【摘 要】 為了刻畫初中生統(tǒng)計思維發(fā)展的可能路徑，結(jié)合“認(rèn)知水平”與“假設(shè)學(xué)習(xí)軌跡”這兩種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)軌跡研究的視角，參考初中“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的具體內(nèi)容，將統(tǒng)計實(shí)踐的六個基本要素作為統(tǒng)計學(xué)的大觀念，分別建構(gòu)學(xué)習(xí)軌跡，形成逐級提升的發(fā)展水平：統(tǒng)計問題——無意識的→確定的→變異的→探究的；數(shù)據(jù)收集——無代表性→主觀的→隨機(jī)的→分析的；數(shù)據(jù)整理與表征——單一→多元→關(guān)聯(lián)→批判；數(shù)據(jù)分析與解釋——再認(rèn)與回憶→辨認(rèn)與計算→分析→綜合→批判；統(tǒng)計判斷與決策——主觀的→過渡的→部分權(quán)衡的→全局的；隨機(jī)性——定性的→非正式量化→正式量化→綜合的.

【關(guān)鍵詞】 統(tǒng)計思維；統(tǒng)計實(shí)踐；統(tǒng)計與概率；學(xué)習(xí)軌跡；初中生

本文是《初中生統(tǒng)計思維的發(fā)展（上）》（2024年6月刊）的續(xù)文.

1 “統(tǒng)計問題”的學(xué)習(xí)軌跡

統(tǒng)計問題是開展統(tǒng)計調(diào)查的起點(diǎn)，核心素養(yǎng)中要求（學(xué)生）知道許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，要根據(jù)問題及其背景來確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法［1］，都與這第一個環(huán)節(jié)相關(guān).然而，對統(tǒng)計問題的分析，尤其是如何自己提出一個統(tǒng)計問題，往往被忽視.目前教學(xué)更多是讓學(xué)生理解給定統(tǒng)計問題，而更難的則是自己提出統(tǒng)計問題，兩者的發(fā)展應(yīng)當(dāng)是相輔相成的.

關(guān)于統(tǒng)計問題這一學(xué)習(xí)主題，包含問題的轉(zhuǎn)化與生成、理解與完善兩方面，學(xué)會“提問”實(shí)質(zhì)上已經(jīng)蘊(yùn)涵了對統(tǒng)計問題基本特征的理解.Allmond和Makar曾在研究中對學(xué)生的統(tǒng)計提問水平劃分了七層次結(jié)構(gòu)［2］：無關(guān)背景的、無關(guān)數(shù)學(xué)的、無關(guān)調(diào)查研究的、封閉的、潛在調(diào)查研究的、調(diào)查研究的、探究的，該結(jié)構(gòu)側(cè)重“提問”，本研究對此適當(dāng)重組與劃分、轉(zhuǎn)換視角，再結(jié)合我國初中教材相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)情況，以及其他相關(guān)研究的見解，最終構(gòu)建如表1所示的學(xué)習(xí)軌跡.

首先，Allmond研究中的前三個層次可以合并為學(xué)習(xí)軌跡中的最低水平，它們均表現(xiàn)為對統(tǒng)計問題缺乏基本認(rèn)識，所以學(xué)生此時的數(shù)據(jù)意識非常薄弱.水平2的最大特征是學(xué)生開始知道數(shù)據(jù)對解決問題的作用，不過，若問題沒有直接的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)或表現(xiàn)出問題答案可能與某種數(shù)據(jù)有關(guān)，那么學(xué)生可能難以激活其數(shù)據(jù)意識［3］.同時，此時學(xué)生對問題的認(rèn)識仍僅限于能直接得到一個數(shù)字答案的問題（對應(yīng)Allmond研究中“封閉的”一級），還沒有真正發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計問題與一般數(shù)學(xué)問題的區(qū)別，即統(tǒng)計問題的答案是基于變化的數(shù)據(jù)的［4］.隨著學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中接觸到蘊(yùn)含更多不確定性的情境，他們將在問題分析中產(chǎn)生對數(shù)據(jù)的需求并發(fā)現(xiàn)問題答案所基于的數(shù)據(jù)存在著變化.“潛在調(diào)查研究的”可以看作是表1中水平2至3之間的過渡，調(diào)查只是獲得（obtain）數(shù)據(jù)，調(diào)查研究則要詢問（interrogate）數(shù)據(jù)，就是要挖掘數(shù)據(jù)的含義或得到超越數(shù)據(jù)表面意思的內(nèi)容，這與后續(xù)階段對應(yīng)［5］.隨著意識到統(tǒng)計問題的特殊性，學(xué)習(xí)軌跡進(jìn)入第3個水平（變異的），學(xué)生將能夠針對問題主動地提出對收集和分析數(shù)據(jù)的需求，他們可能會提出比較、探求因果、預(yù)測等具有調(diào)查研究特點(diǎn)的問題［6］，接下來的學(xué)習(xí)活動不僅要幫助學(xué)生再次強(qiáng)化統(tǒng)計問題的關(guān)鍵特征，還可能需要進(jìn)一步澄清其中的相關(guān)變量，以問題的目的來指導(dǎo)解決方案的制定，并考慮問題是否實(shí)際可解決.最高水平上的統(tǒng)計問題將具有一定探究性質(zhì)，包括對問題背景和調(diào)查變量的探究，一是要考慮背景信息對問題定義、規(guī)劃及解決的指導(dǎo)，二是通過協(xié)商“一個標(biāo)準(zhǔn)”來間接確定需要調(diào)查的變量.此外，真正的統(tǒng)計問題應(yīng)帶有目的［7］，是為了解決認(rèn)知、決策或行動上的某種需求，在任何發(fā)展階段中，它都是提問時需要用于自檢的一個好的統(tǒng)計問題的衡量標(biāo)準(zhǔn).

