摘要： 基于Strohmeyer模型提出一種考慮置信度的金屬材料P-S-N曲線通用表征方法，利用非線性最小二乘法（NLS）擬合得到高精度P-S-N曲線?？紤]金屬材料壽命及測試應力分散性，提出單一壽命模型和改進三參數(shù)分散度模型，結合對數(shù)壽命標準差與應力的相關性分析數(shù)據(jù)離散度，分別利用 2A12鋁合金和BSM590鋼材料驗證了可行性。研究結果表明：利用所提出的表征方法預測疲勞極限，誤差小于10%，分散度模型調整系數(shù)提高超過0.4，擬合精度顯著提高，對結構件的精細化可靠性設計提供了技術支撐。

關鍵詞： 金屬材料；疲勞壽命；預測模型

DOI： 10.3969/j.issn.1001-2222.2024.04.007

中圖分類號：TK427;TG113.255文獻標志碼： B文章編號： 1001-2222（2024）04-0046-08

隨著國家碳中和戰(zhàn)略廣泛推進，汽車發(fā)動機以高功率、低排放、輕量化為價值導向，對性能和可靠性提出了更高的要求，其中疲勞強度是提高發(fā)動機可靠性的關鍵因素之一。據(jù)統(tǒng)計，汽車結構件接近70%失效由高周疲勞應力引起［1］，通常表現(xiàn)為疲勞破壞。雖然考慮到材料內部缺陷和載荷不均的影響，汽車零部件實際工作應力低于許用應力，但長時間載荷作用下的零部件仍然易發(fā)生高周疲勞破壞，導致產(chǎn)品整體使用可靠性降低。此外，金屬材料的疲勞壽命具有顯著的分散性，不利于確定疲勞極限［2］，增加了產(chǎn)品使用壽命的不確定性。因此，擬合高精度的P-S-N曲線對產(chǎn)品可靠性設計有重大意義。

為確定應力與疲勞壽命的關系，研究者提出了多種預測疲勞壽命曲線的方法。傅惠民等［3］提出了基于Strohmeyer模型的壽命預測方法，對于S-N曲線擬合準確性高，適用性廣，但在P-S-N曲線擬合方面的可行性有待驗證。B. Efron等［4］提出了一種Bootstrap增廣樣本統(tǒng)計方法，對數(shù)據(jù)隨機抽樣以減小統(tǒng)計誤差，提高了S-N曲線擬合的準確性，對于提高P-S-N曲線擬合精度有參考價值。謝里陽等［5］基于樣本信息聚集原理提出了服從對數(shù)正態(tài)分布的小樣本P-S-N曲線擬合方法，利用一致性原理將樣本等效到同一應力水平下獲得小樣本的高精度P-S-N曲線。王付遠等［6］分析了上述兩種方法擬合的S-N曲線，進一步對比優(yōu)化了擬合P-S-N曲線的結果。

以上研究基于疲勞壽命模型研究的P-S-N曲線多為對數(shù)線性關系，能夠方便分析擬合曲線的特點，簡化計算，但對于多數(shù)金屬材料，應力與對數(shù)疲勞壽命并非完全線性關系，依靠試驗數(shù)據(jù)擬合得到的線性P-S-N曲線只能在小范圍壽命區(qū)達到較高精度，在整體高周疲勞壽命區(qū)仍存在較大誤差。盛興旺等［7］考慮了單對數(shù)線性模型的局限性，提出了適用于全壽命區(qū)的雙對數(shù)S-N曲線擬合方法，相對傳統(tǒng)方法提高了全壽命區(qū)P-S-N曲線擬合精度，但存在疲勞極限偏差，使用Strohmeyer模型擬合效果較差。此外，上述文獻針對分散度等因素對擬合精度影響的研究較少，已有分散度模型適用于少數(shù)材料，其準確性和通用性還有待深入研究。

