【摘 要】 《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》最重要的變化是提出了“數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)”，為此，試題命制要能夠體現(xiàn)素養(yǎng)立意.試題解法的多樣，為有不同活動經(jīng)驗的學生提供更多的思考切入點.通過對2024年江蘇省宿遷市中考第28題正方形翻折類試題多樣性解法的探析，談談對以素養(yǎng)立意的中考命題的思考.

【關鍵詞】 折紙操作；多樣性解法；素養(yǎng)立意

中考數(shù)學壓軸題是中考試題創(chuàng)新的重要體現(xiàn)，一經(jīng)發(fā)布，其解題方法和命題分析就備受師生的關注.筆者考后與學生分享2024年江蘇省宿遷市中考第28題壓軸題時發(fā)現(xiàn)，解題方法多樣，評價維度多元，試題結構新穎，凸顯素養(yǎng)立意.本文通過對2024年江蘇省宿遷市中考第28題正方形翻折類試題解法的探析，談談對以核心素養(yǎng)為導向的命題思考.

1 試題呈現(xiàn)

（2024年江蘇省宿遷市第28題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數(shù)學探究活動.

【操作判斷】

操作一：如圖1，對折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；

操作二：如圖2，在邊AD上選一點E，沿BE折疊，使點A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BE；

操作三：如圖3，在邊CD上選一點F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF.

把正方形紙片展平，得圖4，折痕BE，BF與AC的交點分別為G，H.

根據(jù)以上操作，得∠EBF=______°.

【探究證明】

（1）如圖5，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；

（2）如圖6，連接EF，過點G作CD的垂線，分別交AB，CD，EF于點P，Q，M.求證：EM=MF.

【深入研究】若AGAC=1k，請求出GHHC的值（用含k的代數(shù)式表示）.

2 解法探析

G·波利亞指出：好的思路來源于過去的經(jīng)驗和以前獲得的知識［1］.一方面，從學生角度分析，通過義務教育階段的學習，學生積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，因此，在解答中考壓軸題會呈現(xiàn)多樣性的解題思路；另一方面，從命題角度分析，命制的試題解法多樣，為有不同活動經(jīng)驗的學生提供更多的思考切入點.

對于【操作判斷】：∠EBF=45°

對于【探究證明】（1）：

方法一 利用四點共圓

思路1：如圖5，因為∠ACD=∠ACB=12∠BCD=45°.又∠EBF=45°，所以∠EBF=∠ACD.根據(jù)“同底同側頂角相等的兩個三角形，四點共圓”，推出點G，B，C，F(xiàn)四點共圓.所以∠GFB=∠ACB=45°.又因為∠EBF=45°，所以∠BGF=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.（也可證∠BFC=∠BGC，得G，B，C，F(xiàn)四點共圓.）

方法二 利用相似三角形

思路2：如圖5，由思路1得，∠EBF=∠ACD.因為∠BHG=∠CHF，所以△BHG∽△CHF.所以BHCH=GHFH.因為∠GHF=∠BHC.所以△GHF∽△BHC.所以∠GFB=∠ACB=45°.所以∠BGF=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.

思路3：如圖6，因為∠AEG=∠GEF，∠DAC=∠EBF=45°，所以△AEG∽△BEF.所以AEBE=GEEF.又∠AEG=∠GEF，所以△ABE∽△GFE.所以∠EGF=∠EAB=90°.因為∠EBF=45°，所以△BFG是等腰直角三角形.

思路4：如圖7，連接BD，交AC于點O.證得∠DBF=∠ABG，∠BAG=∠BDF=45°.所以△ABG∽△DBF.所以ABBD=BGBF.因為∠EBF=∠ABD=45°，所以△ABD∽△GBF.所以∠BGF=∠BAD=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.（事實上，只需連接BD，通過“等量換比”及兩次相似可以證△GBF∽△OBC∽△OCD∽△ODA∽△OAB∽△DAC∽△ADB∽△BCA∽△BCD，進而得證.）

方法三 利用平面直角坐標系

思路5：如圖8，以點B為原點，分別以BC，AB所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系.設AB=1，E（a，1），F(xiàn)（1，b），所以yBE=1ax，yAC=-x+1.可得G（aa+1，1a+1），所以yFG=（b+ab-1）x+1-ab.由（1-a）2+（1-b）2=（a+b）2，所以b+ab-1=-a.因為kFG·kBE=-1，所以FG⊥BE.所以∠FGB=90°.可得△BFG是等腰直角三角形.

方法四 利用旋轉（典型錯誤剖析）

思路6：如圖10，將△CBF繞點B逆時針旋轉90°至△ABC′，連接GC′，EF，所以△CBF≌△ABC′，所以BC′=BF，AC′=CF.因為EF=AE+CF，所以C′E=EF.所以BE垂直平分C′F.所以∠FGB=90°.因為∠EBF=45°，所以∠GFB=45°.所以△BFG是等腰直角三角形.