2 “數(shù)據(jù)收集”的學(xué)習(xí)軌跡

初中階段數(shù)據(jù)收集的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是調(diào)查研究的開展，主要包括考察對象的確定、具體收集方法的研制.表2所示的學(xué)習(xí)軌跡涵蓋了抽樣與樣本思想、問卷編制兩個方面，前者的發(fā)展路徑借鑒了李俊根據(jù)已有研究所得到的結(jié)論［8］113-118：對樣本的認(rèn)識首先要從同質(zhì)總體（水平1）過渡到異質(zhì)總體（水平2）［9］，即要認(rèn)識到總體中的個體是有區(qū)別的，同時這種區(qū)別并不要求調(diào)查的時候必須要問及每一個個體.學(xué)生早期對普查的偏愛可能是他們尚未在更大的視野中看到差異的不可避免，這種觀念在尚未受到系統(tǒng)教學(xué)的高中生中也會存在［10］，所以學(xué)習(xí)活動中的調(diào)查背景應(yīng)借助某種現(xiàn)實(shí)局限性，強(qiáng)調(diào)抽樣的優(yōu)勢，促使學(xué)生進(jìn)入水平2.自此，抽樣概念的發(fā)展正式起步，學(xué)生開始考慮要如何進(jìn)行抽樣，好的樣本對數(shù)據(jù)質(zhì)量和推斷合理性很重要.有的學(xué)生希望用更大的樣本來彰顯公平，可是并沒有意識到隨機(jī)性，更多學(xué)生主張非隨機(jī)的分層抽樣，他們會根據(jù)自己的主觀判斷來保證各層的覆蓋程度卻不太在乎樣本容量.總的來說，這個階段學(xué)生對隨機(jī)抽樣只是感性認(rèn)識.正是對樣本選取時偏差存在的思考，讓學(xué)生最終把抽樣的選擇權(quán)交給機(jī)會，這是達(dá)到水平3的重要標(biāo)志，學(xué)生能在情境中主動提出使用隨機(jī)抽樣方法.李俊還強(qiáng)調(diào)了學(xué)生對抽樣方案質(zhì)量的鑒別能力，本研究將其歸入最高水平（即水平4），因?yàn)榭朔?shù)定律、綜合問題背景和調(diào)查中各要素來選擇最佳抽樣方案將涉及批判性思維.

至于以問卷編制為主的數(shù)據(jù)收集具體方法的這一分支路徑，目前研究沒有給予專門的關(guān)注，實(shí)際上這部分內(nèi)容在初中教學(xué)中也是比較弱化的（依據(jù)教材內(nèi)容可知）.雖然小學(xué)階段已經(jīng)涉及了調(diào)查這種數(shù)據(jù)收集方法，但其內(nèi)容僅限于單一問題的調(diào)查表設(shè)計（往往是答案范圍較明顯的封閉式問題）或是用于無分類記錄的開放題（比如直接詢問同學(xué)最喜歡的動物），也很少將問題設(shè)計置于調(diào)查研究中，所以與真正的完整問卷編制有很大差距.據(jù)此，本研究認(rèn)為該維度在水平1上表現(xiàn)為能設(shè)計或辨別答案極易窮盡的獨(dú)立問題，而在了解到總體差異性后（水平2），開始逐步依據(jù)調(diào)查目的來自主思考問題該如何設(shè)計.問卷編制中最基本的是問卷指導(dǎo)語與題干的表達(dá)，以及題目答案是否窮盡與互斥，這要求調(diào)查者基于對調(diào)查內(nèi)容的全面了解，站在調(diào)查對象的角度上具體展開設(shè)計，本研究預(yù)期這種能力會隨著隨機(jī)概念的發(fā)展而在水平3階段得到較好發(fā)展.最高水平（水平4）上的問卷編制包括多類型問題的組合以及跳題等非線性結(jié)構(gòu)的引入，也可能會納入對其他測量工具的了解.