本研究針對上述問題，考慮Strohmeyer模型擬合S-N曲線有相對準確的預測結果，提出了一種基于Strohmeyer模型的精確非線性P-S-N曲線表征方法，可以在全壽命區(qū)保持較高的擬合精度。以缸蓋材料2A12鋁合金為例，采用非線性最小二乘法方法，結合統(tǒng)計學指標評價擬合效果，在擬合S-N曲線上考慮存活率、置信度、分散度、應力水平和疲勞壽命的相互關系擬合高精度P-S-N曲線，滿足工程實際需求。對該P-S-N曲線預測方法在BSM590鋼材料上驗證了其可行性。該方法可推廣到其他金屬材料研究，便于建立精確的單一金屬和應力壽命曲線對應關系，為計算給定材料存活率和置信度的疲勞壽命提供路徑，實現(xiàn)材料智能化應用。

1P-S-N曲線表征模型

1.1Strohmeyer模型及擬合方法

Strohmeyer模型是基于Whler模型對多種材料進行彎曲和扭轉疲勞試驗，確定了無限壽命疲勞極限的存在而改進的疲勞壽命預測模型［8］，擬合結果更符合材料真實情況。經(jīng)大量試驗確定，Strohmeyer模型在高周疲勞區(qū)對金屬材料有較好的擬合效果，在疲勞極限已知的情況下可作線性方程處理，易于驗證雙對數(shù)線性關系，如式（1）所示：

lgN=A+BlogS－S0。（1）

式中：S0為疲勞極限；A，B為無量綱參數(shù)，采用NLS擬合。

NLS求解方法包括搜索算法和迭代法，對于非線性S-N曲線通常使用迭代法求解。本研究求解思路是設定預測值與真實值的偏差標準差為目標函數(shù)F（x），給定初始x0和優(yōu)化半徑δ，多次迭代，找到使目標函數(shù)F（x）取極小值的實數(shù)參數(shù)x：

F（x）=minΔxF（x）。（2）

考慮第k次迭代，xk為實數(shù)參數(shù)x的近似值，可對目標函數(shù)F（x）作二階泰勒展開：

Fxk+Δxk=Fxk+JTΔxk+

12（Δxk）THΔxk。（3）

式中：Δxk為增量；一階導數(shù)J為雅可比（Jacobian）矩陣；二階導數(shù)H為海塞（Hessian）矩陣。

J=2Fx12Fx2…2Fxnx=xk。（4）

H=

2Fx212Fx1x2…2Fx1xn

2Fx2x12Fx22…2Fx2xn

…

2Fxnx12Fxnx2…2Fx2nx=xk。（5）

Hessian矩陣在大規(guī)模數(shù)據(jù)中求解相對困難，將模型擬合函數(shù)f（x）作一階泰勒展開，求其在極值點的一階導數(shù)，可解得目標函數(shù)海塞矩陣的近似值。

fx+Δx=fx+jxjxTΔx，（6）

H=j（x）j（x）T。（7）

結合上述公式，目標函數(shù)可定義為

Q（x）=minΔxF（x）+JTΔx+

12（Δx）Tj（x）j（x）TΔx。（8）

式中：‖Δx‖≤φ，φ為迭代步長；‖DΔx‖2≤δ，D為j（x）Tj（x）的對角元素平方根組成的對角矩陣，用于改變搜索半徑，以符合擬合函數(shù)特征的非固定半徑為迭代約束范圍。

基于信賴域理論控制可信區(qū)域半徑δ和迭代步長φ，搜尋局部最小值Δxk獲得最優(yōu)解。此方法在文獻［9］中已有完整的計算及分析流程，此處不再贅述。

1.2概率密度分布函數(shù)定義

在材料疲勞可靠性研究中，常應用現(xiàn)有數(shù)學模型進行統(tǒng)計分析，以概率的形式評價壽命模型的可靠度，常用的概率模型有正態(tài)分布和威布爾分布，經(jīng)過大量試驗確定，2A12鋁合金材料同應力水平壽命服從對數(shù)正態(tài)分布［10］。

