

目前已提出了多種改進(jìn)的PSO算法， 主要包括改進(jìn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)^［3-5］、 動(dòng)態(tài)參數(shù)調(diào)整^［6-8］和混合算法^［9-11］等. 其中， 改進(jìn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法通過(guò)改變粒子之間的信息交流方式， 增強(qiáng)算法多樣性. 動(dòng)態(tài)參數(shù)調(diào)整的方法根據(jù)算法的進(jìn)程或粒子的表現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)整算法參數(shù)， 平衡搜索能力. 混合算法的方法通過(guò)引入其他優(yōu)化算法機(jī)制， 利用各算法的優(yōu)勢(shì)彌補(bǔ)單一算法不足. 上述方法在一定程度上改善了PSO算法的局限性， 提升了其全局搜索能力和收斂速度.

本文提出一種屋型拓?fù)淞Ｗ尤簝?yōu)化（house topology-based particle swarm optimization， HTPSO）算法. 該算法通過(guò)設(shè)計(jì)屋型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)， 優(yōu)化了PSO算法種群組織方式， 擴(kuò)展了粒子知識(shí)來(lái)源. 設(shè)計(jì)適應(yīng)屋型拓?fù)涞奈恢酶虏呗裕?提升算法收斂速率和全局優(yōu)化能力. 在仿真測(cè)試中， 利用多個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)驗(yàn)證了HTPSO算法具有收斂速度快、 精度高等優(yōu)勢(shì). 在3個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題中， 相較于對(duì)比算法， HTPSO算法展現(xiàn)了更具優(yōu)勢(shì)的綜合優(yōu)化性能.

1"粒子群優(yōu)化算法

PSO算法在問(wèn)題求解時(shí)， 通常采用隨機(jī)初始化方法構(gòu)造初始粒子群， 然后利用迭代位置更新方法， 根據(jù)種群內(nèi)部經(jīng)驗(yàn)不斷自我提升， 使種群整體趨向最有可能存在全局最優(yōu)解的方向， 從而找到具體優(yōu)化問(wèn)題的近似最優(yōu)解. 假設(shè)一個(gè)具有D維搜索空間的優(yōu)化問(wèn)題， 當(dāng)使用具有N個(gè)種群粒子的PSO算法進(jìn)行求解時(shí)， 其第i個(gè)粒子的位置向量可表示為Xi=（xi，

1，xi，2，…，xi，D）， 速度向量可表示為Vi=（vi，1，vi，2，…，vi，D）. 在一次迭代中， PSO算法粒子的位置更新公式和速度更新公式分別為

Vi（t+1）=wVi（t）+c1r1（Xi，best（t）-Xi（t））+c2r2（Xgbest（t）-Xi（t）），（1）

Xi（t+1）=Xi（t）+Vi（t+1），（2）

其中： Xi，best表示粒子i到當(dāng)前迭代t為止經(jīng)過(guò)的具有最佳適應(yīng)度值的位置； Xgbest表示整個(gè)種群的最佳位置記錄； c1和c2分別表示認(rèn)知和社會(huì)學(xué)習(xí)因子， 用于調(diào)整粒子受到個(gè)體和全局最優(yōu)吸引的強(qiáng)度， 通常均取值為2； r1和r2為兩個(gè)均勻分布在0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù); w為線性遞減的慣性權(quán)重， 可表示為

w=wmax-t（wmax-wmin）tmax，（3）

wmax和wmin分別為最大和最小慣性權(quán)重值， tmax為最大迭代次數(shù).

2"屋型拓?fù)淞Ｗ尤簝?yōu)化算法

2.1"屋型拓?fù)?/p>

PSO算法中粒子受種群最優(yōu)個(gè)體位置和自身歷史最優(yōu)位置的吸引， 可能會(huì)導(dǎo)致種群多樣性降低， 從而快速收斂于局部最優(yōu)解附近. 本文提出屋型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)組織粒子協(xié)作完成尋優(yōu)任務(wù).

屋型拓?fù)涫且环N多層的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)， 其根據(jù)類似現(xiàn)實(shí)世界中的房屋形態(tài)展開(kāi)運(yùn)作. 在一個(gè)屋型拓?fù)浞N群中， 粒子將被劃分為屋頂、 屋檐、 墻壁三類. 具有更好適應(yīng)度值的粒子， 會(huì)被分配在更高層中. 位于屋頂?shù)牧Ｗ幼鳛轭I(lǐng)導(dǎo)者， 能直接或間接管理和引導(dǎo)其下的諸多粒子. 即屋頂?shù)牧Ｗ涌梢砸龑?dǎo)屋檐中的粒子， 而其他層的粒子同樣能引導(dǎo)其下一層的粒子. 通過(guò)多個(gè)層次之間的協(xié)作， 實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)種群知識(shí)的傳遞， 從而能比PSO算法拓?fù)涓‘?dāng)?shù)胤峙淞Ｗ尤蝿?wù). 圖1為具有15個(gè)粒子的屋型拓?fù)浞N群示意圖.