3 “數(shù)據(jù)整理與表征”的學(xué)習(xí)軌跡

數(shù)據(jù)整理與表征涵蓋以統(tǒng)計圖表為對象的制作、閱讀與解釋、評價（數(shù)據(jù)篩選和分類的整理過程蘊(yùn)含其中），根據(jù)對表征理解與運(yùn)用的深度以及統(tǒng)計問題中表征使用數(shù)量的情況可以區(qū)分認(rèn)知水平的復(fù)雜程度.

Friel等人［11］概括了一些研究者所描述的使用圖表來回答問題的類型特征，其中最為典型的是Curcio［12］對讀圖水平的三個級別劃分，也可作為此類研究結(jié)果的總結(jié)：直接從圖表上得到答案的數(shù)據(jù)讀?。╮ead the data）；將直接讀取的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行重組或解釋其關(guān)系（read between the data）；結(jié)合問題背景從已有圖表數(shù)據(jù)推斷隱含信息（read beyond the data）.由上可知，讀圖水平的發(fā)展可能存在著對數(shù)據(jù)關(guān)注從單一到多元、綜合，以及對數(shù)據(jù)解釋從局部、表層到間接推斷的過程.宋玉連認(rèn)為中學(xué)生統(tǒng)計表制作能力也存在三個水平：根據(jù)所給數(shù)據(jù)信息制作簡單統(tǒng)計表；根據(jù)所給數(shù)據(jù)信息制作復(fù)雜統(tǒng)計表（結(jié)構(gòu)上更復(fù)雜）；經(jīng)數(shù)據(jù)初步整理并結(jié)合問題需要，選擇合適的統(tǒng)計表［13］.

依據(jù)上述具體研究成果，再結(jié)合M3ST框架中關(guān)于數(shù)據(jù)表征的部分［14］，可將該主題學(xué)習(xí)軌跡劃分為四個水平進(jìn)程，各水平的特征是借鑒了SOLO分類法中的命名，每個水平上都會有關(guān)于表征的制作、閱讀與解釋、評價等三個維度的表現(xiàn)（參見表3）.前三個水平與前述的Curcio、宋玉連在研究中所劃水平的描述基本一致：第4個水平（批判）其實(shí)是對水平3的完善與加強(qiáng)，認(rèn)為在關(guān)聯(lián)水平上的表征選擇、推斷、評價可能存在某些缺陷，而這些方面將在水平4表現(xiàn)得相對完美，并且強(qiáng)調(diào)多角度、綜合化和背景考慮，所以更具批判視角，講究問題答案的最優(yōu)化而非唯一性.

學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是幾種新的表征類型以及表征應(yīng)用的常見技能，學(xué)習(xí)順序遵循目前教材安排，符合表征類型的復(fù)雜程度變化，新增的箱線圖作為最后學(xué)習(xí)的一種表征，還需要配合統(tǒng)計量的初步認(rèn)識后才能開展學(xué)習(xí)（“2022版課標(biāo)”中新增的分類原則也可在此學(xué)習(xí)）.表征應(yīng)用首先要區(qū)分各類型的特點(diǎn)，以便能出于不同目的、針對不同數(shù)據(jù)類型（學(xué)生主要區(qū)分離散量與連續(xù)量，實(shí)際上教師還應(yīng)明晰各種測量數(shù)據(jù)）選擇最適合的表征，其次要知道每種表征可以得到的盡可能多的數(shù)據(jù)信息，從而能根據(jù)一個表征來創(chuàng)建另一個表征，最后要學(xué)會基于表征本身的特點(diǎn)和問題背景來評價表征.