正態(tài)分布模型應用簡單且適用性高，其概率密度函數(shù)如式（9）所示。

fx=1σ2πexp－x－μ22σ2。（9）

式中：μ為樣本對數(shù)均值；σ為樣本對數(shù)標準差。

材料可靠性體現(xiàn)為存活率Ps，正態(tài)分布下可由均秩法確定。將對數(shù)壽命按大小排序，均勻分布在概率區(qū)間內部，單一對數(shù)壽命對應存活概率Psi由式（10）估計。

Psi=1－in+1。（10）

式中：n為樣本數(shù)量；i為對數(shù)壽命依次遞增的序號。

利用概率密度函數(shù)繪制正態(tài)概率坐標值并標記樣本點，失效概率Pfi與預測對數(shù)壽命xp可驗證成線性關系，失效概率Pfi與存活率Ps之和為1。通過最小二乘法擬合線性回歸方程可求得相關參數(shù)εP，以此估算不同存活率下的對數(shù)壽命：

xp=x+εPs。（11）

式中：x為50%存活率的對數(shù)壽命；s為對數(shù)壽命標準差。

1.3不同置信度下P-S-N曲線模型表征

通常試驗數(shù)據(jù)擬合Strohmeyer曲線的存活率和置信度為50%，即S-N曲線。為得到不同存活率和置信度下的P-S-N曲線，結合上述線性回歸方程（11），估計給定存活率和置信度下修正壽命，應用修正公式式（12）估算修正對數(shù)壽命xp（γ）：

xp（γ）=x+kβs。（12）

式中：γ為置信度；s為樣本標準差；β為標準差修正系數(shù)；k為單側容限系數(shù)，通過存活率參數(shù)εP與置信度參數(shù)εγ計算得到［7］，如式（13）所示。

k=

εP+εγ1/n－εγ2/［2n（n－1）］+εP2/［2（n－1）］1－εP2/［2（n－1）］。（13）

εγ在正態(tài)分布表中查得，當置信度為50%，εγ取值為0，k與εP取值相同。基于上述修正對數(shù)壽命再次擬合可得Strohmeyer模型的P-S-N曲線。

2P-S-N曲線特征參數(shù)表征

由于加工誤差、內部缺陷等因素，缸蓋材料的性能存在很大的分散性。傳統(tǒng)分散度衡量方式基于變異系數(shù)判斷數(shù)據(jù)點合理性，雖然較為符合樣本數(shù)據(jù)特征，但不能準確反映模型預測值的偏離程度。大量試驗數(shù)據(jù)表明，材料的疲勞壽命靠近疲勞極限，其分散性呈遞增趨勢，部分研究者針對這一現(xiàn)象提出了分散度預測模型，期望通過疲勞壽命與其分散性的關系來描述材料的不確定性。文獻［11］提出了一種二參數(shù)分散度模型，通過任意兩個應力水平及對應的壽命分散度構成線性方程，預測不同應力水平下的分散度，利用疲勞壽命的對數(shù)正態(tài)分布特性反求預測壽命，并擬合P-S-N曲線。然而，這種線性模型精度有限，選用的應力水平對分散度模型的擬合結果又很大影響。為準確描述材料的分散性，本研究在P-S-N曲線基礎上規(guī)定壽命分散度Tn，提出單一壽命模型及改進三參數(shù)分散度模型，確定應力與對數(shù)壽命偏差標準差關系表達式。

2.1單一壽命分散度Tns

單一壽命分散度用于用于衡量同一應力水平P-S-N曲線對數(shù)壽命離散度。固定應力水平選取一組樣本對數(shù)壽命，以平均對數(shù)壽命x為估計總體均值，樣本對數(shù)壽命標準差σ為估計總體標準差，繪制概率密度圖，獲取分位數(shù)θ對應的預測壽命Nθ與N1－θ，分位θ由對應存活率和置信度確定，采用式（14）計算單一壽命分散度Tns：

Tns=N1－θNθ=10x1－θ10xθ。（14）

2.2總體壽命分散度Tnt

總體壽命分散度用于衡量不同應力水平下模型預測值偏離實際值的程度。規(guī)定同一應力水平的對數(shù)壽命偏差為xbias=log（Ni）－log（N），預測值高于真實值為負偏差?？傮w壽命分散度Tnt利用對數(shù)壽命偏差的標準差衡量，計算公式如式（15）：