分析：學生在解題過程中易將點C′，G，F(xiàn)三點看作在一條直線上，直接得出∠FGB=90°.如何證明C′，G，F(xiàn)三點共線？一是，類比思路5，如圖9，先求出直線FC′的解析式，后判斷點G在直線FC′上，故C′，G，F(xiàn)三點共線；二是，參考文［3］的思路，證明C′G+GF=C′F，故C′，G，F(xiàn)三點共線.學生作答時若未證明點C′，G，F(xiàn)三點共線，則解題過程不完整.

對于【探究證明】（2）：

方法一 利用平行線

思路1：如圖6，因為四邊形ABCD是正方形，所以∠EAB=90°.因為PQ⊥AB，所以∠GPB=90°.所以∠EAB=∠GPB=90°.所以PG∥AD.所以∠PGB=∠AEB.因為∠PGB=∠EGM，∠AEB=∠BEF，所以∠MEG=∠MGE.所以ME=MG.由等角的余角相等，可得MG=MF.所以ME=MF.

方法二 利用三角形全等

思路2：如圖11，由（1）得∠FGB=90°，BG=FG，PQ⊥AB.所以△PBG≌△QGF.所以PG=QF.因為PG=AP=DQ，所以DQ=QF，又PQ∥AD，所以ME=MF.（如圖12，過點E作EN⊥PQ，垂足為N.可證△EMN≌△FMQ求解.）

方法三 利用等腰三角形的軸對稱性

思路3：如圖13，連接DG.由軸對稱性可得DG=BG.因為△BFG是等腰直角三角形，所以BG=FG.所以DG=GF，因為PQ⊥AB，所以DQ=QF，又PQ∥AD，所以ME=MF.

方法四 利用垂直平分線

思路4：如圖14，連接DM.因為四邊形APQD是矩形，所以AP=DQ.由思路2得PG=QF，又因為AP=PG，所以QF=QD.因為PQ⊥AB，所以DM=MF.所以∠MDQ=∠MFD.由等角的余角相等得∠EDM=∠MED，所以DM=EM.所以MF=ME.

對于【深入研究】：

方法一 利用代數(shù)推理

思路1：如圖6，設AG=1，則AC=k.所以PA=PG=22，DC=22k，所以CF=2（k-2）2.所以CFDC=k-2k.因為AB∥CD，所以CHAH=CFAB=k-2k.所以CH=k2-2k2k-2，HA=k22k-2.所以HG=k2-2k+22k-2.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法二 構造垂線

思路2：如圖15，過點G作GN⊥BC，垂足為N，交BF于點M.因為GM∥CF，CF∥AB，所以△GHM∽△CHF，△ABH∽△CFH.所以GHHC=GMCF.因為AGAC=1k，所以BNBC=1k.所以BNBC=NMFC=1k.設AP=1，CF=k-2.所以BNBC=NMCF=1k=NMk-2.所以NM=k-2k.因為GN=k-1，所以GM=k2-2k+2k，又CF=k-2，所以GHHC=GMCF=k2-2k+2k2-2k.

思路3：簡證：如圖16，設AP=1，由PQ∥BC，所以PB=k-1，CF=k-2.由勾股定理得BG=k2-2k+2，因為∠EBF=45°，所以GK=22k2-2k+2.由面積法可得CN=k2-2k2×k2-2k+2，由△GKH∽△CNH，得GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法三 在外部構造相似

思路4：如圖17，延長BF交PQ的延長線于點M.設AP=1，則AB=k，所以PB=k-1，CF=k-2.因為△MFQ∽△BFC，所以MQBC=FQFC.所以MQk=1k-2.所以MQ=kk-2.所以GM=k-1+kk-2=k2-2k+2k-2.所以GHHC=GMBC=k2-2k+2k2-2k.

方法四 利用模型

思路5：如圖18，利用兩個相同的等腰直角三角板拼成的模型的結論GH2=BG2+CH2.如圖4，設AG=1，則AC=k.令GH=x，CH=y，由題意得，x+y=k-1，x2=y2+1.可以得出x+y=k-1，x-y=1k-1.解得x=k2-2k+22（k-1），y=k2-2k2（k-1）.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

思路6：簡證：如圖19，利用操作判斷所得圖3的模型，過點B作BS⊥EF，垂足為S，連接GS，SH.可得∠GSH=90°.設AG=1，則AC=k.令GH=x，由勾股定理得x2=（k-x-1）2+12，x=k2-2k+22k-2，所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法五 利用平面直角坐標系

思路7：如圖20，以點B為原點，分別以BC，AB所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系.設AP=1，所以PG=1.所以yAC=-x+k，yBF=k-2kx.所以G（1，k-1），H（k22k-2，k2-2k2k-2）.所以CHGC=yHyG=k2-2k2k2-4k+2.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法六 利用三角函數(shù)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）對于三角函數(shù)知識要求為，利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值［2］69.但部分學生提前學習涉及高中的三角函數(shù)相關知識，故得出思路8.

思路8：如圖6，設AP=1，則AB=k，所以tan∠PBG=PGPB=1k-1.因為∠EBF=45°，∠ABC=90°，所以∠FBC=45°-∠PBG.用高中三角函數(shù)誘導公式，得tan∠FBC=FCBC=FCAB=k-2k.證得GHHC=k2-2k+2k2-2k.