在學(xué)習(xí)活動的設(shè)計上，早期要打好基礎(chǔ)，因?yàn)檠芯堪l(fā)現(xiàn)了學(xué)生在圖表標(biāo)題、軸、單位等通常不被重視的制作方面有缺陷（這也是后期圖表評價的依據(jù)之一）［8］59，66-68.圖表閱讀的問題設(shè)置也需要從單個數(shù)據(jù)點(diǎn)逐步過渡到多數(shù)據(jù)的關(guān)系，最后落足于感受數(shù)據(jù)分布.該主題學(xué)習(xí)的最終旨趣在于讓學(xué)生能夠針對統(tǒng)計問題所收集到的數(shù)據(jù)，出于想要從中獲得某種信息的目的，選擇最能促進(jìn)問題解決的數(shù)據(jù)表征方法（一種或多種），此外還能對他人選擇或繪制的統(tǒng)計圖表進(jìn)行評析.盡管該主題學(xué)習(xí)軌跡中對表征的分析與解釋似乎屬于下一主題的內(nèi)容，但由于繪圖與讀圖不可分割，所以更適宜在此出現(xiàn).

4 “數(shù)據(jù)分析與解釋”的學(xué)習(xí)軌跡

數(shù)據(jù)分析與解釋部分的學(xué)習(xí)分為描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計兩方面，包括用于概述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖表和統(tǒng)計量與初步的樣本推斷總體，本部分主要考慮統(tǒng)計量方面，但是在實(shí)際的數(shù)據(jù)分析活動中統(tǒng)計圖表與統(tǒng)計量應(yīng)同時考慮.

曲元海曾將中學(xué)生的統(tǒng)計量理解水平分為不了解、辨認(rèn)與計算、單一的意義理解、多角度理解與綜合使用、合理選擇與判斷，共五個水平［15］，是本研究的依據(jù).由于初中階段的推斷分析往往是要借助描述統(tǒng)計量來實(shí)現(xiàn)的，所以涉及推斷分析的部分在學(xué)習(xí)軌跡中會略微滯后于描述統(tǒng)計.另外，盡管教材的內(nèi)容設(shè)置總是將集中趨勢置于離中趨勢之前，但是本研究認(rèn)為，這兩類統(tǒng)計量是對數(shù)據(jù)描述的兩個方面，沒有必然的學(xué)習(xí)先后（具體參見表4），甚至可以在同一問題分析中一起學(xué)習(xí).

水平1上的學(xué)生對初中即將學(xué)習(xí)的統(tǒng)計量是不了解的，但由于小學(xué)的基礎(chǔ)，可以較好運(yùn)用平均數(shù)，并在具體情境中非正式地理解眾數(shù)和中位數(shù)，因而可以對其進(jìn)行再認(rèn)與回憶，只是由于知識面尚窄，而且樣本思想可能還沒有發(fā)展完善，所以在數(shù)據(jù)分析和論證評估上表現(xiàn)不佳.隨著初中學(xué)習(xí)的展開，水平2上的學(xué)生能對該學(xué)段所要求掌握的統(tǒng)計量進(jìn)行辨認(rèn)和計算，也可以基于含義理解而解釋問題情境中的統(tǒng)計量，并且隨著樣本思想的深入而認(rèn)可樣本對總體的代表作用.當(dāng)學(xué)習(xí)進(jìn)一步深入至理解統(tǒng)計量公式由來，探求不同統(tǒng)計量在數(shù)據(jù)分析中的優(yōu)勢與不足，以及用樣本估計總體的具體方法時，可以達(dá)到分析水平（水平3），該水平與曲元海研究中水平3的描述略有不同，主要強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計量使用的單一，而非理解上的單一，并且評價方面也會因?yàn)閷y(tǒng)計量特征的理解而在此表現(xiàn)出進(jìn)步，并不是只有到最高水平才會展現(xiàn)出來.水平4的“進(jìn)一步”體現(xiàn)在學(xué)生能在數(shù)據(jù)分析和論證評估任務(wù)中綜合不同統(tǒng)計量（甚至考慮問題背景的作用）、選擇合適的分析并甄別不適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量使用.最高水平（水平5）上，期望學(xué)生能運(yùn)用不同的數(shù)據(jù)分析工具多角度地分析問題，知道不同的數(shù)據(jù)分析結(jié)果可能會導(dǎo)向不一樣的決策與行動，而這可能與分析者的某些意圖相關(guān).同時，仍然要緊密聯(lián)系統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖，比如根據(jù)統(tǒng)計圖來估計統(tǒng)計量，還可以通過統(tǒng)計圖來直觀地感受數(shù)據(jù)整體的變化是否會引起相應(yīng)統(tǒng)計量的改變，從而初步認(rèn)識統(tǒng)計量的某些性質(zhì)［8］99.