Tnt=∑xbias－xbias2n－1。（15）

2.3應力分散度Ts

應力分散度用于衡量給定測試應力水平的分散性。如果試驗試樣有限，一般只進行小樣本測試，選取不同測試應力水平測試數(shù)據(jù)擬合P-S-N曲線的精度就會存在一定差異。通常應力水平間隔小、集中性高，擬合曲線在局部的精度較高，但在全壽命區(qū)缺乏數(shù)據(jù)支持，反而預測偏差偏大。因此規(guī)定應力間隔不低于10，基于測試應力規(guī)定應力分散度Ts，利用應力標準差衡量分散性，計算公式見式（16）。

Ts=∑S－S2n－1（16）

式中：S為測試應力；S為平均應力。

3P-S-N曲線擬合與結果分析

3.1試驗材料與測試數(shù)據(jù)

研究對象是發(fā)動機氣缸蓋鑄造鋁合金材料，具體型號為2A12高強鍛造鋁合金，未進行特殊熱處理，其化學成分含量見表1。為保證擬合結果可靠性，引用文獻［10］成組法測試數(shù)據(jù)作為參考，見表2。

3.2N-S曲線擬合分析

每組樣本數(shù)據(jù)通過對數(shù)正態(tài)Lilliefors檢驗，均滿足95%顯著性水平，數(shù)據(jù)有效。繪制Strohmeyer模型N-S曲線，采用NLS求解疲勞極限S′0，構建雙對數(shù)S-N曲線，如圖1和圖2所示。

應用統(tǒng)計學指標分析擬合結果，和方差SSE、均方根誤差RMSE、決定系數(shù)R2、疲勞極限預測偏差度δ等指標見表3。由表3知，SSE，RMSE數(shù)值小于1。

圖3中每組應力殘差均勻分布在零線兩側，殘差中位數(shù)接近0，決定系數(shù)與調整決定系數(shù)在0.85以上，說明曲線預測值與實際值的偏差較小，擬合效果較好。

3.3P-S-N曲線擬合分析

繪制存活率與試驗對數(shù)壽命的線性關系曲線，易驗證對數(shù)壽命服從正態(tài)分布，如圖4所示。結合3.4節(jié)提出的三參數(shù)分散度模型更新對數(shù)壽命偏差標準差結果，基于NLS求解給定存活率P與置信度γ下疲勞極限，可擬合對應P-S-N曲線，如圖5所示。由圖知，在中等壽命區(qū)內，使用模型預測值擬合的P-S-N曲線偏保守，不易發(fā)生過載破壞，安全性更好；中長壽命區(qū)兩者預測值接近，可以認為是同一結果。對比可知，選取模型預測值擬合P-S-N曲線更優(yōu)。

通過變動存活率及置信度以擬合P-S-N曲線，結果見圖6和圖7。其中，實線為50%存活率、50%置信度下的初始Strohemeyer曲線，實線以下為高存活率、高置信度P-S-N曲線，可靠性高但預測值偏小，未充分發(fā)揮材料性能。經(jīng)分析，循環(huán)次數(shù)由中等壽命區(qū)過渡到長壽命區(qū)，高存活率、高置信度P-S-N曲線估計值逐步接近Strohmeyer曲線預測值，低存活率、低置信度P-S-N曲線正好相反，考慮疲勞損傷累積［10］，高水平應力易造成試樣內部損傷，低水平應力起強化作用。說明材料在較大載荷作用下允許的安全應力偏小，低載荷下易產(chǎn)生偏大的失效應力，預測結果符合實際情況，擬合的P-S-N曲線具有較高可靠性。

3.4分散度綜合分析

基于Strohmeyer模型繪制雙對數(shù)P-S-N曲線及概率密度函數(shù)，如圖8所示。由圖8知，應力水平下降，雙對數(shù)P-S-N曲線呈喇叭開口狀增大，概率密度函數(shù)表現(xiàn)為扁平狀變化趨勢，壽命分散度顯著增大。