3 素養(yǎng)表現(xiàn)

《課標（2022年版）》總目標是：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界［2］.2024年江蘇省宿遷市中考第28題著重考查學生對初中數(shù)學主干知識的掌握程度以及在學習過程中核心素養(yǎng)的發(fā)展情況.

（1）通過對空間觀念、幾何直觀和創(chuàng)新意識的考查引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界.如“操作判斷”以圖形軸對稱運動為背景，在不同水平上考查學生觀察和探索經(jīng)過運動變化形成的新圖形的性質，以及運用發(fā)現(xiàn)的性質解決問題的能力，考查空間觀念；如“探究證明”思路4，連接BD后，目之所及的8個等腰三角形都可與△BFG相似，進而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方法，考查幾何直觀;如學生發(fā)現(xiàn)判斷△BFG的形狀以及求GHHC的值（用含k的代數(shù)式表示）有難度時，能利用非常規(guī)的建立平面直角坐標系求解，嘗試用代數(shù)的方法研究幾何對象之間的關系和性質（坐標幾何），考查創(chuàng)新意識.

（2）通過對運算能力和推理能力的考查引導學生用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.數(shù)學家伍鴻熙指出：“推理是數(shù)學的命根子.”章建躍博士說：“運算是數(shù)學的童子功.”不難得出，運算和推理是初中數(shù)學的“關鍵能力”.如“操作判斷”求∠EBF的度數(shù)以及“深入研究”求GHHC的值，特別是求GHHC的值，若選擇適合的方法計算量較小，選其它方法計算量較大，著重考查運算能力；判斷△BFG的形狀、求證EM=MF，更多考查學生的推理能力.

（3）通過對模型觀念和應用意識的考查引導學生用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.如“深入研究”思路6利用“操作判斷”的模型可以快速、準確求出GHHC的值，考查模型觀念；如“探究證明”和“深入研究”中多樣性解法，考查學生能否發(fā)現(xiàn)題干中蘊含的邏輯關系，結合所給數(shù)據(jù)應用符合實際要求的最優(yōu)解決問題的能力，考查應用意識.

4 命題分析

4.1 立足基礎，素養(yǎng)導向眾所周知，基礎知識與基本技能是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效載體.因此，以核心素養(yǎng)為導向的試題編制也必須涵蓋學生的基礎知識和基本技能.試題以教材中最基本的正方形為背景，設計了多層次、多角度由淺入深的探究性問題.這些問題旨在創(chuàng)設與學生的認知水平和思維方式相匹配的問題情境，考查學生分析、解決問題過程中的關鍵能力，凸顯素養(yǎng)導向.

4.2 回歸操作，注重理解

試題設計讓學生在經(jīng)歷折疊正方形紙片的的操作實踐中，獲得直接的經(jīng)驗和體驗，建構真正的數(shù)學理解.如學生在折紙操作的探究中，充分理解圖中形成的線段與角，就能更好的靈活運用.

4.3 創(chuàng)新設計，結構合理

傳統(tǒng)的試題通常采用“串聯(lián)”結構，然而，這種結構存在一個問題：當學生無法解決前一個問題時，會對后續(xù)問題束手無策，這樣的設計無法真實考查出學生的實際水平.反之，本道中考壓軸題從最簡單問題為起點，編制考查學生3個思維不斷進階的探究性問題.問題鏈之間既有一定的邏輯關聯(lián)性，又有個體的獨立性.從關聯(lián)性看，“深入研究”的思路6就是在理解“操作判斷”的基礎上得出的解決方法，“探究證明”需用到“操作判斷”的結論等；從獨立性看，學生在無法證明EM=MF情況下也可以直接對“深入研究”進行求解，實現(xiàn)考查關注學情差異，突顯評價維度多元化的目的.總之，前后問題鏈的“并串聯(lián)”邏輯關系和學習經(jīng)驗一致，利于學生作答和展示自己對數(shù)學的理解.

5 結束語

《課標（2022年版）》增加了學業(yè)質量標準和考試命題建議，并明確提出了“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人價值”的命題原則［4］.試題設計從“操作判斷”到“深入研究”，緊密結合數(shù)學情境，合理構建數(shù)學問題.這種設計注重基礎性，強化綜合性，并堅持開放性與探究性.借此，試題不僅考查學生靈活運用所學知識和方法的能力，還引導教學回歸教材，促進評價與教學的良性互動，最終實現(xiàn)以核心素養(yǎng)為導向的試題命制.

參考文獻

［1］G·波利亞.怎樣解題［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔?

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］周斌.創(chuàng)生激活：讓數(shù)學課堂教學真正發(fā)生［J］.數(shù)學通報，2023，62（01）：26-29.

［4］許柱，周斌.一道中考網(wǎng)格作圖題多樣性解法的探究與思考［J］.中學數(shù)學雜志，2022（12）：59-63.

［5］章建躍.“圖形的變化”課程教材設計與教學［J］.數(shù)學通報，2023，62（02）：1-8+63.

作者簡介 許柱（1977—），男，江蘇泗洪人，中小學高級教師，宿遷市初中數(shù)學兼職教研員；主要研究中學數(shù)學教育.