屋型拓?fù)涞腜SO算法有以下屬性：

1） 每個(gè)粒子被分配到一個(gè)特定的層；

2） 粒子適應(yīng)度值越好， 其所在的層次越高， 全局最佳粒子位于屋頂， 最差的粒子位于墻壁；

3） 同層粒子具有相近的適應(yīng)度值.

2.2"改進(jìn)位置更新策略

PSO算法種群整體使用相同的位置更新方法， 可能導(dǎo)致不同粒子的潛力無(wú)法充分發(fā)揮， 影響算法的優(yōu)化性能. 本文設(shè)計(jì)3種位置更新策略， 以適應(yīng)屋型拓?fù)涞亩鄬舆\(yùn)作結(jié)構(gòu)， 從而為不同層次的粒子分配合適的任務(wù)， 以增強(qiáng)算法性能.

屋頂粒子具有最好的適應(yīng)度值， 其位置可能具有較強(qiáng)的全局表示性和優(yōu)勢(shì)性. 因此， 屋頂粒子的位置更新方法應(yīng)能加快收斂速度， 并精細(xì)開(kāi)發(fā)種群已知的最優(yōu)區(qū)域. 屋頂粒子的速度和位置更新公式分別為

Vi（t+1）=r1sin（2π（1-μ））（Xi（t）-Xgbest（t）），（4）

Xi（t+1）=Xgbest（t）+Vi（t+1），（5）

其中： r1和μ為兩個(gè)均勻分布在0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù); Xgbest為當(dāng)前時(shí)刻內(nèi)種群

歷史最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)位置. 通過(guò)引入正弦擾動(dòng)， 擴(kuò)展了屋頂粒子速度更新的行為方式， 為其位置更新提供了更泛化性的參考， 一定程度上避免了在自身最優(yōu)區(qū)域陷入遲滯的可能.

屋檐粒子具有次好的適應(yīng)度值， 在尋優(yōu)過(guò)程中起到承上啟下、 串聯(lián)全局的作用. 因此， 屋檐粒子的位置更新方法應(yīng)根據(jù)屋頂粒子的指導(dǎo)， 充分吸收屋頂粒子的歷史優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)， 從而

在保有適當(dāng)多樣性的同時(shí)， 輔助屋頂粒子實(shí)現(xiàn)對(duì)解空間的進(jìn)一步開(kāi)發(fā). 屋檐粒子速度和位置更新公式分別為

Vi（t+1）=wVi（t）+c1r2（Xi，best（t）-Xi（t））+c2r3（Pi（t）-Xi（t）），（6）

Xi（t+1）=Pi（t）+Vi（t+1），（7）

其中： Xi，best為粒子i的歷史最優(yōu)位置； r2和r3為兩個(gè)均勻分布在0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù); w為慣性權(quán)重， 取值如式（3）所示; Pi為屋頂共識(shí)位置， 可表示為

Pi（t）=Xroof1（t）+Xroof2（t）+Xroof3（t）3，（8）

Xroof1，Xroof2，Xroof3分別表示3個(gè)隨機(jī)選擇的不同屋頂粒子的歷史最優(yōu)位置. 通過(guò)引入屋頂共識(shí)位置， 屋檐粒子速度更新的一個(gè)分量將在有效繼承屋頂粒子經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)， 避免過(guò)快收斂到某一局部最優(yōu)位置附近.

墻壁粒子的適應(yīng)度值較差， 可能蘊(yùn)含的全局最優(yōu)信息較少. 因此， 本文采用重組位置更新方法， 幫助墻壁粒子快速脫離當(dāng)前區(qū)域， 并有效增強(qiáng)種群多樣性. 墻壁粒子的位置更新公式為

Xi（t+1）=Ei（t）+r4η（Xe，best（t）-Xi（t）），（9）

Ei（t）=Xe，best（t）+Xi（t）2，（10）

其中： Xe，best表示隨機(jī)選擇的一個(gè)屋檐粒子的歷史最優(yōu)位置; η=0.6; r4為均勻分布在0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù); Ei為重組位置， 由式（10）獲得.

2.3"HTPSO算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

HTPSO算法的實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示.

3"仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法的有效性， 下面在多個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)和3個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)設(shè)備為搭載Intel（R） Xeon（R） CPU E5-2666 v3 @ 2.90 GHz的工作站， 內(nèi)存為32 GB， 操作系統(tǒng)為Microsoft Windows10 64位， 仿真軟件為MATLAB R2022a.

3.1"基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試

本文選擇CEC2017技術(shù)報(bào)告^［12］中的6個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試， 各基準(zhǔn)函數(shù)信息列于表1.