選取一組樣本對數(shù)壽命繪制概率密度圖，估算90%置信度下90%和10%存活率對應的預測對數(shù)壽命，計算單一壽命分散度Tns。以275.6 MPa應力為例，單一分散度Tns為3.440 4（如圖9所示）。為量化單一分散度Tns與應力水平的相關性，提出一種指數(shù)函數(shù)模型，如式（17）所示。

Tns=b1Sb2+b3。（17）

式中：b1，b2，b3均為無量綱參數(shù)；S為對應測試應力水平。擬合結果見圖10和表4。該趨勢與實際情況相符，進一步驗證了擬合P-S-N曲線的合理性。

材料抗拉強度為477 MPa，應力分散度為57.89，大于15.81，滿足應力分散度要求?？傮w壽命分散度見圖11。由圖11知，應力值與總體分散度呈負相關關系，已有文獻提出了一種二參數(shù)對數(shù)線性模型［11］，如式（18）所示。經(jīng)擬合驗證，該對數(shù)線性方程數(shù)據(jù)擬合效果較差，當應力值趨于0，標準差趨于無窮大，與實際情況不符。考慮到疲勞極限存在，中壽命區(qū)與長壽命區(qū)可能存在大幅度分散度趨勢變化。為此本研究基于原有表達式提出修正三參數(shù)模型，精確描述分散度變化規(guī)律，如式（19）所示。

σ=C1+C2lgS，（18）

σ=C1+C2lg（S－C3）。（19）

式中：C1，C2，C3均為無量綱參數(shù)；σ為對數(shù)壽命偏差標準差。將總體壽命標準差及對應應力代入該方程，擬合效果明顯優(yōu)于原有二參數(shù)模型，擬合指標如表4所示。

分散度趨勢分散度模型本質上是對材料對數(shù)壽命及其標準差的非線性估計，其精度很大程度取決于測試數(shù)據(jù)本身合理性。該試驗不同應力水平的試樣數(shù)量不等，已有HB/Z12—86疲勞數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析標準確定了標準差值與有效試樣數(shù)量存在關聯(lián)性［12］，有效試樣數(shù)量變化對測試數(shù)據(jù)的影響超過了應力水平，因此產(chǎn)生局部分散度不符合實際規(guī)律的現(xiàn)象（如圖10和圖11所示），排除這種小范圍現(xiàn)象，整體分散度變化趨勢一致。

此外數(shù)據(jù)在高水平應力范圍的集中性較高，測試數(shù)據(jù)準確性好，試驗中適當增加高水平應力測試數(shù)據(jù)量或基于分散度篩除離散程度過高的不合理數(shù)據(jù)，有利于提高Strohmeyer模型及分散度模型擬合精度。

4基于Strohmeyer模型BSM590鋼P-S-N曲線擬合驗證

4.1試驗方案與P-S-N曲線驗證

為驗證Strohmeyer表征模型的通用性，取BSM590鋼標準試樣進行試驗。疲勞試樣的加工標準和具體試驗操作參照GB/T3075—2008《金屬材料疲勞試驗軸向力控制方法》和GB/T26076—2010《金屬薄板（帶）軸向力控制疲勞試驗方法》［13-14］執(zhí)行，加工后試樣為板狀，試樣規(guī)格為225 mm×300 mm×6 mm。疲勞試驗在室溫（18～23 ℃）下進行，試驗設備為QBG-100高頻疲勞試驗機，采用正弦波加載方式，頻率90 Hz，應力比R=0，靜態(tài)負載精度范圍為1%，動態(tài)精度3%。試樣如圖12所示。采取成組法進行試驗，結果見表5。試驗次數(shù)超過規(guī)定循環(huán)基數(shù)則認為試樣為無限壽命，此應力下數(shù)據(jù)僅用于升降法確定疲勞極限，作為預測疲勞極限參考值。