5 “統(tǒng)計判斷與決策”的學(xué)習(xí)軌跡

統(tǒng)計判斷與決策是對一個統(tǒng)計問題解決的最終回應(yīng)，所以其發(fā)展與其余五個維度都密切相關(guān).本部分將綜合其余多個方面，從判斷與決策的依據(jù)與相關(guān)態(tài)度的表現(xiàn)來構(gòu)建其發(fā)展路徑（具體參見表5）.

正如用數(shù)據(jù)解決問題的意識需要經(jīng)歷從無到有的過程，對問題的判斷與決策最初也可能是非統(tǒng)計的，即沒有意識到數(shù)據(jù)的作用.在這最低水平上，學(xué)生的判斷與決策僅憑主觀意愿而執(zhí)行，是一種絕對感性的結(jié)果，他們既不會主動運(yùn)用調(diào)查來獲取數(shù)據(jù)信息，也不會關(guān)注問題中出現(xiàn)的數(shù)據(jù).但是，數(shù)據(jù)意識的萌生并不代表學(xué)生就能主動、有效地運(yùn)用數(shù)據(jù).水平2上，無視數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)判斷或是因缺乏統(tǒng)計知識而導(dǎo)致的誤解，都會產(chǎn)生一系列直覺錯誤或偏見，比如識別可能不存在的事物因果聯(lián)系、夸大對小樣本的信任等等［16］92，100.從水平3開始，學(xué)生才真正能夠適當(dāng)平衡數(shù)據(jù)意識的理性態(tài)度與自我的感性.判斷的基本策略是對估計起點(diǎn)（“錨”）進(jìn)行調(diào)整，最常見的“錨”是現(xiàn)狀，也就是統(tǒng)計實(shí)踐中得到關(guān)于真實(shí)數(shù)據(jù)的信息，一般的，改變現(xiàn)有計劃比產(chǎn)生一個新的計劃要更容易［17］.所以，相比超越數(shù)據(jù)做出冒險的判斷，人們可能更傾向于在數(shù)據(jù)信息所提供的保障范圍內(nèi)做出判斷，這便是后兩個水平的最大區(qū)別.統(tǒng)計思維要處理變異，而這需要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)線性思維，因?yàn)閺?fù)雜世界中存在著多重聯(lián)系與多因多果的情況，甚至還要預(yù)測決策的長期影響［18］.事實(shí)上，不完美是不可避免的，真正的風(fēng)險決策與危機(jī)意識就在于對風(fēng)險的認(rèn)識與盡可能的控制，以及對危機(jī)不可完全消除的心理準(zhǔn)備.Atkinson認(rèn)為成就動機(jī)存在著期望成功與害怕失敗的沖突，兩種對抗的動機(jī)水平又依賴于一個人對目的的評價和達(dá)成目的可能性的評估［19］.類似的，在風(fēng)險決策中，需要權(quán)衡事件后果的影響以及后果發(fā)生的可能性，但由于失去比得到給人的感覺更強(qiáng)烈，因此人們總是努力地避免有所失，從而往往不愿意改變現(xiàn)狀這個參考點(diǎn)，總是讓一切保持一個穩(wěn)定的狀態(tài)［16］258，279.據(jù)此可以描述水平3上的學(xué)生，他們對該學(xué)段需要掌握的概率統(tǒng)計知識已經(jīng)有了較好的掌握（即在其他主題的學(xué)習(xí)軌跡上至少能達(dá)到倒數(shù)第二高的水平），能夠通過一定的間接推理得到基于數(shù)據(jù)的主張，也知道統(tǒng)計問題的答案是不確定的，但是在風(fēng)險意識上可能持有保守態(tài)度，即，不愿意冒險或在產(chǎn)生風(fēng)險后果時無法坦然接受.然而真正具有風(fēng)險意識的學(xué)生（即水平4）知道風(fēng)險的存在并以其指導(dǎo)決策，或者他們會規(guī)避風(fēng)險，但這不是單純的逃避，而是合理權(quán)衡后的決定，或者他們愿意冒險并能承擔(dān)可能發(fā)生的風(fēng)險后果.此外，最高水平上的學(xué)生在該主題上還會懂得統(tǒng)計調(diào)查循環(huán)的意義，能在規(guī)劃與行動中重新啟動一次必要的統(tǒng)計實(shí)踐，這對于學(xué)生來說是有益卻是困難的.

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作者簡介 潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，博士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.