在基準(zhǔn)函數(shù)上， 將HTPSO算法與4種先進(jìn)的改進(jìn)算法進(jìn)行性能比較， 包括兩個(gè)同類改進(jìn)算法： 自適應(yīng)加權(quán)粒子群優(yōu)化器（AWPSO）^［13］和修正的粒子群優(yōu)化（MPSO）算法^［14］. 兩個(gè)其他優(yōu)化算法的改進(jìn)算法： 具有性能增強(qiáng)策略的雞群優(yōu)化（PECSO）算法^［15］和正弦余弦嵌入的松鼠搜索算法（SCSSA）^［16］. 其中， AWPSO設(shè)計(jì)自適應(yīng)加權(quán)策略， 利用曲線函數(shù)映射自適應(yīng)調(diào)節(jié)粒子加速系數(shù). MPSO設(shè)計(jì)隨機(jī)和主流學(xué)習(xí)策略替代自我和全局學(xué)習(xí)策略. PECSO融合自由分組與個(gè)體再生機(jī)制實(shí)現(xiàn)多樣化搜索. SCSSA將正弦余弦算法與松鼠搜索算法混合以結(jié)合二者優(yōu)勢(shì).

為保證實(shí)驗(yàn)的公平性， 所有算法的通用參數(shù)均設(shè)置為智能體個(gè)數(shù)N=50， 最大迭代次數(shù)tmax=1 000， 測(cè)試維度D=30. 此外， 每種算法的特殊參數(shù)設(shè)置列于表2.

在每個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上， 均進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)， 以減少隨機(jī)因素對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響. 采用30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的平均適應(yīng)度值與標(biāo)準(zhǔn)差為評(píng)價(jià)指標(biāo).

表3為HTPSO算法與4種對(duì)比算法在基準(zhǔn)函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果. 由表3可見(jiàn)， HTPSO算法在6個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上均獲得了最小的平均適應(yīng)度值和標(biāo)準(zhǔn)差， 表明HTPSO算法的收斂精度和穩(wěn)定性較高.

圖3為6種算法在不同基準(zhǔn)函數(shù)上的收斂曲線， 為更顯著地展示不同算法在多輪獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中的收斂趨勢(shì)， 采用平均適應(yīng)度值的對(duì)數(shù)值作為性能指標(biāo). 由圖3可見(jiàn)， HTPSO算法曲線下降速率較快且收斂位置較低， 表明其能較好平衡算法勘探與開(kāi)發(fā)的關(guān)系， 具有較高的收斂速度和精度， 進(jìn)一步證明了該算法的良好優(yōu)化能力.

3.2"工程優(yōu)化問(wèn)題求解

工程優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)將實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小化優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解， 群體智能優(yōu)化算法已被驗(yàn)證可以為其設(shè)計(jì)提供有效方案. 下面考慮3個(gè)有表示性的有約束工程優(yōu)化問(wèn)題：

三桿桁架設(shè)計(jì)^［17］、 壓力容器設(shè)計(jì)^［18］和拉力/壓縮彈簧設(shè)計(jì)^［19］. 3個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的基本信息列于表4.

采用HTPSO算法進(jìn)行工程優(yōu)化問(wèn)題求解實(shí)驗(yàn)， 對(duì)比算法實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與基準(zhǔn)函數(shù)實(shí)驗(yàn)相同. 3個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題的測(cè)試結(jié)果對(duì)比列于表5， 其中優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)值、 最差值、 平均值

和標(biāo)準(zhǔn)差由重復(fù)進(jìn)行的30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)獲得， 優(yōu)化變量為對(duì)應(yīng)算法取得的最優(yōu)值. 由表5可見(jiàn)， HTPSO算法在3個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題的各項(xiàng)性能指標(biāo)中展現(xiàn)出較高的綜合性能， 優(yōu)于其他3種對(duì)比算法. 表明HTPSO算法能有效解決一些實(shí)際應(yīng)用中的工程優(yōu)化問(wèn)題， 有廣泛的適用性和有效性.

綜上所述， 針對(duì)粒子群優(yōu)化算法在解決復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)存在搜索效率低和易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題， 本文提出了一種基于屋型拓?fù)涞牧Ｗ尤簝?yōu)化（HTPSO）算法. 通過(guò)提出屋型

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和適應(yīng)于該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改進(jìn)位置更新策略， 拓展了粒子群中粒子的知識(shí)來(lái)源， 增強(qiáng)了算法位置更新的泛化性， 平衡了種群勘探能力和開(kāi)發(fā)能力， 緩解了PSO算法在全局探索能力、 搜索效率和收斂精度方面的不足. 在3個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題的求解中， 仿真結(jié)果表明， HTPSO算法相比于其他算法表現(xiàn)出求解精度高和穩(wěn)定性強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)， 證明了其在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題上的可行性.

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（責(zé)任編輯： 韓"嘯）