采用NLS擬合Strohmeyer模型S-N曲線并求解疲勞極限，可繪制雙對數(shù)S-N曲線，計算各項擬合指標，如圖13和表6所示。

分析擬合結果，基于Stohmeyer模型預測的BSM590鋼疲勞極限為269.8 MPa，升降法確定疲勞極限為259 MPa，偏差為4.2%；調整系數(shù)在0.85以上，擬合效果較好；SSE與RMSE小于0.5，數(shù)值合理。測試數(shù)據(jù)通過對數(shù)正態(tài)檢驗，同應力水平對數(shù)壽命驗證滿足正態(tài)分布，可利用修正公式（5）估算給定存活率和置信度下的壽命，繪制P-S-N曲線，如圖14所示。在中長壽命區(qū)，高存活率、高置信度P-S-N曲線逐漸接近S-N曲線，考慮應力水平變化，在保證安全的前提下充分發(fā)揮BSM590鋼材料的使用性能。以上結果證明，該疲勞壽命模型同樣適用于BSM590鋼材料，具有一定通用性。

4.2分散度驗證

基于P-S-N曲線繪制90%和10%存活率的概率密度函數(shù)及分散度趨勢圖，如圖15至圖17所示。由圖知，分散度變化趨勢符合實際情況。應用三參數(shù)分散度模型驗證壽命與應力的對數(shù)關系，擬合結果如表7所示。由表7可知，決定系數(shù)與調整系數(shù)在0.85以上，SSE和RMSE指標數(shù)值合理，應力分散度大于15.81，可以認為該對數(shù)關系成立，樣本概率密度及分散度模型擬合曲線結果合理。

5結論

利用NLS方法，基于Strohemyer模型研究了2A12鋁合金和BSM590鋼的精確P-S-N曲線表征方法及相關指標計算分析，具體結論如下：

a） 提出的基于Strohemyer模型考慮存活率和置信度的通用P-S-N曲線表征模型，利用分散度模型修正給定存活率和置信度下的預測壽命，可得到準確性較高的非線性P-S-N曲線；通過2A12鋁合金和BSM590鋼材料研究驗證了該表征模型的可行性，預測疲勞極限誤差均小于10%，有較高的可靠性；

b） 提出了考慮壽命分散度的Strohmeyer模型表征方法，對比文獻給出的二參數(shù)模型，應用改進三參數(shù)分散度模型擬合2A12鋁合金和BSM590鋼材料P-S-N曲線，調整系數(shù)提高超過0.4，擬合準確性有效提高；

c） 基于P-S-N曲線預測壽命量化單一壽命分散度，提出單一分散度模型，驗證了合理性，適用于本研究中兩種金屬材料，具有一定通用性；

d） 單一分散度與應力水平呈指數(shù)關系，擬合P-S-N曲線準確性受低應力水平測試數(shù)據(jù)影響較大，適當選取高應力進行測試或基于分散度篩除離散數(shù)據(jù)有助于提高擬合精度。

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Characterization Method for P-S-N Curve of Metal"Material Based on Strohmeyer Model

WANG Zengquan1，LIU Ye1，TAO Shuai2，JING Guoxi2，3，PENG Haixiong1，ZHANG Liqiang1

（1.China North Engine Research Institute（Tianjin），Tianjin300406，China;2.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China;3.Tianjin Key Laboratory of Power Transmission and Safety Technology for New Energy Vehicles，Tianjin300130，China）

Abstract： Based on Strohmeyer model， a general characterization method of metal material P-S-N curve considering confidence was proposed， and high precision P-S-N curve was obtained by nonlinear least squares（NLS） fitting. Considering the lifespan of metal material and the dispersion of testing stress， a single lifespan model and an improved three-parameter dispersion model were proposed. Combined with the correlation analysis of logarithmic lifespan standard deviation and stress， the data dispersion was analyzed， and the feasibility was verified with 2A12 aluminum alloy and BSM590 steel metal materials. The research results indicate that the proposed characterization method predicts fatigue lifetime with an error of less than 10%， the adjustment coefficient of dispersion model increases by beyond 0.4， and the fitting accuracy significantly improves， providing technical support for the refined reliability design of structural components.

Key words： metal material;fatigue lifetime;prediction model

［編輯： 袁曉燕］